$$\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}$$

纲要

• 群表示、幺正、可约与不可约表示
• 舒尔引理与定理
• 正交归一与完备性关系
• 可约表示的分解

群表示

• 给定一个群 $G$

• 考虑 $V = \mathbb{C}^n$ 是一个 复 线性空间 ($\mathbb{C}^0 = \{0\}$ 称为 零空间，通常 不考虑)

  $$\dim V = n = 1, 2, \ldots, \infty \ .$$

• 定义：$V$ 的 一般线性群 $GL(V) \coloneqq$ { 全体 $V\to V$ 的 可逆 线性映射}

  $GL(V)$

  集合 $GL(V)$ 形成群。单位元是恒等映射，任何一个可逆线性映射 $\varphi: V\to V$ 均有逆元 $\varphi^{-1}$ (逆映射)，群乘法即为映射的 复合。

群表示

• 定义：考虑映射 $\mathcal{R}: G \to GL(V)$。若 $\mathcal{R}$ 是一个 同态，则称 $(\mathcal{R}, V)$ 为 $G$ 的一个 (线性) 表示 (representation)，或 $G$-表示

  同态性

  既然 $\mathcal{R}$ 是 同态，则对任何 $g_1, g_2, g \in G$，都有

  $$\mathcal{R}(g_1) \mathcal{R}(g_2) = \mathcal{R}(g_1 g_2), \qquad \mathcal{R}(g^{-1}) = \mathcal{R}(g)^{-1} \ .$$

• 定义：$V$ 称为表示 $(\mathcal{R}, V)$ 的 表示空间，表示 $\mathcal{R}$ 的维度 记为 $\dim \mathcal{R} \coloneqq \dim V = n$

群表示

群表示的其它理解

• 观点 1：$G$ 的一个线性表示是一种 分配规则 $\mathcal{R}$，为每一个 $g \in G$ 分配一个线性映射 $\mathcal{R}(g): V \to V$，使得

  $$\mathcal{R}(g_1) \mathcal{R}(g_1) = \mathcal{R}(g_1g_2) \ .$$

• 观点 2：$G$ 的一个线性表示 $\mathcal{R}$ 可以理解为 $G$ 对 $V$ 的 线性 群作用，$g \cdot v = \mathcal{R}(g)v$，其中 $\mathcal{R}(g) : V \to V$ 尊重 $V$ 的线性空间结构。

群表示

群表示

• 线性空间的一个重要性质是可以选取 基底

• 考虑 $V$ 的一个基底 $\{e_1, \ldots, e_n\}$，则可以为表示 $\mathcal{R}$ 定义其 表示矩阵 (元)

  $$\mathcal{R}(g) e_i = \sum_{j = 1}^{n} \green{\mathcal{R}(g)_{ij}} e_j \ , \qquad g \in G \ .$$

  表示矩阵记号

  表示矩阵的一个矩阵元有时写成 $\mathcal{R}_{ij}(g)$，强调它是 群函数。相对地，记号 $\mathcal{R}(g)_{ij}$ 强调它是个 矩阵元。两种写法等价。

• $\mathcal{R}(g^{-1}) = \mathcal{R}(g)^{-1}$ (逆矩阵)

群表示

群表示

群表示

群表示

群表示的例子

• 平凡表示 $\mathcal{R} = \operatorname{id}_V$：$\forall G$, $\forall V$，$\mathcal{R}(g)v \coloneqq v$，$\mathcal{R}(g)_{ij} = \delta_{ij}$

  1 维平凡表示

  当 $V = \mathbb{C}$ 是一维复线性空间，则相应的平凡表示时常记作 $\mathbf{1}$ (粗体)。

  表示很容易构造

• $G = \mathbb{Z}_2 = \{e, \pi\}$, $\forall V$

  $$\mathcal{R}(e)v = v, \qquad \mathcal{R}(\pi)v \coloneqq - v$$

群表示的例子

• $G = \mathbb{Z}_n = \{e, a, a^2, \ldots, a^{n - 1} \ | \ a^n = e\}$，$V = \mathbb{C}^2$，基底为 $\{e_1, e_2\}$。定义

  $$\mathcal{R}(a^k)e_1 \coloneqq \ \cos \frac{2\pi k}{n} e_1 + \sin \frac{2\pi k}{n} e_2 \ ,$$

  $$\mathcal{R}(a^k)e_2 \coloneqq \ - \sin \frac{2\pi k}{n} e_1 + \cos \frac{2\pi k}{n} e_2 \ .$$

