同态与同构

\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}

同态

  • <green>定义：考虑两个群 G,G′G, G'，以及一个映射 φ:G→G′\varphi: G \to G'。倘若 φ\varphi 保持 (preserve)/尊重 (respect) 群乘法，即

    φ(g1⋅Gg2)=φ(g1)⋅G′φ(g2) ,∀g1,g2∈G ,\varphi(g_1 \cdot_G g_2) = \varphi(g_1) \cdot_{G'} \varphi(g_2) \ , \qquad \forall g_1, g_2 \in G \ ,

    则称 φ\varphi 是 G→G′G \to G' 的一个 <green>同态 (homomorphism)

同态

同态

同态 φ\varphi 首先是 集合 GG 到 集合 G′G' 的 映射。

 ~

但由于 G,G′G, G' 均具有 群结构 (有群乘法、单位元、逆元)，因此，我们额外要求 φ\varphi 尊重 (respect) / 保持 (preserve) 这两个结构。

同态

  • 定理：同态映射保单位元，即必然把 单位元 射成 单位元 φ(e)=e′\varphi(e) = e'。

    证明

    直接计算 φ(e)\varphi(e) 与其他元素乘法，

    φ(e)⋅G′φ(g)=φ(e⋅Gg)=φ(g) ,∀g∈G .\varphi(e) \cdot_{G'} \orange{\varphi(g)} = \varphi(e \cdot_G g) = \orange{\varphi(g)} \ , \qquad \forall g \in G \ .

    只有 φ(e)=e′\varphi(e) = e' 才能实现这个等式。

同态

  • 定理：同态保逆，即必然把 逆元 射成 逆元，

    φ(g−1)=φ(g)−1 .\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \ .

    说明

    这是因为

    φ(g)⋅G′φ(g−1)=φ(g⋅Gg−1)=φ(e)=e′ ,∀g∈G .\varphi(g) \cdot_{G'} \varphi(g^{-1}) = \varphi(g \cdot_G g^{-1}) = \varphi(e) = e' \ , \qquad \forall g \in G \ .

    只有 φ(g−1)=φ(g)−1\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} 才有可能实现。

同态

非单非满，但单值

同态映射 φ\varphi 是集合间映射，可以非单射、非满射。但应该是 <green>单值 的：

gg 一旦确定，那么值 φ(g)\varphi(g) 就确定了

部分文献要求满射：这是只是习惯差异。

同态

单值

同态映射 φ\varphi 是 单值 的，这意味着，倘若一个群元 g∈Gg\in G 可以写成 <red>不同 的乘积，

g=g1g2⋯=g1′g2′⋯ ,g = g_1 g_2 \cdots = g_1' g_2' \cdots \ ,

则同态性和单值性要求

φ(g)=φ(g1)φ(g2)⋯=φ(g1′)φ(g2′)⋯\varphi(g) = \varphi(g_1) \varphi(g_2) \cdots = \varphi(g_1') \varphi(g_2') \cdots

这也是很强的约束

同态

塞

作为 单值 映射，同态 φ:G→G′\varphi: G \to G' 可以 一对一，也可以 多对一 (但 <red>不能一对多)：形象理解为把 GG 塞进 G′G' 体内。

但是塞的方法很讲究：必须保持双方的群乘法。

同态例子

  • 考虑任意一个群 GG 以及平凡群 G′={e′}G' = \{e'\}。则可以定义 <green>平凡映射

    φ(g)=e′ .\varphi(g) = e'\ .

    这是一个 同态 映射。

  • 考虑任意一个群 GG 以及 G′=G{G'} = {G}。定义 <green>恒等映射 id⁡\operatorname{id}

    id⁡(g)=g .\operatorname{id}(g) = g\ .

    这是一个 同态 映射。

同态例子

End

群 GG 到自身的一个 同态 φ:G→G\varphi: G \to G 也称为一个 <green>Endomorphism。注意这与后面介绍的 同构 (isomorphism) <red>不是同一个东西。

同态例子

  • 设 HH 是 GG 的子群。则 <green>嵌入映射 ι:H→G\iota: H \to G 是一个 同态，其中

    ι(h)≔h .\iota(h) \coloneqq h \ .

    说明

    验算保持群乘法。显然

    ι(h1h2)=h1h2=ι(h1)ι(h2) ,ι(h−1)=h−1=ι(h)−1 .\iota(h_1 h_2) = h_1 h_2 = \iota(h_1) \iota(h_2) \ , \qquad \iota(h^{-1}) = h^{-1} = \iota(h)^{-1} \ .

同态例子

  • mod⁡2:Z→Z2={0,1}\operatorname{mod}_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2 = \{0,1\} 是一个同态，其中

    mod⁡2(n)≔nmod  2 .\operatorname{mod}_2 (n) \coloneqq n \mod 2\ .

    证明

    在 mod⁡2\operatorname{mod}_2 映射下，

    mod⁡2(偶数)=0,mod⁡2(奇数)=1 .\operatorname{mod}_2(\text{偶数}) = 0, \qquad \operatorname{mod}_2(\text{奇数}) = 1 \ .

同态例子

  • mod⁡2:Z→Z2\operatorname{mod}_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_2 是一个同态，其中

    mod⁡2(n)≔nmod  2 .\operatorname{mod}_2 (n) \coloneqq n \mod 2\ .

    证明

    显然，

    mod⁡2(偶数+偶数)= mod⁡2(偶数)=0=mod⁡2(偶数)+mod⁡2(偶数)mod⁡2(偶数+奇数)= mod⁡2(奇数)=1=mod⁡2(偶数)+mod⁡2(奇数)mod⁡2(奇数+奇数)= mod⁡2(偶数)=0=mod⁡2(奇数)+mod⁡2(奇数) .\begin{align*} \operatorname{mod}_2(\text{偶数} + \text{偶数}) = & \ \operatorname{mod}_2(\text{偶数}) = 0 = \operatorname{mod}_2(\text{偶数}) + \operatorname{mod}_2(\text{偶数})\nonumber \\ \operatorname{mod}_2(\text{偶数} + \text{奇数}) = & \ \operatorname{mod}_2(\text{奇数}) = 1 = \operatorname{mod}_2(\text{偶数}) + \operatorname{mod}_2(\text{奇数})\nonumber \\ \operatorname{mod}_2(\text{奇数} + \text{奇数}) = & \ \operatorname{mod}_2(\text{偶数}) = 0 = \operatorname{mod}_2(\text{奇数}) + \operatorname{mod}_2(\text{奇数}) \nonumber \ . \end{align*}

同态例子

  • 考虑 Z\mathbb{Z} 加法群。定义 φ2:Z→2Z\varphi_2: \mathbb{Z} \to 2 \mathbb{Z} 映射，

    φ2(n)≔2n ,\varphi_2(n) \coloneqq 2n \ ,

    则 φ2\varphi_2 是一个 同态

    说明

    验证保持群乘法。显然，

    φ2(n1+n2)=2(n1+n2)=2n1+2n2=φ2(n1)+φ2(n2) .\varphi_2(n_1 + n_2) = 2(n_1 + n_2) = 2n_1 + 2n_2 = \varphi_2(n_1) + \varphi_2(n_2) \ .

同态例子

  • 考虑 Z\mathbb{Z} 加法群。定义 φk:Z→kZ\varphi_k: \mathbb{Z} \to k \mathbb{Z} 映射，

    φk(n)≔kn ,\varphi_k(n) \coloneqq kn \ ,

    则 φk\varphi_k 是一个 同态

    说明

    验证保持群乘法和逆。显然，

    φk(n1+n2)=k(n1+n2)=kn1+kn2=φk(n1)+φk(n2) .\varphi_k(n_1 + n_2) = k(n_1 + n_2) = kn_1 + kn_2 = \varphi_k(n_1) + \varphi_k(n_2) \ .

