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有限阿贝尔群不可约表示

潘逸文
中山大学

panyw5@mail.sysu.edu.cn

有限阿贝尔群的不可约表示

  • 考虑有限阿贝尔群 GG，以及不可约表示 R(α)\orange{\mathcal{R}^{(\alpha)}}

  • 由于 GG 是阿贝尔群，所有的表示都是一维的

  • 由于 GG 是阿贝尔群，所有群元自成共轭类：α=1,…,∣G∣\alpha = 1, \dots, |G|，共有 ∣G∣|G| 个 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)}

  • 若 R≃R(α)\mathcal{R}\simeq \mathcal{R}^{(\alpha)}，则必然 R=R(α)\mathcal{R} = \mathcal{R}^{(\alpha)}

    证明

    这是因为 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)} 是一维表示，表示矩阵是 1×11\times 1 矩阵，任何相似变换都是平凡的。

有限阿贝尔群的不可约表示

  • 考虑集合 G∗={R(α) ∣ α=1,…,∣G∣}G^* = \{\mathcal{R}^{(\alpha)} \ | \ \alpha = 1, \dots, |G|\}
  • 定理：G∗G^* 在张量积运算下封闭，且满足结合律，具有单位元和逆元，形成一个群。

有限阿贝尔群的不可约表示

证明

  • 由于 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)} 均为一维表示，任何两个的张量积也是一维表示：肯定也是不可约表示，也就必然属于 G∗G^*，此乃封闭性

  • 平凡表示 R(0)\mathcal{R}^{(0)} 相当于 单位元：对任意 R∈G\mathcal{R} \in G，R(0)⊗R=R\mathcal{R}^{(0)}\otimes \mathcal{R} = \mathcal{R}，且 R(0)(∀g)=1\mathcal{R}^{(0)}(\forall g) = 1

  • 对于 ∀R∈G∗\forall \mathcal{R} \in G^*，R⊗n(g)=R(g)n=R(gn)\mathcal{R}^{\otimes n}(g) = \mathcal{R}(g)^n = \mathcal{R}(g^n)，而当 nn 足够大，必然有 Rn(∀g)=1\mathcal{R}^n(\forall g) = 1，即得到 逆元 R−1\mathcal{R}^{-1}

    R⊗n=R(0)⇒R−1=R⊗(n−1)\mathcal{R}^{\otimes n} = \mathcal{R}^{(0)}\quad\Rightarrow\quad\mathcal{R}^{-1} = \mathcal{R}^{\otimes (n-1)}

  • 结合律是显然的

特征标

  • 对于一维表示：特征标 χR(α)(g)=R(α)(g)\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g) = \mathcal{R}^{(\alpha)}(g)
  • 张量积表示的特征标 == 特征标的乘积
  • χR(α)\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}} 与 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)} 等价，具有一模一样的结构
  • 定理：有限阿贝尔群 GG 的全体不可约特征标 {χR(α)}\{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}\} 形成一个群

特征标

  • C∗={c∈C ∣ c≠0}\mathbb{C}^* = \{c \in \mathbb{C} \ | \ c \ne 0\} 在复数乘法下形成一个群

    证明

    显然。

  • 考虑全体群同态映射构成的集合

    ch⁡(G)≔{χ:G→C∗}\operatorname{ch}(G)\coloneqq \{\chi: G \to \mathbb{C}^*\}

    其实就是满足 χ(g1)χ(g2)=χ(g1g2)\chi(g_1) \chi(g_2) = \chi(g_1 g_2) 的非零函数

特征标

  • 定理：ch⁡(G)\operatorname{ch}(G) 在普通函数乘法下形成一个群。

    证明

    • 设 χ1,χ2\chi_1, \chi_2 是同态，则 (χ1χ2)(g)=χ1(g)χ2(g)(\chi_1\chi_2)(g) = \chi_1(g) \chi_2(g)。因此

      (χ1χ2)(gh)=χ1(gh)χ2(gh)=χ1(g)χ1(h)χ2(g)χ2(h)=(χ1χ2)(g)(χ1χ2)(h)(\chi_1\chi_2)(gh) = \chi_1(gh) \chi_2(gh) = \chi_1(g) \chi_1(h) \chi_2(g) \chi_2(h) = (\chi_1\chi_2)(g)(\chi_1\chi_2)(h)

      即同样满足同态性：ch⁡(G)\operatorname{ch}(G) 在普通函数乘法下封闭
    • 单位元显然就是平凡同态：χ0(∀g)=1\chi_0(\forall g) = 1
    • 逆元就是倒数：χ−1(g)≔χ(g)−1\chi^{-1}(g) \coloneqq \chi(g)^{-1}，且显然 χ−1(g)∈ch⁡(G)\chi^{-1}(g) \in \operatorname{ch}(G)
    • 结合律也是显然的

特征标

  • ch⁡(G)\operatorname{ch}(G) 跟不可约表示特征标有什么关系？

  • 都是群函数

  • 都是类函数 (每个元素自成一类)

  • 都满足同态性

    因为一维表示，χR(α)(g)=R(α)(g)\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g) = \mathcal{R}^{(\alpha)}(g)

  • 都是非零函数

特征标

  • 定理：ch⁡(G)\operatorname{ch}(G) 里每个元素都是某个 χR(α)≕χα\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}} \eqqcolon \chi_\alpha

特征标

证明

  • 由于 χ∈ch⁡(G)\chi \in \operatorname{ch}(G) 是类函数：χ(g)=∑αmαχR(α)(g)\chi(g) = \sum_\alpha m_\alpha \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g)

  • 同态性要求

    χ(gh)= ∑αmαχα(gh)=∑αmαχα(g)χα(h)= χ(g)χ(h)=∑αmαχα(g)χ(h)\begin{align} \chi(g h) = & \ \sum_\alpha m_\alpha \chi_\alpha(gh) = \sum_\alpha m_\alpha \chi_{\alpha}(g)\chi_{\alpha}(h) \\ = & \ \chi(g)\chi(h) = \sum_{\alpha} m_\alpha \chi_\alpha(g) \chi(h) \end{align}

  • 等号两边可以分别看成是 gg 或者 hh 的类函数，

    ∑α(mαχα(h))χα(g)=∑α(mαχ(h))χα(g)\sum_\alpha (\purple{m_\alpha \chi_\alpha(h)}) \chi_{\alpha}(g) = \sum_{\alpha} \purple{\Big(m_\alpha \chi(h)\Big)} \chi_\alpha(g)

特征标

对比两边系数

mαχα(h)=mαχ(h)⇒mα(χα(h)−χ(h))=0m_\alpha \chi_\alpha(h) = m_\alpha \chi(h) \Rightarrow m_\alpha (\chi_\alpha(h) - \chi(h)) = 0

  • 如果 mα≠0m_\alpha \ne 0，必然 χ(h)=χα(h)\chi(h) = \chi_\alpha(h)
  • 如果 χ(h)≠χα(h)\chi(h) \ne \chi_\alpha(h)，则必然 mα=0m_\alpha = 0

因此，χ=χα\chi = \chi_\alpha 是某一个不可约表示 R(α)\mathcal{R}^{(\alpha)} 的特征标。

特征标

  • ch⁡(G)\operatorname{ch}(G) 也称为 特征标群 (character group)，或者 对偶群 (dual group)

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