宇称操作

• 设 $\mathbb{R}$ 是一维粒子的物理空间

• 定义：操作 $\operatorname{id}: x \to x$ 称为 恒等操作， $\mathcal{P}: x \to - x$ 称为 宇称操作

• $\{\operatorname{id}, \mathcal{P}\}$ 形成一个简单的 $\mathbb{Z}_2$ 群，它们对 $\mathbb{R}$ 的作用形成 $\mathbb{Z}_2$ 的一个表示，表示空间为物理空间 $\mathbb{R}$

  

宇称操作

量子物理与对称性

• 设 $\green{\mathcal{H}}$ 是一个量子系统的 希尔伯特空间，哈密顿量 $H$
• 对称群 $G$ 由 对称操作 $g$ 组成：
  • 对系统的可逆操作，复合具有结合律，包含恒等操作
  • 每个 $g \in G$ 诱导一个 幺正线性映射 $U(g): \mathcal{H} \to \mathcal{H}$，且满足

    $$U(g_1 g_2) = U(g_1) U(g_2) \ .$$

  • 每一个 $U(g)$ 与 $H$ 对易

    $$[U(g), H] = 0 \ , \qquad \forall g \in G \ .$$

• $U$ 形成 $G$-表示，$\mathcal{H}$ 是表示空间

量子物理与对称性

量子物理与对称性

• 设 $E$ 是 $H$ 的一个能量本征值，全体对应的本征态 $|\psi_E\rangle$ 构成 $\mathcal{H}$ 的一个本征 子空间 $\mathcal{H}_E$
• 若 $|\psi_E\rangle$ 是 $H$ 的本征态，本征值 $E$，则

  $$H U(g)|\psi_E\rangle = U(g)H |\psi_E\rangle = U(g) E|\psi_E\rangle = E \Big(U(g) |\psi_E\rangle \Big) \ .$$

  因此，$U(g)$ 作用 不改变 能量本征值
• 因此：$U(g): \mathcal{H}_E \to \mathcal{H}_E$

量子物理与对称性

• 给定能量 $E$，本征空间 $\mathcal{H}_E$ 也形成 $G$ 的表示，也称为 $\mathcal{H}$ 的 子表示、不变子空间

  表示与子表示的关系，类似群与子群的关系

• 在矩阵层面，$H$ 被对角化，$U(g)$ 形成 分块对角矩阵

  $$H = \begin{pmatrix} E \mathbf{1}_{n_E} \\ & E' \mathbf{1}_{n_{E'}}\\ & & \ddots \end{pmatrix}, \quad U(g) = \begin{pmatrix} U(g)_{E}\\ & U(g)_{E'}\\ & & \ddots \end{pmatrix}$$

  并非所有 $U(g)$ 都能同时对角化，因为 $[U(g_1), U(g_2)]$ 可能非零

量子物理与对称性

• 在 $G$ 中可以选中心 $C(G)$ 中的元素 $C(G) = \{c_1, \ldots, c_n\}$，

  $$[U(c_i), H] = [U(c_i), U(g)] = 0 \ , \qquad \forall g$$

• 对 $H$ 与全部 $U(c_i)$ 做 同时对角化 得到 共同本征态空间 $\mathcal{H}_{E, C_1, \ldots, C_n}$: 对任意 $|\psi\rangle \in \mathcal{H}_{E, C_1, \ldots, C_n}$

  $$\begin{align*} H (U(g) |\psi \rangle) = & \ U(g) H|\psi\rangle = E(U(g) |\psi\rangle) \\ U(c_i) (U(g) |\psi \rangle) = & \ U(g) U(c_i)|\psi\rangle = C_i (U(g) |\psi\rangle) \ , \end{align*}$$

  即 $U(g) |\psi\rangle \in \mathcal{H}_{E, C_1, \ldots, C_n}$，$\mathcal{H}_{E, C_1, \ldots, C_n}$ 也形成一个 $G$-表示。