同态例子

  • 考虑 Zn={ak ∣ k=0,…,n−1}\mathbb{Z}_n = \{a^k \ | \ k = 0, \ldots, n - 1\}。定义映射 φ:Zn→Zn\varphi: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n 为

    φ(a)≔a2 .\varphi(a) \coloneqq a^2 \ .

    则 φ2\varphi_2 是一个 同态

    说明

    检验保群乘法性，

    φ(ak1ak2)=a2(k1+k2)=a2k1a2k2=(ak1)2(ak2)2=φ(ak1)φ(ak2) .\varphi(a^{k_1}a^{k_2}) = a^{2(k_1 + k_2)} = a^{2k_1} a^{2k_2} = (a^{k_1})^2(a^{k_2})^2 = \varphi(a^{k_1}) \varphi(a^{k_2}) \ . \nonumber

    自行验证单值性

同态例子

  • 考虑任意 阿贝尔 群 GG。对任意 k∈Zk \in \mathbb{Z} 定义映射 φk:G→G\varphi_k: G \to G

    φk(g)≔gk ,∀g∈G ,\green{\varphi_k(g) \coloneqq g^k}\ , \qquad \forall g \in G \ ,

    则 φk\varphi_k 是一个 同态

    说明

    验证保群乘法 (题设 GG 是阿贝尔的，利用到交换性)

    φk(g1g2)=(g1g2)k=g1kg2k=φ(g1)φ(g2) ,\varphi_k(g_1 g_2) = (g_1 g_2)^k = g_1^k g_2^k = \varphi(g_1) \varphi(g_2) \ ,

    自行检验单值性

同态例子

  • 任意 线性空间 都是一个 阿贝尔加群

  • 考虑任意两个线性空间 V,V′V, V'。设 φ:V→V′\varphi: V \to V' 是一个线性映射，则 φ\varphi 是同态。

    说明

    由于 φ\varphi 是 线性 映射，因此

    φ(v1+v2)=φ(v1)+φ(v2),φ(λv)=λφ(v) .\varphi(v_1 + v_2) = \varphi(v_1) + \varphi(v_2), \qquad \varphi(\lambda v) = \lambda \varphi(v) \ .

同态例子

线性结构

线性空间 VV 是一个 加法群。此外，数乘运算 使 VV 具有更加高级的结构：<green>线性结构。在线性结构层面上，线性映射是群同态的升级版：它 保持线性结构。

同态例子

  • 考虑全体 2×22 \times 2 非退化 实矩阵所构成的集合 GL(2,R)GL(2, \mathbb{R})

  • 集合 GL(2,R)GL(2, \mathbb{R}) 在 矩阵乘法 加持下形成一个 群

    群结构

    封闭性：det⁡MN=det⁡M⋅det⁡N\det MN = \det M \cdot \det N

    单位元：单位矩阵。

    逆元：逆矩阵 (由 非退化性，总是存在)。

    结合律：由矩阵乘法保证。

同态例子

  • 考虑映射 det⁡:GL(2,R)→R≠0\det: GL(2, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_{\ne 0}，

    det⁡(abcd)=ad−bc ,\det \bigg(\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\bigg) = ad - bc \ ,

    则 det⁡\det 是一个 同态

    说明

    检验保持群乘法，利用行列式性质即可，

    det⁡(M1M2)=det⁡M1det⁡M2 .\det (M_1 M_2) = \det M_1 \det M_2 \ .

同态例子

  • 定理：指数映射 exp⁡:R→U(1)\exp: \mathbb{R} \to U(1) 是同态，其中定义

    exp⁡(x)≔e2πix .\green{\exp(x) \coloneqq e^{2\pi i x}} \ .

同态例子

  • 定理：指数映射 exp⁡:R→U(1)\exp: \mathbb{R} \to U(1) 是同态，其中

    exp⁡(x)≔e2πix .\green{\exp(x) \coloneqq e^{2\pi i x}} \ .

    指数映射

    R\mathbb{R} 是实数加群，U(1)U(1) 是单位圆上的复数乘法群。检查指数映射保持群乘法运算，

    exp⁡(x+y)=e2πi(x+y)=e2πixe2πiy=exp⁡(x)exp⁡(y) .\exp(x + y) = e^{2\pi i (x + y)} = e^{2\pi i x} e^{2\pi i y} = \exp(x) \exp(y) \ .

同态例子

  • 考虑置换群 SnS_n。
  • <green>定义 映射 sign⁡:Sn→Z2\operatorname{sign}: S_n \to \mathbb{Z}_2

    sign⁡(偶置换 )=+1,sign⁡(奇置换)=−1 .\operatorname{sign}(\text{偶置换 }) = +1, \qquad \operatorname{sign}(\text{奇置换}) = - 1\ .

  • sign⁡\operatorname{sign} 是群 同态：

    sign⁡(偶置换⋅奇置换)= sign⁡(奇置换)=−1= sign⁡(偶置换)sign⁡(奇置换) .\begin{align*} \operatorname{sign}(\text{偶置换} \cdot \text{奇置换}) = & \ \operatorname{sign}(\text{奇置换}) = -1 \\ = & \ \operatorname{sign}(\text{偶置换} ) \operatorname{sign}(\text{奇置换})\ . \end{align*}

同态例子

  • 定理：考虑 有限群 GG，则共有 ∣G∣|G| 个 Z→G\mathbb{Z} \to G 的同态

    说明

    • 设 ϕ:Z→G\phi: \mathbb{Z} \to G 是一个 同态。根据同态定义，任选 m∈Zm \in \mathbb{Z}，

      ϕ(m∈Z)=ϕ(1+1+⋯+1)=ϕ(1)m .\phi(m \in \mathbb{Z}) = \phi(1 + 1 + \cdots + 1) = \phi(1)^m \ .

      因此，ϕ(m)\phi(m) 完全 由 ϕ(1)\phi(1) 确定。

    11 很特殊：其整幂次可以生成 Z\mathbb{Z}

同态例子

  • 定理：考虑 有限群 GG，则共有 ∣G∣|G| 个 Z→G\mathbb{Z} \to G 的同态

    说明

    • 反过来，任意 人为选定的值 ϕ(1)∈G\phi(1) \in G 都 能够唯一 定义一个 同态 <green>ϕ(m)≔ϕ(1)m\phi(m) \coloneqq \phi(1)^m，只须要求

      ϕ(m+n)=ϕ(1)m+n=ϕ(1)mϕ(1)n=ϕ(m)ϕ(n) .\phi(m + n) = \phi(1)^{m + n} = \phi(1)^m \phi(1)^n = \phi(m) \phi(n) \ .

    • 一个指定值 ϕ(1)\phi(1) 就对应一个 Z→G\mathbb{Z} \to G 的同态
    • 共有 ∣G∣|G| 那么多个 ϕ(1)\phi(1) 值可选 ⇒\Rightarrow 共 ∣G∣|G| 个同态。

同态例子

  • 考虑 有限群 GG。是否存在 非平凡 的 φ:G→Z\varphi: G \to \mathbb{Z} 的同态？

    说明

    <red>不存在。

    由于 GG 是有限群，因此对 ∀g∈G\forall g \in G，其 ord⁡g≔n=1,2,3,⋯\operatorname{ord}g \coloneqq n = 1,2,3, \cdots，即

    gn=e∈G .g^{n} = e \in G \ .

