正则表示与局域性

$$\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}$$

局域性

• 量子场论的自我修养
  • 局域性 (locality)
  • 幺正性 (unitarity)
  • 洛伦兹协变性 (Lorentz covariance)
  • 因果性 (causality)
  • 谱条件 (spectrum condition)

局域性

• 局域性：物理系统由大量独立的积木搭建而成，相隔甚远的时空点的物理过程互不影响
• 粗略的局域物理模型：希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 是一些基本组分的张量积

  $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_N$$

• 量子场论相当于 $N \to \infty$ (热力学) 极限

局域对称性

• 考虑对称性 $G$，以及 $G$ 在 $\mathcal{H}$ 上的线性幺正表示 $U(g)$
• 这个对称性是局域的，如果对于任意 $g \in G$，都有

  $$U(g) = U_1(g) \otimes U_2(g) \otimes \cdots \otimes U_N(g)$$

  其中 $U_i(g)$ 是 $G$ 在 $\mathcal{H}_i$ 上的表示

$N \to \infty$

• 为了简单起见，考虑 $\mathcal{H}_i$ 都形成相同的 $G$ 表示 $\mathcal{H}_0$

  $$\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 \otimes \mathcal{H}_0 \otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_0$$

• 我们关心分解成 $G$-幺正不可约表示的情况

  $$\mathcal{H} \cong \bigoplus_\alpha m_\alpha(N) \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

• 重数计算公式

  $$m_\alpha = \frac{1}{|G|}\sum_{g} \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g)} \chi_\mathcal{H}(g)$$

$N \to +\infty$

• 由于 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_0^{\otimes N}$，所以

  $$\chi_\mathcal{H}(g) = \left(\chi_{\mathcal{H}_0}(g)\right)^N$$

• 因此重数为

  $$\begin{align*} m_\alpha(N) = & \ \frac{1}{|G|}\sum_{g} \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g)} \left(\chi_{\mathcal{H}_0}(g)\right)^N\\ = & \ \frac{1}{|G|} \bigg( \chi_{\mathcal{H}_0}(e)^N \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(e)} + \sum_{g \neq e} \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g)} \left(\chi_{\mathcal{H}_0}(g)\right)^N \bigg) \end{align*}$$

$N \to +\infty$ 极限

• 随着 $N$ 增大，两项的增长速率不一样
• 寻找增长最快的项

$N \to +\infty$ 极限

• 定理：$|\chi_{\mathcal{R}}(g)| \le |\chi_{\mathcal{R}}(e)|$ for all $g \neq e$

  说明

  • 任何一个 $\mathcal{R}$ 都等价于一个幺正表示，因此只需证明幺正表示的情形
  • 设 $\lambda_i$ 是幺正算符 $U(g)$ 的特征值，则必然有 $|\lambda_i| = 1$
  • 因此

    $$|\chi_{\mathcal{R}}(g)| = \left|\sum_i \lambda_i\right| \leq \sum_i |\lambda_i| = \dim\mathcal{R} = \chi_{\mathcal{R}}(e)$$

$N \to +\infty$ 极限

$$\chi_{\mathcal{H}_0}(e)^N \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(e)} + \sum_{g \neq e} \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(g)} \left(\chi_{\mathcal{H}_0}(g)\right)^N$$

• 当 $N\to +\infty$ 时，第二项中 $|\chi_{\mathcal{H}_0}(g)| < |\chi_{\mathcal{H}_0}(e)|$ 的项会被指数级压制
• 不被指数压制的的是那些满足 $|\chi_{\mathcal{H}_0}(g)| = |\chi_{\mathcal{H}_0}(e)|$ 的项
• 什么时候 $|\chi_{\mathcal{H}_0}(g)| = |\chi_{\mathcal{H}_0}(e)|$ 成立？

$N \to +\infty$ 极限

• 定理： $|\chi_{\mathcal{R}}(g)| = |\chi_{\mathcal{R}}(e)|$ 当且仅当 $U(g) = \lambda \operatorname{id}$

  说明

  • 由三角不等式知，等号成立当且仅当所有 $\lambda_i$ "同向"
  • 由于 $|\lambda_i| = 1$，只能 $\lambda_i = \lambda$，其中 $\lambda$ 是某个单位复数
  • 因此 $U(g) = \lambda \operatorname{id}$

$N \to +\infty$ 极限

• 定理：所有满足 $U(g) = \lambda \operatorname{id}$ 的 $g$ 组成一个子群 $K \subset G$

  说明

  • 验证乘法封闭和取逆封闭
  • 若 $g_1, g_2 \in K$，则

    $$U(g_1 g_2) = U(g_1) U(g_2) = \lambda_1 \lambda_2 \operatorname{id}$$

  • 若 $g \in K$，则

    $$U(g^{-1}) = U(g)^{-1} = \lambda^{-1} \operatorname{id}$$

$N \to +\infty$ 极限

• 定理：$K$ 是一个正规子群

  说明

  • 验证共轭封闭
  • 若 $g \in K$，则对于任意 $h \in G$，都有

    $$U(h g h^{-1}) = U(h) U(g) U(h)^{-1} = \lambda \operatorname{id}$$

    因此 $h g h^{-1} \in K$

$N \to +\infty$ 极限

• 物理：对于 $g \in K$ 对 $\mathcal{H}_0$ 的作用可以看成是"平凡的"，相当于 没有作用

  因为对所有态都乘以复数 $\lambda$

• 对 $\mathcal{H}_0$ 有有效作用的是商群 $G/K$

• 下面只考虑 $G' = G/K$ 在 $\mathcal{H}_0$ 上作用所产生的表示

• 在 $G/K$ 中，只有单位元 $g=e$ 满足 $|\chi_{\mathcal{H}_0}(g)| = |\chi_{\mathcal{H}_0}(e)|$，非单位元 $g \neq e$ 都满足严格不等式

  $$|\chi_{\mathcal{H}_0}(g)| < |\chi_{\mathcal{H}_0}(e)| = \dim \mathcal{H}_0$$

$N \to +\infty$ 极限

• 因此当 $N \to +\infty$ 时，重数的行为为

  $$m_\alpha(N) \to \frac{1}{|G|} \chi_{\mathcal{H}_0}(e)^N \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}(e) = \frac{(\dim \mathcal{H}_0)^N }{|G|}\dim \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

正则表示

• 因此当 $N \to +\infty$ 时，$\mathcal{H}$ 分解成 $G$-幺正不可约表示的情形为

  $$\mathcal{H} \cong \bigoplus_\alpha \frac{(\dim \mathcal{H}_0)^N }{|G|} \dim (\mathcal{R}^{(\alpha)})\mathcal{R}^{(\alpha)}$$

• 这非常类似正则表示的分解形式

  $$\mathcal{R}_{\text{reg}} \cong \bigoplus_\alpha (\dim \mathcal{R}^{(\alpha)}) \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

正则表示

• 定理： 当 $N \to +\infty$ 时，局域对称性 $G$ 在 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_0^{\otimes N}$ 上的表示 (形式上) 趋近于正则表示的"若干倍数"

  $$\mathcal{H} \cong \frac{(\dim \mathcal{H}_0)^N}{|G|}\mathcal{R}_{\text{reg}}$$