量子物理与宇称

• 考虑 $\mathbb{R}$ 上的单粒子量子系统，

  $$H = \frac{P^2}{2m} + V(X), \qquad V(X) = V(-X)\ .$$

• 希尔伯特空间 $\mathcal{H} = L^2 (\mathbb{R}, \mathbb{C})$
• 宇称 $\mathcal{P}: x \to -x$ 恰好是 对称 操作，$\mathbb{Z}_2 = \{\operatorname{id}, \mathcal{P}\}$ 形成对称群
• $\mathcal{P}$ 可以作用到希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上

  $$\psi(x) \to U(\mathcal{P}) \psi (x) = \psi(-x) \ .$$

  因此，$\mathcal{H}$ 形成一个 $\mathbb{Z}_2$-表示的 表示空间

量子物理与宇称

• 设 $H$ 的本征空间为 $\mathcal{H}_E$。若 $\psi \in \mathcal{H}_E$，则 $U(\mathcal{P})\psi$ 也是：$\mathcal{H}_E$ 也形成 $\mathbb{Z}_2$-表示

• $\psi, U(\mathcal{P})\psi$ 具有相同能量：可能 导致简并，也可能 没简并

  无简并

  两个态 $U(\mathcal{P})\psi$ 与 $\psi$ 可能是 同一个态 (up to a phase)，对称性 不一定 意味简并。

  一维势阱中，只要波函数及其导数连续，则束缚态总是 非简并，束缚态波函数必然具有 确定宇称，且束缚态基态波函数一定是 偶函数 (偶宇称)。

周期势场

• 一维量子系统

  $$H = \frac{P^2}{2m} + V(x) \ .$$

• 离散平移操作 $T_n: x \to x + na$ 形成一个 离散平移群

  $$\mathbb{T} \coloneqq \{T_n \ | \ n \in \mathbb{Z}\} \ ,\quad T_n T_m = T_{n + m}$$

• $\mathbb{T}$ 线性幺正地作用到希尔伯特空间，具体作用效果由波函数变换给出，

  $$|\psi\rangle \to T_n |\psi\rangle \ , \quad \green{(T_n\psi)(x) \coloneqq \psi(x + n a)} \ .$$

周期势场

• 一维周期势场：周期 $a$ (晶格常数)，

  $$V(x) = V(x + n a) \ .$$

• 对于周期势场，所有离散平移操作之间、平移与哈密顿量 对易，可以同时对角化

  $$[T_n, H] = 0, \qquad [T_n, T_m] = 0$$

  说明

  $T_n V(x) T_n^\dagger = V(x + na) = V(x)$，导致 $[H, T_n] = 0$。

  $T_m T_n\psi(x) = \psi(x + ma + na) = T_n T_m \psi(x)$

周期势场

• 设 $|\psi_{E, \lambda}\rangle$ 是 $H$, $T_n$ 的 共同本征态，本征值为 $E, \lambda_n$
• $|\psi_{E, \lambda}\rangle$ 的本征态空间天然形成 $\mathbb{T}$ 的 一维表示空间，且

  $$\lambda_{m+n} |\psi_{E, \lambda}\rangle = T_{m + n} | \psi_{E, \lambda}\rangle= T_m T_n |\psi_{E, \lambda}\rangle = \lambda_m \lambda_n |\psi_{E, \lambda}\rangle$$

  于是 $\lambda_{m + n} = \lambda_m \lambda_n$
• $\Rightarrow~$ $\lambda_m$ 一定可以写成 $\lambda_m = \lambda^m$，某个 $\lambda \in \mathbb{C}-\{0\}$
• 定理：由于 $T_m$ 幺正，$|\lambda_m| = |\lambda| = 1$，导致准周期性

  $$\begin{align*} \Rightarrow \lambda = e^{i k a} \Rightarrow \langle x|T_n|\psi\rangle = \psi(x + n a) = e^{ik a n}\psi(x) \ . \end{align*}$$