    对于任意同态 φ:G→Z\varphi: G \to \mathbb{Z},

    0=φ(e)=φ(gn)=nφ(g)⇒φ(g)=0 .\red{0} = \varphi(e) = \varphi(g^n) = \red{n \varphi(g)} \Rightarrow \varphi(g) = 0 \ .

    因此，φ\varphi 把 GG 所有元素射到 Z\mathbb{Z} 的 单位元 00，是 平凡 同态映射。

同态例子

  • 对比上面两个例子

    <green>存在 ∣G∣|G| 个 Z→G\mathbb{Z} \to G 的同态

    <red>不存在非平凡的 G→ZG \to \mathbb{Z} 的同态

  • 以 G=Zn={0,1,⋯ ,n−1}G = \mathbb{Z}_n = \{0, 1, \cdots, n - 1\} 为例，能否仿照第一个例子：选定 1∈Zn1 \in \mathbb{Z}_n，强行指定值

    φ(1)=k≠0∈Z\varphi(1) = k \ne 0 \in \mathbb{Z}

    <red>由此构造一个同态？

同态例子

  • <red>不行

    非映射

    强行构造会产生 <red>多值映射：在 Zn\mathbb{Z}_n 中，0=n=2n=⋯0 = n = 2n = \cdots

    φ(1)≔k⇒φ(n)= φ(1)+⋯+φ(1)=nk≠0φ(2n)= φ(1)+⋯+φ(1)=2nk≠0\begin{align*} \varphi(1) \coloneqq k \qquad \Rightarrow \qquad \varphi(n) = & \ \varphi(1) + \cdots + \varphi(1) = n k \ne 0 \\ \varphi(2n) = & \ \varphi(1) + \cdots + \varphi(1) = 2n k \ne 0 \end{align*}

    以及 (保单位元) φ(0)=0\varphi(0) = 0。显然 <red>多值。

同态例子

  • 定理：同态会把阶降低为阶的因子，即

    原像的阶ord⁡a同态像的阶ord⁡φ(a)∈N .\frac{\text{原像的阶} \operatorname{ord}a}{\text{同态像的阶} \operatorname{ord}\varphi(a)} \in \mathbb{N}\ .

    说明

    设 φ:G→G′\varphi: G \to G' 是同态，记 a∈Ga \in G 的阶为 n=ord⁡an = \operatorname{ord}a。则

    an=e⇒φ(an)=φ(a)n=φ(e)=e′ .a^n = e \Rightarrow \varphi(a^n) = \varphi(a)^n = \varphi(e) = e' \ .

    即 nn 必然是 ord⁡φ(a)\operatorname{ord}\varphi(a) 的倍数，ord⁡φ(a)\operatorname{ord}\varphi(a) 是 nn 的因子，

    n=ord⁡a=n′ord⁡φ(a) ,n′=1,2,3,…,n .n = \operatorname{ord}a = n'\operatorname{ord}\varphi(a) \ ,\qquad n' = 1, 2, 3, \ldots, n \ .

同态例子

  • 考虑有限群 GG。是否存在 非平凡 的 φ:Zn→G\varphi: \mathbb{Z}_n \to G 的同态？

    说明

    • 设 φ:Zn={e,a,⋯ ,an−1}→G\varphi: \mathbb{Z}_n = \{e, a, \cdots, a^{n - 1}\} \to G 是某个非平凡的同态。

      an=eZn∈Zn .a^n = e_{\mathbb{Z}_n} \in \mathbb{Z}_n \ .

    • 仿照之前的思路：选定 φ(a)∈G\varphi(a) \in G 的值，尝试构造同态
    • <red>φ(a)\varphi(a) 是否可以随便选？

同态例子

  • 考虑有限群 GG。是否存在 非平凡 的 φ:Zn→G\varphi: \mathbb{Z}_n \to G 的同态？

    说明

    • 同态保单位元，

      φ(a)n=φ(an)=φ(eZn)=eG .\varphi(a) ^n = \varphi(a^n) = \varphi(e_{\mathbb{Z}_n}) = e_G \ .

      ⇒\Rightarrow φ(a)\varphi(a) 必须满足 φ(a)n=eG\varphi(a) ^n = e_G

      nn 必须是 ord⁡φ(a)\operatorname{ord}\varphi(a) 的整数倍。

同态例子

  • 考虑有限群 GG。是否存在 非平凡 的 φ:Zn→G\varphi: \mathbb{Z}_n \to G 的同态？

    说明

    • <red>这样的 φ(a)∈G\varphi(a) \in G 是否总是存在？ 不一定

    • 若存在 g∈Gg \in G 使得 ord⁡g\operatorname{ord}g 是 nn 的 因子 (显然 ord⁡g≤n\operatorname{ord}g \le n)，则可以设

      φ(a):=g ,\green{\varphi(a) := g} \ ,

      这自动形成 φ:Zn→G\varphi: \mathbb{Z}_n \to G 的一个同态。

    自行检查单值性: φ(ak)=φ(aℓ)⇔k=ℓmod  n\varphi(a^k) = \varphi(a^\ell) \Leftrightarrow k = \ell \mod n

同态例子

Zn→Zn\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n

当恰好有 G=ZnG = \mathbb{Z}_n，则 GG 中任选元素的阶必然是 nn 的因子。因此，每一个 Zn\mathbb{Z}_n 中的元素 g=akg = a^k 都产生 一个合法的 Zn→Zn\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n 的 同态，

φ(a)=g=ak ,φ(aℓ)=gℓ=akℓ .\varphi(a) = g = a^k \ , \qquad \varphi(a^\ell) = g^\ell = a^{k\ell} \ .

同构

  • <green>定义：倘若 同态 φ:G→G′\varphi:G\to G' 恰好是 双射，则称其为 G→G′G \to G' 的一个 <green>同构 (isomorphism)，称 GG 与 G′G' 是 <green>同构的 (isomorphic)，记作 G≃G′G \simeq G' 或直接 G=G′G = G'。

    形容词

    「同构的」是来自 同构 的形容词，可以用于形容两个群的关系。

    <red>不存在「同态的」这个形容词。

同构

  • 同构的群具有完全一样的
    • 群元数量
    • 乘法表
    • 子群结构
    • 共轭类结构
    • 元素的 order
    • ……

同构

同构的群

总而言之，同构的两个群的 代数结构 完全一模一样。

同构

和而不同

两个群 同构 强调的是两个群「具有相同结构」，但 <red>不 代表两个群「是同一个群」。

类比面向对象编程，「同构但不相同的群」相当于同属一个类 (class) 的不同实例 (instance)。

同构

  • 定理：若 φ:G→G′\varphi: G \to G' 是同构，则 a∈Ga \in G 与 φ(a)∈G′\varphi(a) \in G' 的 order 相同。

    说明

    直接验证即可，记 n=ord⁡an = \operatorname{ord}a，则

    φ(a)n=φ(an)=e′ .\varphi(a)^n = \varphi(a^n) = e' \ .

    此外，对任意 n~∈{1,…,n−1}\tilde n \in \{1, \ldots, n - 1\}，an~≠ea^{\tilde n} \ne e，因此由 单射性，GG 中只有 ee 一个元素被射为 e′e'，因此

    φ(a)n~=φ(an~≠e)≠e′ ,\varphi(a)^{\tilde n} = \varphi(a^{\tilde{n}} \ne e) \ne e' \ ,

同构例子

  • 考虑 GG 中子群 HH。任选一个群元 g∈Gg \in G，则集合

    gHg−1≔{ghg−1 ∣ h∈H}g H g^{-1} \coloneqq \{g h g^{-1} \ | \ h \in H\}

    形成 GG 中子群，且与 HH 同构。称其为 HH 的一个 <green>共轭子群。

共轭子群

  • 首先说明 gHg−1g H g^{-1} 成群，只需要验证乘法、取逆封闭性。

    (gh1g−1)(gh2g−1)= g(h1h2)g−1∈gHg−1,(ghg−1)−1= gh−1g−1∈gHg−1 .\begin{align*} (g h_1 g^{-1}) (g h_2 g^{-1}) = & \ g (h_1h_2) g^{-1} \in gHg^{-1},\\ (ghg^{-1})^{-1} = & \ g h^{-1} g^{-1} \in g H g^{-1}\ . \end{align*}

  • 定义 φ:H→gHg−1\varphi: H \to gHg^{-1} 的映射为 φ(h)≔ghg−1\varphi(h) \coloneqq g h g^{-1}。由于重排定理，∣H∣=∣gHg−1∣|H| = |g H g^{-1}|，因此 φ\varphi 是 双射。也是 同态，因为

    φ(h1)φ(h2)=gh1g−1gh2g−1=gh1h2g−1=φ(h1h2) .\varphi(h_1) \varphi(h_2) = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = gh_1 h_2 g^{-1} = \varphi(h_1 h_2)\ .

同构例子

  • 考虑 H,GH, G 是两个群。倘若存在一个同态 单射 ι:H→G\iota: H \to G，则

    (1) <green>Im⁡ι≔{ι(h)∣all h∈H}\operatorname{Im}\iota \coloneqq \{\iota (h) | \text{all } h \in H\} 是 GG 的一个 子群

    (2) Im⁡ι\operatorname{Im}\iota 与 HH 同构，一般直接记为 Im⁡ι=H≤G\operatorname{Im}\iota = H \le G

    说明

    证明映像 Im⁡ι\operatorname{Im}\iota 是子群只需要验证乘法、取逆封闭性。显然

    ι(h1)ι(h2)=ι(h1h2)∈Im⁡ι .\iota(h_1)\iota(h_2) = \iota(h_1 h_2) \in \operatorname{Im}\iota \ .

    由于 单射 性，ι:H→Im⁡ι\iota: H \to \orange{\operatorname{Im}\iota} 显然 满射，因此是 双射。

同态核与像

  • <green>定义：考虑任意同态 φ:G→G′\varphi: G\to G'。定义 <green>核 (kernel)

    ker⁡φ≔{g∈G ∣ φ(g)=e′∈G′} .\ker \varphi \coloneqq \{g \in G \ | \ \varphi(g) = e' \in G'\}\ .

  • <green>定义：考虑任意同态 φ:G→G′\varphi: G\to G'。定义 <green>像集 (image)

    Im⁡φ≔ {g′∈G′ ∣ ∃g∈G, s.t. φ(g)=g′}= {φ(g)∣ all g∈G}\begin{align*} \operatorname{Im} \varphi \coloneqq & \ \{g' \in G' \ | \ \exists g \in G, \text{ s.t. } \varphi(g) = g'\}\\ = & \ \{ \varphi(g)| \text{ all } g \in G\} \end{align*}

同态核与像

同态核与像

缩写

由上述定义，

φ(ker⁡φ)={e′} ,φ(G)=Im⁡φ .\varphi(\operatorname{ker}\varphi) = \{e'\} \ , \qquad \varphi(G) = \operatorname{Im}\varphi \ .

同态核

  • 定理：像集 Im⁡φ\operatorname{Im}\varphi 是 G′G' 的子群

    像集

    • 只需验证乘法封闭性和取逆封闭性。

    • 设 g1′,g2′∈Im⁡φg'_1, g_2' \in \operatorname{Im}\varphi，则必然存在 g1,g2∈Gg_1, g_2 \in G 使得 φ(g1,2)=g1,2′\varphi(g_{1,2}) = g'_{1,2}。因此

      g1′g2′=φ(g1)φ(g2)=φ(g1g2)⇒ g1′g2′ 有原像⇒ g1′g2′∈Im⁡φ .\begin{align*} g_1'g_2' = \varphi(g_1) \varphi(g_2) = \varphi(g_1 g_2) \quad \Rightarrow & \ \quad g_1'g_2' \text{ 有原像}\\ \Rightarrow & \ \quad g_1'g_2' \in \operatorname{Im}\varphi \ . \end{align*}

    • 类似地，φ(g)−1=φ(g−1)\varphi(g)^{-1} = \varphi(g^{-1}) 说明 (Im⁡φ)−1⊂Im⁡φ(\operatorname{Im}\varphi)^{-1} \subset \operatorname{Im}\varphi。

    • 因此，Im⁡φ≤G′\operatorname{Im}\varphi \le G'。

同态核

像集

同态像集是值域群 G′G' 的子群：如果 G′G' 没有非平凡子群，那 Im⁡φ={e′}\operatorname{Im}\varphi = \{e'\} 或者 G′G'。

这说明如果 G′=ZpG' = \mathbb{Z}_p，且 ∣G∣<p|G| < p，则 Im⁡φ={e′}\operatorname{Im}\varphi = \{e'\}，即 φ\varphi 是平凡同态。

同态核

  • 定理：同态的核 ker⁡φ\ker \varphi 是 GG 的 正规子群

    同态核

    • 首先证明 ker⁡φ\ker \varphi 是一个子群。验证乘法封闭性。设 g1,g2∈ker⁡φg_1, g_2 \in \ker \varphi，则

      φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)=e′⋅e′=e′ .\varphi(g_1 \cdot g_2) = \varphi(g_1) \cdot \varphi(g_2) = e' \cdot e' = e' \ .

      于是 g1g2g_1g_2 依然属于 ker⁡φ\ker \varphi。

    • 验证取逆封闭性。设 g∈ker⁡φg \in \ker \varphi，则

      φ(g−1)=φ(g)−1=(e′)−1=e′ .\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} = (e')^{-1} = e' \ .

      即 g−1g^{-1} 也属于 ker⁡φ\ker \varphi。

同态核

  • 定理：同态核 ker⁡φ\ker \varphi 是 GG 的 正规子群

    同态核

    • 接下来证明 正规性，即 g(ker⁡φ)=(ker⁡φ)gg (\ker \varphi) = (\ker \varphi) g。这个等式等价于

      g(ker⁡φ)g−1=ker⁡φ ,∀g∈G .g (\ker \varphi) g^{-1} = \ker \varphi \ , \qquad \forall g \in G \ .

    • 因此只要证明 φ(gker⁡φg−1)=e′\varphi(g \ker \varphi g^{-1}) = e' 即可：

      φ(gker⁡φg−1)=φ(g)φ(ker⁡φ)φ(g−1)=φ(g)e′φ(g)−1=e′ .\varphi(g \ker \varphi g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(\ker \varphi) \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) e' \varphi(g)^{-1} = e' \ .

      因此，gker⁡φg−1=ker⁡φg \ker \varphi g^{-1} = \ker \varphi。

同态核定理/同构基本定理

  • 同态核定理/同构基本定理：G/ker⁡φG/\operatorname{ker}\varphi 是一个商群，且与映射像 Im⁡φ\operatorname{Im}\varphi 同构。

同态核定理/同构基本定理

根据正规子群的性质，G/ker⁡φG/\operatorname{ker}\varphi 当然是个商群。

同态核定理的关键是说这个商群刚好与 Im⁡φ\operatorname{Im}\varphi 同构

同态核定理/同构基本定理

  • 同态核定理可以拆分成四个小定理

  • 定理：每一个 ker⁡φ\operatorname{ker}\varphi 的 <green>陪集 gker⁡φg \operatorname{ker}\varphi 都被 φ\varphi 整个映射为 单一映像 φ(g)\varphi(g)

    证明

    • 任选 g∈Gg \in G，则 gIm⁡φg\operatorname{Im}\varphi 中任何一个元素 gkg k，其中 k∈ker⁡φk \in \operatorname{ker}\varphi，都有

      φ(gk)=φ(g)φ(k)=φ(g)⋅e′=φ(g) .\varphi(g k) = \varphi(g) \varphi(k) = \varphi(g) \cdot e' = \varphi(g)\ .