周期势场

• 重新定义 $u(x) \coloneqq \psi(x)e^{-i k x}$，显然具有 周期性

  $$u(x + an) = \psi(x + na) e^{-i k (x + an)} = u(x) \ .$$

• Bloch 定理：$\psi(x)$ 可以进行分解 Bloch 波 分解 $e^{i k x} u(x)$

  Bloch 定理

  周期势场 导致 准周期性 本征波函数，准周期性由 未定 参数 $k$ 控制

狭义相对论

• 狭义相对论：参考系变换是 洛伦兹变换

  $$x^\mu \to \Lambda^\mu{_\nu}x^\nu \ , \qquad \Lambda \in SO(1, 3) \ , \qquad x \in \mathbb{R}^{1,3}$$

• 洛伦兹群 $SO(1, 3)$ 线性地作用到闵氏时空 $\mathbb{R}^{1,3}$ 上：形成 $SO(1,3)$ 的 矢量表示
• $\varphi$ $A_\mu$，$F_{\mu \nu}$，$g_{\mu \nu}$，...

洛伦兹群与量子场论

• 狭义相对论+量子力学：平直空间的量子场论
• 时空对称性：Poincare 对称性 (时空平移 + 洛伦兹变换)

  $$x^\mu \to \Lambda^\mu{_\nu} x^\nu + a^\mu \ .$$

• Poincare 群 幺正、线性作用到 量子场论的希尔伯特空间 $\mathcal{H}$：

  $$|\psi\rangle \to U(\Lambda, a) |\psi\rangle, \qquad |\psi\rangle \in \mathcal{H} \ ,$$

  $U(\Lambda, 0)$ 为洛伦兹变换，$U(\mathbf{1}, a)$ 为平移变换

洛伦兹群与量子场论

• 希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 形成 Poincare 群的表示空间

• Poincare、Lorentz 群 非紧致，相应的非平凡 幺正 表示必然是 无穷维 的：$\dim \mathcal{H} = \infty$

  标量、矢量、张量

  量子场论学的标量、矢量、张量都在 Poincare、Lorentz 群作用下变化，是有限维表示。它们算什么？

  它们都是 Poincare、Lorentz 群的有限维 非幺正 表示。

  Poincare、Lorentz 群的无穷维幺正表示需要用量子化的标量 场、矢量 场、张量 场 来构造。

等价表示

• 给定一个群 $G$，两个表示 $\mathcal{R}, {\mathcal{R}'}$，表示空间为 $V, V'$。

• 定义：若存在 可逆线性映射 $X: V \to V'$，使得对 $\forall g\in G$，都有

  $$\begin{align*} X \circ \mathcal{R}(g) = {\mathcal{R}'}(g) \circ X \end{align*}$$

  则称 $\mathcal{R}$ 与 ${\mathcal{R}'}$ 等价，记作 $\mathcal{R} \simeq \mathcal{R}'$。这样的 $X$ 称为两个表示之间的 intertwiner，是 $V, V'$ 之间的同构映射。

  相同与等价

  两个表示可以 等价 但 不相同。

等价表示

• 等价定义：对于 $G$ 的两个表示 $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}'$，表示矩阵 分别为 $[\mathcal{R}(g)], [\mathcal{R}'(g)]$，若 $\dim \mathcal{R} = \dim \mathcal{R}' = n$，并且存在 $n \times n$ 可逆 矩阵 $X$，使得对 $\forall g \in G$

  $$X [\mathcal{R}(g)] = [\mathcal{R}'(g)] X, \quad \text{or} \quad X [\mathcal{R}(g)] X^{-1} = [\mathcal{R}'(g)] \ ,$$

  则称两个表示 等价，记作 $\mathcal{R} \simeq \mathcal{R}'$。

  相似变换

  简而言之，等价表示的表示矩阵只相差一个 相似变换。

群表示的复共轭

• 考虑表示 $\mathcal{R}(g)$，则可以写下其表示矩阵 $\mathcal{R}(g)_{ij}$。

• 定义新的矩阵

  $$\begin{align*} \overline{\mathcal{R}}(g)_{ij} \coloneqq \overline{\mathcal{R}(g)_{ij}} \ . \end{align*}$$

• 定义：$\overline{\mathcal{R}}(g)_{ij}$ 实际上是某个 $G$-表示的表示矩阵，称为 $\mathcal{R}$ 的 复共轭 (complex conjugate) 表示，记为 $\overline{\mathcal{R}}$。
• 显然，$\dim \overline{\mathcal{R}} = \dim \mathcal{R}$。