    • 这说明可以建立 单值/well-defined 映射 φ:G/ker⁡φ→Im⁡φ\varphi: G/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{Im}\varphi

同态核定理

  • 定理：φ:G/ker⁡φ→Im⁡φ\varphi: G/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{Im}\varphi 是 单射，即两个 不同的陪集 一定被映射到两个 不同的像。

    证明

    • 考虑任意两个 互异 陪集 g1ker⁡φ≠g2ker⁡φg_1\ker\varphi \ne g_2 \ker\varphi，则 g1,g2g_1, g_2 必然满足 g1−1g2∉ker⁡φg_1^{-1} g_2 \not \in \ker \varphi。
    • 从而

      φ(g1−1g2)≠e′⇒φ(g1)≠φ(g2)⇒φ(g1ker⁡φ)≠φ(g2ker⁡φ)\begin{align*} \varphi(g_1^{-1} g_2) \ne e' \qquad \Rightarrow \qquad \orange{\varphi(g_1)} \ne \orange{\varphi(g_2)} \\ \Rightarrow \orange{\varphi(g_1 \ker\varphi)} \ne \orange{\varphi(g_2 \ker\varphi)} \end{align*}

同态核定理

  • 定理：φ:G/ker⁡φ→Im⁡φ\varphi: G/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{Im}\varphi 肯定是 满射

    证明

    因为 φ(g)∈Im⁡φ\varphi(g) \in \operatorname{Im}\varphi 必然来自 gg 以及 gker⁡φg \operatorname{ker}\varphi。

同态核定理

  • 定理：映射 φ:G/ker⁡φ→Im⁡φ\varphi: G/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{Im}\varphi 是 同态

    证明

    • 回顾正规性和子群性

      ker⁡φg2=g2ker⁡φ,ker⁡φker⁡φ=ker⁡φ\operatorname{ker}\varphi g_2 = g_2 \operatorname{ker}\varphi,\qquad \operatorname{ker}\varphi \operatorname{ker}\varphi = \operatorname{ker}\varphi

    • 结合 φ(ker⁡φ)=e′\varphi(\operatorname{ker}\varphi) = e'

      φ((g1ker⁡φ)(g2ker⁡φ))=φ(g1g2ker⁡φker⁡φ)= φ((g1g2)ker⁡φ)= φ(g1g2)φ(g1ker⁡φ)φ(g2ker⁡φ)= φ(g1)φ(g2)\begin{align*} \orange{\varphi\big((g_1 \ker \varphi) (g_2 \ker \varphi)\big)} = \varphi(g_1 g_2 \operatorname{ker}\varphi \operatorname{ker}\varphi) = & \ \varphi((g_1 g_2) \operatorname{ker}\varphi) \\ = & \ \varphi(g_1 g_2) \\ \orange{\varphi(g_1 \operatorname{ker}\varphi) \varphi(g_2 \operatorname{ker}\varphi)} = & \ \varphi(g_1) \varphi(g_2) \end{align*}

同态核定理

  • 总结：映射 φ:G/ker⁡φ→Im⁡φ\varphi: G/\operatorname{ker}\varphi \to \operatorname{Im}\varphi 是单射，满射，同态，因此是 同构。

同态核定理

  • 同态核定理：G/ker⁡φG/\operatorname{ker}\varphi 是一个商群，且与映射像 Im⁡φ\operatorname{Im}\varphi 同构。
  • 显然，对任一像 φ(g1)\varphi(g_1)，其 原像 为 g1ker⁡φg_1 \operatorname{ker}\varphi。
  • 对任一 φ(g1)\varphi(g_1)，原像的 数量 均为 ∣g1ker⁡φ∣=∣ker⁡φ∣|g_1 \operatorname{ker}\varphi| = |\operatorname{ker}\varphi|
  • 因此 φ:G→G\varphi: G \to G 是 ∣ker⁡φ∣:1|\operatorname{ker}\varphi|: 1 映射
  • 定理：φ\varphi 是 单射 等价于 ker⁡φ={e}\operatorname{ker}\varphi = \{e\}。

自同构

  • 群 GG 及其 自身 之间可以建立同构映射。

  • <green>定义：任何 G→GG \to G 的同构映射称为 GG 的一个 <green>自同构 (automorphism)

    满射

    设 φ:G→G\varphi: G \to G 是自同构，因此是同态双射，因此是满射。因此，任意 g∈Gg \in G 一定可以找到 g′∈Gg' \in G 使得 g=φ(g′)g = \varphi(g')。

    逆映射

    双射 可逆，且逆映射也是双射。

自同构

  • 两个 G→GG\to G 的自同构的 复合 还是 G→GG \to G 自同构。

    说明

    • 验证 φ1∘φ2\varphi_1 \circ \varphi_2 依然是 同态双射 即可。
    • 验证保群乘法，

      (φ1∘φ2)(g1g2)= φ1(φ2(g1g2))=φ1(φ2(g1)φ2(g2))= φ1(φ2(g1)) φ1(φ2(g2))= (φ1∘φ2)(g1) (φ1∘φ2)(g2) .\begin{align*} (\varphi_1 \circ \varphi_2)(g_1 g_2) = & \ \varphi_1 (\varphi_2(g_1 g_2)) = \varphi_1 (\varphi_2(g_1) \varphi_2(g_2))\\ = & \ \varphi_1 (\varphi_2(g_1)) ~ \varphi_1 (\varphi_2(g_2)) \\ = & \ (\varphi_1 \circ \varphi_2)(g_1) ~ (\varphi_1 \circ \varphi_2)(g_2) \ . \end{align*}

    • 双射的复合当然还是双射

自同构

映射的复合满足结合律

自同构

  • 恒等映射 id⁡\operatorname{id} 也是一个自同构，且

    id⁡∘φ=φ∘id⁡=φ\operatorname{id}\circ \varphi = \varphi \circ \operatorname{id} = \varphi

自同构

  • 自同构的 逆映射 也是自同构

    证明

    • 论证逆映射也是同态双射即可

    • 设 φ\varphi 是自同构，φ−1\varphi^{-1} 是其逆映射，则 φ−1\varphi^{-1} 显然也是 双射。

    • 验证 φ−1\varphi^{-1} 是同态映射。对任意 g1,g2∈Gg_1, g_2 \in G，必然可以写成 g1=φ(g1′)g_1 = \varphi(g_1'), g2=φ(g2′)g_2 = \varphi(g_2')，则

      φ−1(g1g2)=φ−1(φ(g1′)φ(g2′))= φ−1(φ(g1′g2′))φ−1(g1)φ−1(g2)=g1′g2′= \begin{align*} \orange{\varphi^{-1} (g_1 g_2)} = \varphi^{-1} (\varphi(g_1') \varphi(g_2')) = & \ \varphi^{-1} (\varphi(\purple{g_1' g_2'})) \\ \orange{\varphi^{-1}(g_1) \varphi^{-1}(g_2)} = \purple{g_1' g_2'} = & \ \end{align*}

子同构

  • 有满足结合律的「乘法」
  • 乘法封闭
  • 有单位元
  • 有逆元
  • <red>这像什么东西？

自同构

  • <green>定义：给定一个 GG，收集它的所有 自同构 映射 φ\varphi 形成集合 <green>Aut⁡G\operatorname{Aut}G

    Aut⁡G≔{φ ∣ φ 是 G 的自同构} .\green{\operatorname{Aut}G \coloneqq \{\varphi \ | \ \varphi \text{ 是 $G$ 的自同构}\}} \ .

  • 定理：选择 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 中元素之间的 群乘法 为 映射的复合，

    φ1⋅φ2≔φ1∘φ2 .\varphi_1 \cdot \varphi_2 \coloneqq \varphi_1 \circ \varphi_2 \ .

    则 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 形成一个 群，称为 GG 的 <green>自同构群 (automorphism group)

自同构：例子

  • <green>定义：考虑任何一个群 GG，再 选定 任一群元 gg，定义一个映射 <green>伴随作用 (adjoint action) Adg:G→GAd_g: G\to G

    Adgg′≔gg′g−1 .Ad_g g' \coloneqq g g' g^{-1} \ .

  • 定理：对任意给定 gg，映射 Adg:G→GAd_g:G \to G 是 GG 的一个 自同构。

自同构：例子

说明

  • 需要验证同态性和双射性。
  • 验证同态性，

    Adg(g1g2)=gg1g2g−1=gg1g−1gg2g−1=(Adgg1)(Adgg2) .Ad_g (g_1 g_2) = g g_1 g_2 g^{-1} = g g_1 g^{-1} g g_2 g^{-1} = (Ad_g g_1)(Ad_g g_2) \ .

自同构：例子

说明

  • 验证 单射。若 g1≠g2g_1 \ne g_2，则有

    gg1≠gg2⇔gg1g−1≠gg2g−1⇔Adgg1≠Adgg2 .gg_1 \ne gg_2 \quad\Leftrightarrow\quad gg_1 g^{-1} \ne gg_2 g^{-1} \quad\Leftrightarrow\quad Ad_gg_1 \ne Ad_gg_2 \ .

  • 验证 满射：任意 g1∈Gg_1 \in G 必有 AdgAd_g 原像 g−1g1gg^{-1}g_1 g：

    Adg(g−1g1g)=g(g−1g1g)g−1=g1 .Ad_g (g^{-1}g_1 g) = g (g^{-1}g_1 g)g^{-1} = g_1 \ .

自同构：例子

  • 考虑 阿贝尔群 GG 中任意的群元 gg，必然有 Adg=id⁡Ad_g = \operatorname{id}，因为

    Adgg′=gg′g−1=gg−1g′=g′ ,∀g′∈G .Ad_g g' = g g' g^{-1} = g g^{-1} g' = g' \ , \qquad \forall g' \in G\ .

自同构：例子

  • Z2={e=a0,a ∣ a2=e}\mathbb{Z}_2 = \{e = a^0, a \ | \ a^2 = e\}。自同构映射只有一个：id⁡\operatorname{id}

    说明

    Z2→Z2\mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 的自同构 φ\varphi 首先把 e→φee \xrightarrow{\varphi} e。余下 aa 只能去 aa 了，因此 φ=id⁡\varphi = \operatorname{id}。

  • Aut⁡Z2={id⁡}\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_2 = \{\operatorname{id}\}

自同构：例子

  • Z3={e=a0,a,a2 ∣ a3=e}\mathbb{Z}_3 = \{e = a^0, a, a^2 \ | \ a^3 = e\}。考虑映射

    φ(ak)≔a3−k,φ(e)=e,φ(a)=a2,φ(a2)=a .\varphi(a^k) \coloneqq a^{3 - k}, \quad \varphi(e) = e, \varphi(a) = a^2, \varphi(a^2) = a \ .

    这个映射是 Z3\mathbb{Z}_3 的 自同构映射。

    证明

    • 验证同态性，即验证保群乘法性，

      φ(akaℓ)=φ(ak+ℓ)=a3−(k+ℓ)=a3−ka3−ℓ=φ(ak)φ(aℓ) .\varphi(a^k a^\ell) = \varphi(a^{k + \ell}) = a^{3 - (k + \ell)} = a^{3 - k} a^{3 - \ell} = \varphi(a^k) \varphi(a^\ell) \ .

    • 双射是显然的。

自同构：例子

  • Zn={e=a0,a,a2,…,an−1 ∣ an=e}\mathbb{Z}_n = \{e = a^0, a, a^2, \ldots, a^{n - 1} \ | \ a^n = e\}

  • 设 φ:Zn→Zn\varphi: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n 是 自同构，则必然存在 m∈{1,…,n−1}m \in \{1, \ldots, n-1\} 使得 <green>φ(a)=am\varphi(a) = a^m。重新标记这个同构为 <green>φm≔φ\varphi_m \coloneqq \varphi，

    同态性

    • 注意 <red>m≠0m \ne 0。<red>why?
    • 由同态性，得到 φm(ak)=akm\varphi_m (a^k) = a^{km}，即一个整数 mm 完全确定 了整个 φm\varphi_m。
    • 每个同态 Zn→Zn\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n 都可以用 一个整数 标记。但 <red>不是 任意整数都使 φm\varphi_m 同构。

自同构：例子

  • 同构 φm\varphi_m 应该是 单射，即 ker⁡φ={e}\operatorname{ker}\varphi = \{e\}，即

    φm(ak)=akm≠e,∀k∈{1,2,⋯ ,n−1}\varphi_m(a^k) = a^{km} \ne e, \qquad \forall k \in \{1, 2, \cdots, n - 1\}

    这说明 <red>这些 kmkm 都不是 nn 的整数倍

    ⇒\Rightarrow m,nm, n 互质，也就是 gcd⁡(m,n)=1\operatorname{gcd}(m, n) = 1

自同构：例子

说明

  • 反证法。假设 m,nm, n 不互质，于是 m=m′ℓ\purple{m = m'\ell}，n=n′ℓn = n'\ell，ℓ>1\ell > 1。显然

    n′∈{1,2,⋯ ,n−1}n' \in \{1, 2, \cdots, n - 1\}

  • 于是

    mn′=m′ℓn′‾=m′n‾\purple{m} n' = \purple{m'} \underline{\purple{\ell}n'} = m'\underline{n}

    这与上述要求矛盾

自同构：例子

  • 由于 Zn\mathbb{Z}_n 是有限群，因此 φm:Zn→Zn\varphi_m: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n 单射必然是满射
  • 定理：Zn\mathbb{Z}_n 的自同构群为

    Aut⁡Zn={φm∈{1,…,n−1}∣gcd⁡(m,n)=1}\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_n = \{\varphi_m \in \{1, \ldots, n - 1\} \mid \operatorname{gcd}(m, n ) = 1\}

自同构：例子

  • Z4={e=a0,a,a2,a3 ∣ a4=e}\mathbb{Z}_4 = \{e = a^0, a, a^2, a^3 \ | \ a^4 = e\}，考虑 φm:Z4→Z4\varphi_m: \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4
    • m=0m = 0：平凡映射，非单射非满射，<red>非自同构
    • m=1m = 1：φ1(ak)=ak\varphi_1(a^k) = a^k，恒等映射，自同构
    • m=2m = 2：φ2(e)=φ2(a2)=a4=e\varphi_2(e) = \varphi_2(a^2) = a^4 = e，非单射，<red>非自同构
    • m=3m = 3：自同构，

      φ3(e)= e,φ3(a)=a3 ,φ3(a2)= a6=a2,φ3(a3)=a9=a .\begin{align*} \varphi_3(e) = & \ e, & \varphi_3(a) = & a^3\ , \\ \varphi_3(a^2) = & \ a^6 = a^2, & \varphi_3(a^3) = & a^9 = a \ . \end{align*}

  • Aut⁡Z4=Z2\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_4 = \mathbb{Z}_2

内自同构群

  • 有的自同构可以表达成 AdgAd_g，但有的就 <red>不行 (比如 Z3\mathbb{Z}_3)。
  • <green>定义：对于任意给定的 GG，每一个 g∈Gg \in G 所对应的 AdgAd_g 均称为一个 <green>内自同构 (inner automorphism)，它们构成一个集合并成 群，称为 GG 的 <green>内自同构群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G，群乘法为映射的复合，

    Adg1⋅Adg2≔Adg1∘Adg2∈Inn⁡G .Ad_{g_1} \cdot Ad_{g_2} \coloneqq Ad_{g_1} \circ Ad_{g_2} \in \operatorname{Inn}G \ .