群表示的直和

• 给定任意两个表示 $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$ (表示空间 $V_1, V_2$)

• 定义 $G$ 的 (以 $V_1 \oplus V_2$ 为表示空间) 直和表示 $\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2$，

  $$\begin{align*} (\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2)(g)(v_1 \oplus v_2) = \mathcal{R}_1(g)v_1 \oplus \mathcal{R}_2(g)v_2 \in V_1 \oplus V_2\ . \end{align*}$$

群表示的直和

群表示的直和

群表示的直和

群表示的直和

• 表示的直和可以用表示矩阵理解

• 设 $[\mathcal{R}_1(g)_{ij}]$ 和 $[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}]$ 为 $\mathcal{R}_1$ 与 $\mathcal{R}_2$ 的表示矩阵
• 直和表示 $\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2$ 的表示矩阵为

  $$[\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \oplus [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] = \begin{pmatrix} [\mathcal{R}_1(g)_{ij}]\\ & [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] \end{pmatrix} \ .$$

群表示的直和

• 直和交换律：$\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_1$

• 直和结合律：$(\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2) \oplus \mathcal{R}_3 \simeq \mathcal{R}_1 \oplus (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3)$

  等价但不相同

  符号 $\simeq$ 指代两个表示 等价，但 不是 相同表示。

群表示的张量积

• 考虑任意两个 $G$-表示 $\mathcal{R}_1$，$\mathcal{R}_2$，表示空间为 $V_1, V_2$。

• 定义: 两个表示的 张量积 $\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2$，它以 $V_1 \otimes V_2$ 作为 表示空间，且

  $$\begin{align*} (\mathcal{R}_1\otimes \mathcal{R}_2)(g) (v_1 \otimes v_2) = \mathcal{R}_1(g) v_1 \otimes \mathcal{R}_2(g) v_2 \in V_1 \otimes V_2 \ . \end{align*}$$

群表示的张量积

群表示的张量积

群表示的张量积

群表示的张量积

• 用 表示矩阵 理解张量积

• 设表示 $\mathcal{R}_{1, 2}$ 的表示矩阵为 $[\mathcal{R}_1(g)_{ij}]$, $[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}]$
• 则 $\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2$ 的表示矩阵为组分表示矩阵的张量积

  $$\begin{align*} & \ [\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \otimes [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}]\\ = & \ \begin{pmatrix} \mathcal{R}_1(g)_{11}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{12}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \mathcal{R}_1(g)_{21}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{22}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{align*}$$

群表示的张量积

• 张量积单位元：$\mathcal{R} \otimes \mathbf{1} \simeq \mathcal{R}$
  其中 $\mathbf{1}$ 代表 1 维平凡表示。

• 张量积交换律：$\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_1$

• 张量积结合律：$(\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \otimes \mathcal{R}_3 \simeq \mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_3)$

• 分配律：$\mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3) \simeq (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \oplus (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_3)$

  等价但不相同

  符号 $\simeq$ 指代两个表示 等价，但 不是 相同表示。

群表示的范畴结构

• 给定有限群 $G$，$\operatorname{Rep}(G) \coloneqq$ 全体 $G$-表示形成一个 张量范畴 (tensor category)

• 可以用来描述任意子或者 gauging $0$-form 非阿贝尔对称性时所产生的 dual non-invertible symmetry

群表示的基本分类

• 忠实性
• 幺正性
• 可约性

忠实表示

• 定义：若表示 $\mathcal{R}$ 满足 单射性，即

  $$\begin{align*} \mathcal{R}(g_1) \ne \mathcal{R}(g_2), \qquad \forall g_1 \ne g_2\ , \end{align*}$$

  则称其为一个 忠实 (faithful) 表示

• 定理：任何一个有限群 都有 忠实表示。

  后面会构造

忠实表示

• 为什么会有非忠实表示
• 非忠实表示说明存在 $g_1 \ne g_2$，使得

  $$\mathcal{R}(g_1) = \mathcal{R}(g_2)$$

• 这意味着什么？
• 利用 $\mathcal{R}$ 的可逆性

  $$\mathcal{R}(g_1) \mathcal{R}(g_2)^{-1} = \operatorname{id}\qquad \Rightarrow\qquad \mathcal{R}(g_1 g_2^{-1}) = \operatorname{id}$$