内自同构群

  • 定理：内自同构群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 是自同构群 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 的 子群

    证明

    • 只要验证乘法封闭和取逆封闭
    • 验证乘法封闭性。考虑任意 g,g1,g2∈Gg, g_1, g_2 \in G，

      (Adg1∘Adg2)(g)=Adg1(Adg2g)= Adg1(g2gg2−1)= g1(g2gg2−1)g1−1Adg1g2(g)=(g1g2)g(g1g2)−1=\begin{align*} \orange{(Ad_{g_1} \circ Ad_{g_2})}(g) = Ad_{g_1} (Ad_{g_2}g) = & \ Ad_{g_1}(g_2 g g_2^{-1}) \\ = & \ g_1 (g_2 g g_2^{-1}) g_1^{-1}\\ \orange{Ad_{g_1 g_2}} (g) = (g_1g_2) g (g_1 g_2)^{-1} = & \end{align*}

内自同构群

  • 定理：内自同构群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 是自同构群 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 的 子群

    证明

    • 验证取逆封闭。先明确 <green>逆映射 (Adg)−1(Ad_g)^{-1} 是什么映射，

      ((Adg)−1∘Adg)(g′)= id⁡(g′)=g′=g−1gg′g−1g(Adg)−1(gg′g−1)= g−1(gg′g−1)g .\begin{align*} \Big((Ad_g)^{-1} \circ \orange{Ad_g} \Big)(\orange{g'}) = & \ \operatorname{id}(g') = \purple{g'} = g^{-1} g \purple{g'} g^{-1} g \\ (Ad_g)^{-1}(\orange{g g' g^{-1}}) = & \ g^{-1} (\orange{g g' g^{-1}}) g \ . \end{align*}

      比较左右，得到 (Adg)−1(a)=g−1ag(Ad_g)^{-1}(a) = g^{-1} a g，因此得到逆映射是 Adg−1Ad_{g^{-1}}，因此取逆封闭

内自同构群

  • 总结

    Adg1∘Adg2=Adg1g2,(Adg)−1=Adg−1 .Ad_{g_1} \circ Ad_{g_2} = Ad_{g_1 g_2}, \qquad (Ad_g)^{-1} = Ad_{g^{-1}} \ .

    后面会多次用到

内自同构群

  • 定理：内自同构群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 是自同构群 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 的 正规子群

    证明

    • 检查 φInn⁡G=Inn⁡Gφ\varphi \operatorname{Inn}G = \operatorname{Inn}G \varphi 对任意 自同构 φ\varphi 都成立，即

      <green>左 陪集元素必然是 <red>右 陪集元素，反之亦然

    • 任取 φ∘Adg∈φInn⁡G\orange{\varphi \circ Ad_g} \in \varphi \operatorname{Inn}G，

      (φ∘Adg)(g′)= =φ(Adg(g′))=φ(gg′g−1)=φ(g)φ(g′)φ(g−1)= φ(g)φ(g′)φ(g)−1=Adφ(g)φ(g′)= (Adφ(g)∘φ)(g′) ，\begin{align*} (\orange{\varphi \circ Ad_g})(g') = & \ = \varphi (\purple{Ad_g(g')}) = \varphi (\purple{g g' g^{-1}}) = \green{\varphi(g) \varphi(g') \varphi(g^{-1})} \nonumber \\ = & \ \green{\varphi(g) \varphi(g') \varphi(g)^{-1}} = \green{Ad_{\varphi(g)} \varphi(g')} \\ = & \ (\orange{Ad_{\varphi(g)} \circ \varphi}) (g') \ ， \end{align*}

内自同构群

证明

  • 比较一头一尾

    (φ∘Adg)(g′)=(Adφ(g)∘φ)(g′),∀g′∈G(\orange{\varphi \circ Ad_g})(g') = (\orange{Ad_{\varphi(g)} \circ \varphi}) (g'), \qquad \forall g' \in G

  • 因此

    φ∘Adg=Adφ(g)∘φ⇒φInn⁡G⊂Inn⁡Gφ .\varphi \circ Ad_g = Ad_{\varphi(g)} \circ \varphi \qquad\Rightarrow \qquad\varphi \operatorname{Inn}G \subset \operatorname{Inn}G \varphi \ .

  • 反过来类似可证明 Inn⁡Gφ⊂φInn⁡G\operatorname{Inn}G \varphi \subset \varphi \operatorname{Inn}G，即得到

    φInn⁡G=Inn⁡Gφ .\varphi \operatorname{Inn}G = \operatorname{Inn}G \varphi \ .

外自同构群

  • Inn⁡G\operatorname{Inn}G 是 Aut⁡G\operatorname{Aut}G 的正规子群
  • <green>定义：<green>外自同构群 (Outer automorphism group)

    Out⁡G≔Aut⁡G/Inn⁡G .\operatorname{Out}G \coloneqq \operatorname{Aut}G/\operatorname{Inn}G \ .

  • 定理：对于 阿贝尔 群 GG，因为 Inn⁡G={id⁡}\operatorname{Inn}G = \{\operatorname{id}\}，

    Out⁡G=Aut⁡G .\operatorname{Out}G = \operatorname{Aut}G \ .

外自同构群：例子

  • 定理：<purple>当 n≠2,6n \ne 2, 6 时，(1)(1) 自同构均为 内自同构，外自同构平凡；(2)(2) 任意非平凡置换 σ\sigma 均诱导非平凡 内自同构 AdσAd_\sigma

    Aut⁡Sn=(1)Inn⁡Sn=(2)Sn ,Out⁡Sn={id⁡} .\operatorname{Aut}S_n \stackrel{(1)}{=} \operatorname{Inn}S_n \stackrel{(2)}{=} S_n \ , \qquad \red{\operatorname{Out}S_n = \{\operatorname{id}\}} \ .