  即存在非单位元 $g_1 g_2^{-1}$ 被射成单位矩阵，即 $\operatorname{ker}\mathcal{R} \ne \{e\}$

忠实表示

• 被射成单位矩阵的元素会形成什么结构？

• 定理：被非忠实表示 $\mathcal{R}$ 射为单位矩阵的元素形成 $G$ 的正规子群

  说明

  同态的核心性质

• 总结：非忠实表示的存在说明 $G$ 中含有非平凡正规子群

• 反过来，正规子群是否一定导致非忠实表示？

忠实表示

• 设非平凡 $N \trianglelefteq G$，以及 $\underline{\mathcal{R}}:G/N \to GL(V)$ 是 $G/N$ 的一个非平凡表示

• 定理：$\underline{\mathcal{R}}$ 可以诱导 $G$ 的一个 非忠实表示

  说明

  • 根据商群的定义：$G/N$ 里任何一个元素就是 $G$ 中 $N$ 的一个陪集 $gN$
  • $\underline{\mathcal{R}}$ 就是给每个陪集 $gN$ 赋予一个 $GL(V)$ 值。
  • 定义 $G$ 的表示 $\mathcal{R}$ 在 $g$ 处的值

    $$\mathcal{R}(g) \coloneqq \underline{\mathcal{R}}(gN), \qquad \forall g \in G$$

    显然这是非忠实表示

忠实表示

• 总结：非平凡正规子群的存在 $\Leftrightarrow$ 非忠实表示的存在

• 总结：$G$ 的非忠实表示必然跟 $G$ 的某个商群的表示“相同”

  这个结论有助于寻找非忠实的不可约表示，特别是一维表示

幺正表示

• 定义：若表示 $\mathcal{R}$ 满足

  $$\begin{align*} \langle \mathcal{R}(g) v, \mathcal{R}(g)w\rangle = \langle v, w\rangle, \qquad \forall v, w \in V \ , \forall g \in G\ , \end{align*}$$

  则称其为一个 幺正表示

  内积

  复线性空间 $V$ 中的 内积 为 (选 $\{e_i\}$ 为基底)

  $$\begin{align*} \langle v, w\rangle \coloneqq \sum_i \bar v_i w_i \ , \qquad \forall v = \sum_i v_i e_i, \quad w = \sum_{i} w_i e_i \ . \end{align*}$$

幺正表示

• 定义：若表示 $\mathcal{R}$ 满足

  $$\begin{align*} \langle \mathcal{R}(g) v, \mathcal{R}(g)w\rangle = \langle v, w\rangle, \qquad \forall v, w \in V \ , \forall g \in G\ , \end{align*}$$

  则称其为一个 幺正表示

  幺正矩阵

  在正交基底 $\{e_i\}$ 下，表示矩阵为 幺正矩阵，

  $$\begin{align*} [\mathcal{R}(g)]^\dagger = [\mathcal{R}(g)]^{-1} = [\mathcal{R}(g^{-1})] \ . \end{align*}$$

• 定理：任意 有限群 $G$ 的任意表示必然与某个 幺正表示 等价。

不可约表示

• 设 $\mathcal{R}$ 是 $G$ 的一个表示，表示空间为 $V$

• 若存在 非平凡子空间 $W < V$，使得对 $\forall w \in W$，$\forall g \in G$ 都有

  $$\begin{align*} \mathcal{R}(g)w \in W, \qquad \text{即，} \mathcal{R}(g): W \to W\ , \end{align*}$$

  则称 $W$ 为一个 非平凡不变子空间 (invariant subspace)，同时 $\mathcal{R}$ 称为一个 可约 (reducible) 表示。

不可约表示

不可约表示

• 对于可约表示 $\mathcal{R}$，若子空间 $W$ 及其补空间 $W^\perp$ 均为非平凡不变子空间，则称 $\mathcal{R}$ 完全可约 (completely reducible)