  • 定理：Aut⁡S2={id⁡}\operatorname{Aut}S_2 = \{\operatorname{id}\}，Inn⁡S2={id⁡}\operatorname{Inn}S_2 = \{\operatorname{id}\}，Out⁡S2={id⁡}\red{\operatorname{Out}S_2 = \{\operatorname{id}\}}

  • 定理：Aut⁡S6=S6⋊Z2\operatorname{Aut}S_6 = S_6 \rtimes \mathbb{Z}_2，Inn⁡S6=S6\operatorname{Inn}S_6 = S_6，<green>Out⁡S6=Z2\operatorname{Out}S_6 = \mathbb{Z}_2

    半直积

    ⋊\rtimes 指代半直积，S6S_6 是 S6⋊Z2S_6\rtimes \mathbb{Z}_2 的正规子群。见后文

内自同构群与中心子群

  • 给定任意 GG，考虑其 Inn⁡G\operatorname{Inn}G

  • <green>定义：<green>伴随映射 Ad:G→Inn⁡GAd: G \to \operatorname{Inn}G 为

    Ad(g)≔Adg∈Inn⁡G\green{Ad(g) \coloneqq Ad_g \in \operatorname{Inn}G}

    区分定义域与值域

    Ad:G→Inn⁡GAd: G \to \operatorname{Inn}G，Adg:G→GAd_g: G \to G

内自同构群与中心子群

  • 定理：Ad:G→Inn⁡GAd: G \to \operatorname{Inn}G 是 同态，也是 满射 (但 <red>不一定 单射)。

    证明

    • 只要证明保持群乘法即可：之前证明 Inn⁡G≤Aut⁡G\operatorname{Inn}G \le \operatorname{Aut}G 已经证明了

      Ad(g1g2) =Adg1⋅g2=Adg1∘Adg2=Ad(g1)∘Ad(g2) .\orange{Ad(g_1 g_2)} \ \green{= Ad_{g_1 \cdot g_2}} = Ad_{g_1} \circ Ad_{g_2} = \orange{Ad(g_1) \circ Ad(g_2)} \ .

    • 满射是显然的：Inn⁡G\operatorname{Inn}G 就是所有 AdAd-作用所形成集合

内自同构群与中心子群

同态与同构

  • <purple>AdAd 是 G→Inn⁡GG \to \operatorname{Inn}G 的一个映射，是抽象群 GG 和更抽象的群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 之间的 同态 (<red>不一定 是同构)，满足

    Adg1∘Adg2=Adg1g2 .Ad_{g_1} \circ Ad_{g_2} = Ad_{g_1 g_2} \ .

  • 选定 任何一个 g∈Gg \in G，则 <purple>AdgAd_g 是 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 中一个元素：此元素是一个 G→GG \to G 的 同构映射，满足

    Adg(g1g2)=Adg(g1)Adg(g2) .Ad_g (g_1 g_2) = Ad_g (g_1) Ad_g (g_2) \ .

内自同构群与中心子群

  • 内自同构群 Inn⁡G\operatorname{Inn}G 的 单位元 是 恒等映射 id⁡:G→G\operatorname{id}:G \to G，满足 id⁡(∀g′∈G)=g′\operatorname{id}(\forall g'\in G) = g'

  • 定理：ker⁡Ad=C(G)\operatorname{ker}Ad = C(G)

    ker⁡Ad\operatorname{ker}Ad

    • <red>什么是同态的「ker⁡\operatorname{ker}」？ <red>哪些 g∈Gg\in G 满足 Adg=id⁡Ad_g = \operatorname{id}？

    • Ad(g)=Adg=id⁡Ad(g) = Ad_g = \operatorname{id} 的意思是 Adg(∀g′)=gg′g−1=g′Ad_g (\forall g') = g g' g^{-1} = g'，

      gg′g−1=g′⇔gg′=g′g,∀g′∈G .g g' g^{-1} = g' \quad \Leftrightarrow \quad gg' = g'g, \qquad \forall g' \in G \ .

    • 于是，gg 应该与 所有 GG 中元素 对易：g∈C(G)g \in C(G)。反之亦然。

内自同构群与中心子群

  • 定理：由同态核定理，

    G/ker⁡Ad=G/C(G)=Inn⁡G .G/\operatorname{ker}Ad = G/C(G) = \operatorname{Inn}G \ .

    抽象层次

    不同抽象层次的对象齐聚一堂。

内自同构群与中心子群

  • 例：Inn⁡Zn=Zn/C(Zn)={e}\operatorname{Inn}\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}_n/C(\mathbb{Z}_n) = \{e\}

  • 例：当 nn 是奇数，Inn⁡Dn=Dn/C(Dn)=Dn\operatorname{Inn}D_n = D_n/C(D_n) = D_n，因为此时 C(Dn)={e}C(D_n) = \{e\}

  • 例：当 nn 是偶数，Inn⁡Dn=Dn/C(Dn)=Dn/Z2\operatorname{Inn}D_n = D_n/C(D_n) = D_n/\mathbb{Z}_2，因为此时

    C(Dn)={e,rn/2}C(D_n) = \{e, r^{n/2}\}

    作业思考题

同态正合序列

  • <green>定义：给定一组群 Gi=0,…,nG_{i = 0, \ldots, n}，以及邻居之间的同态映射 φi:Gi→Gi+1\varphi_i: G_i \to G_{i + 1}

    G0→φ0G1→φ1G2→φ2…→φn−1Gn ,G_0 \xrightarrow{\varphi_0} G_1 \xrightarrow{\varphi_1} G_2 \xrightarrow{\varphi_2} \ldots \xrightarrow{\varphi_{n - 1}} G_n \ ,

    称为一个 <green>同态序列 (sequence of homomorphisms)

  • <green>定义：倘若同态序列中所有同态都满足

    Im⁡φi=ker⁡φi+1 ,i=0,…,n−2 ,\operatorname{Im}\varphi_i = \ker \varphi_{i + 1}\ , \qquad i = 0, \ldots, n - 2 \ ,

    则称它为 <green>正合 (exact) 同态序列。

同态正合序列

  • 定理：设我们有如下正合序列，

    {e′}→φ0G →φ G′…\{e'\} \xrightarrow{\varphi_0} G \ \purple{\xrightarrow{\varphi}} \ G' \ldots

    则 φ\varphi 是单射。

    正合序列开端

    由定义

    ker⁡φ=Im⁡φ′={e}⊂G .\operatorname{ker}\varphi = \operatorname{Im} \varphi' = \{e\} \subset G \ .

    因此 φ\varphi 是 单射。

同态正合序列

  • 设我们有如下正合序列，

    … →φ G→φ′{e}\ldots ~ \purple{\xrightarrow{\varphi}} ~ G \xrightarrow{\varphi'} \{e\}

    则 φ\varphi 是 满射。

    正合序列末端

    由定义

    Im⁡φ=ker⁡φ′=G .\operatorname{Im}\varphi = \ker \varphi' = G \ .

同态正合序列

  • 定理：若 G1,2,3G_{1,2,3} 形成 <green>短正合序列 (short exact sequence)

    {e}→G1→φ1G2→φ2G3→{e} .\{e\} \to G_1 \xrightarrow{\varphi_1} G_2 \xrightarrow{\varphi_2} G_3 \to \{e\} \ .

    则

    G1≤G2,G3=G2/G1 .G_1 \le G_2, \qquad G_3 = G_2/G_1\ .

同态正合序列

说明

  • 根据序列开端 {e}→G1→φ1G2\{e\} \to G_1 \xrightarrow{\varphi_1} G_2，知道 φ1\varphi_1 是单射，因此 Im⁡φ1≅G1\operatorname{Im}\varphi_1 \cong G_1
  • 根据序列末端 G2→φ2G3→{e}G_2 \xrightarrow{\varphi_2} G_3 \to \{e\}，知道 φ2\varphi_2 是 满射，Im⁡φ2≅G3\operatorname{Im}\varphi_2 \cong G_3。
  • 另外，由单射性和正合条件，

    ker⁡φ2=Im⁡φ1=G1 .\operatorname{ker}\varphi_2 = \operatorname{Im}\varphi_1 = G_1\ .

  • 最后由同态核定理，G3=Im⁡φ2=G2/ker⁡φ2=G2/G1G_3 = \operatorname{Im}\varphi_2 = G_2/\operatorname{ker}\varphi_2 = G_2/G_1.