• 表示的 可约性：表示矩阵 的 同时可对角化程度。

  $[\mathcal{R}(g)_{ij}] \cong$ 上/下三角矩阵：可约，但 不一定 完全可约

  $[\mathcal{R}(g)_{ij}] \cong$ 块对角矩阵：完全可约

不可约表示

• 若 $\mathcal{R}$ 不是可约 的，则称其为 不可约 (irreducible) 表示，简称 irrep。

  不可约表示与不变子空间

  不可约表示中没有 非平凡 的不变子空间，但是有 平凡 的不变子空间，即零空间与全空间。

• 不可约表示的表示矩阵 无法 通过相似变换变成块对角矩阵

不可约表示

• 定理：任何有限群 $G$ 的一维 平凡表示 $\mathbf{1}$ 是一个 不可约 表示。
  为什么？

• 定理：任何有限群 $G$ 的一维表示是不可约表示

不可约表示

• 定理：有限群 的可约表示必然 完全可约

  不作证明

• 定理：有限群 $G$ 的任何不可约表示一定是 有限维 的。

不可约表示

• 定理：设 $\mathcal{R}$ 是 $G$-不可约表示，表示空间为 $V$，则对任意 $0 \ne v \in V$，通过所有 $\mathcal{R}(g)$ 作用可以遍历 $V$ 的所有方向

  循环元素

  在群表示的驱动下能够遍历所属空间的所有方向的元素称为 cyclic 元素

不可约表示

不可约表示

• 给定任何一个 有限群 $G$，它都有 无穷多个 不同的 不可约表示。有的表示是相互 等价 的，可以划分到一个 表示等价类中。最终，可以把全体不可约表示划分为 有限个 等价类。

  

• 定义：从每个等价类中选取一名代表元 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$，构成一个 不可约表示序列

不可约表示

• 我们可以选取 幺正 代表元 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 作为不可约序列

• 定理：倘若 $\mathcal{R}$ 是 $G$ 的一个 不可约 表示，则复共轭 $\overline{\mathcal{R}}$ 也是 不可约 的。

  不可约序列的复共轭

  考虑不可约序列 $\{\mathcal{R}^{(\alpha)}\}$ 的复共轭序列 $\{\overline{\mathcal{R}^{(\alpha)}}\}$。显然，两个集合是相同的 (up to isomorphism)。因此，复共轭相当于是不可约序列内部的一个 重排 (up to isomorphism)。

可约表示的分解

• 任意 $G$：许多表示

• 对于 有限群 以及 紧李群：可约表示必然 完全可约

  不变子空间 $V_1$ 的补 $V_2$ 必然也是 不变子空间

可约表示的分解

• 考虑 有限群 $G$ 的可约表示 $\mathcal{R}$，表示空间为 $V$

  肯定是完全可约

• 定义：设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的互补真子空间，且各自形成 $\mathcal{R}$ 的不变子空间。则 $\mathcal{R}$ 约束在 $V_1, V_2$ 上分别形成两个 子表示 $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$，

  $$\mathcal{R}_i: G \to GL(V_i) \ .$$

  此时，记 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2$ 或者 $\mathcal{R} \simeq \mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2$，是 $\mathcal{R}$ 的一个 直和分解

可约表示的分解

• 倘若 $\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2$ 是可约表示，则可以继续分解

• 最后，可以把 $\mathcal{R}$ 分解为一些 不可约表示 的直和 (不可约分解)

  $$\mathcal{R} \simeq \mathcal{R}'_1 \oplus \mathcal{R}'_2 \oplus \ldots \oplus \mathcal{R}'_n \ .$$

  分解不唯一

  $\mathcal{R}$ 的不可约分解本质是一个等价关系，右边每一直和项可以替换为所属等价类的任意表示

可约表示的分解

• 矩阵层面：表示矩阵变成 分块对角 矩阵，

  $$[\mathcal{R}(g)] \mathop{\sim}^\text{相似} \begin{pmatrix} [\mathcal{R}'_1(g)] \\ & [\mathcal{R}'_2(g)]\\ & & \ldots\\ & & & [\mathcal{R}'_n(g)] \end{pmatrix} \ .$$

  分块对角矩阵

  每一个块都可以进一步进行相似变换，替换成等价的不可约表示的表示矩阵

可约表示的分解

• 设 $\mathcal{R}$ 已经被分解为一堆不可约表示的直和，

  $$\mathcal{R} \simeq \mathcal{R}'_1 \oplus \mathcal{R}'_2 \oplus \ldots \ .$$