角动量

$$\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}} \gdef\blue#1{{\color[rgb]{0.20, 0.43, 0.75}{#1}}}$$

Clebsch-Gordon 系数

• 考虑 $\mathfrak{su}(2)$ 的表示 $\mathcal{R}_{j_1}, \mathcal{R}_{j_2}$

• 基底分别为 $|j_1, m_1\rangle$，$|j_2, m_2\rangle$

  $$\begin{align*} J_1^2 |j_1, m_1\rangle = j_1(j_1+1) |j_1, m_1\rangle, \quad J_{1z} |j_1, m_1\rangle = m_1 |j_1, m_1\rangle \\ ~\\ J_2^2 |j_2, m_2\rangle = j_2(j_2+1) |j_2, m_2\rangle, \quad J_{2z} |j_2, m_2\rangle = m_2 |j_2, m_2\rangle \end{align*}$$

  $j_1, j_2$ 是 固定 的，其实可以省略不写

Clebsch-Gordon 系数

• 升降算符

  $$J_\pm |j,m\rangle = \sqrt{(j \mp m)(j \pm m + 1)} |j, m \pm 1\rangle$$

Clebsch-Gordon 系数

• 张量积表示 $\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}$ 在 $\mathfrak{su}(2)$ 作用下变换
• 张量积空间中的态

  $$|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle \coloneqq |j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle$$

• 分解

  $$\mathcal{R}_{j_1}\otimes \mathcal{R}_{j_2} = \bigoplus_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \mathcal{R}_j$$

Clebsch-Gordon 系数

• 有多组相互对易的算符作用在 $\oplus V_j$ 上

• 第一组 $J_{1z}, J_{2z}, J_1^2, J_2^2$：本征态为 $|j_1, m_1 \rangle \otimes |j_2, m_2\rangle$

• 第二组 $J_1^2, J_2^2, J^2, J_z$

  $$J^2 \coloneqq (J_1 + J_2)^2, \quad J_z \coloneqq J_{1z} + J_{2z}$$

  本征态为 $|j_1, j_2, j, m\rangle$

  $j = |j_1 - j_2|, \cdots, j_1 + j_2$，$m = -j, \cdots, j$

• 两组本征态都是完备基底：可以互相表示

Clebsch-Gordon 系数

• 定义 Clebsch-Gordon 系数 $C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm}$：

  $$|j_1, j_2, j, m\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1}\sum_{m_2 = -j_2}^{+j_2} C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle$$

  假设上述本征态都是正交归一化的，则

  $$C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} = \langle j_1, m_1; j_2, m_2 | j_1, j_2, j, m\rangle$$

Clebsch-Gordon 系数基本性质

• 对态作用 $J_z$

  $$m |j_1, j_2, j, m\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{+j_1}\sum_{m_2 = -j_2}^{+j_2} C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} (m_1 + m_2) |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle$$

• 左边也作展开，比较系数得：

  $$(m - m_1 - m_2) C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} = 0 \qquad C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm}\bigg|_{m\neq m_1+m_2} = 0$$

Clebsch-Gordon 系数基本性质

• 两边作用 $J_-$

  $$J_-|j_1, j_2, j, m\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1}\sum_{m_2 = -j_2}^{+j_2} C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} (J_{1-} + J_{2-})|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle$$

• 左边，

  $$\sqrt{((j + m)(j - m + 1))} |j_1, j_2, j, m-1\rangle$$

Clebsch-Gordon 系数基本性质

• 右边

  $$\begin{align*} \sum_{m_1}\sum_{m_2} C_{j_1m_1j_2m_2}^{jm} \Big( & \ \sqrt{(j_1 + m_1)(j_1 - m_1 + 1)} |j_1, m_1 - 1; j_2, m_2\rangle \\ & \ + \sqrt{(j_2 + m_2)(j_2 - m_2 + 1)} |j_1, m_1; j_2, m_2 - 1\rangle\Big) \end{align*}$$

Clebsch-Gordon 系数基本性质

• 换言之，一旦知道 $C^{jm}_{j_1m_1j_2m_2}$，即可以得到递推关系

  $$C^{jm}_{j_1 (m_1-1)j_2 m_2} = \frac{\sqrt{(j_1 + m_1)(j_1 - m_1 + 1)}}{\sqrt{(j + m)(j - m + 1)}} C^{jm}_{j_1m_1j_2m_2}$$

  $$C^{jm}_{j_1 m_1 j_2 (m_2-1)} = \frac{\sqrt{(j_2 + m_2)(j_2 - m_2 + 1)}}{\sqrt{(j + m)(j - m + 1)}} C^{jm}_{j_1m_1j_2m_2}$$

  $j_1, j_2$ 固定
  在这个递推关系中，只有 $m_1, m_2$ 在变化

Clebsch-Gordon 系数基本性质

• 特殊出发点 $j = j_1 + j_2, m = j_1 + j_2$：

  $$|j_1, j_2, j_1 + j_2, j_1 + j_2\rangle \propto |j_1, j_1; j_2, j_2\rangle$$

  从而可以选择

  $$C^{j_1 + j_2, j_1 + j_2}_{j_1 j_2 j_1 j_2} = 1$$

• 从而可以递推出

  $$C^{j_1 + j_2, j_1 + j_2 - 1}_{j_1 (j_1 - 1) j_2 j_2} = \sqrt{\frac{j_1}{j_1 + j_2}} , \qquad C^{j_1 + j_2, j_1 + j_2 - 1}_{j_1 j_1 j_2 (j_2 - 1)} = \sqrt{\frac{j_2}{j_1 + j_2}}$$

Clebsch-Gordon 系数

• 通式

  $$\begin{align*} & \ C^{jm}_{j_1 m_1 j_2 m_2}\\ = & \ \delta_{m, m_1 + m_2} \sqrt{\frac{(2j + 1)(j + j_1 - j_2)!(j - j_1 + j_2)!(j_1 + j_2 - j)!}{(j_1 + j_2 + j + 1)!}} \cdot\\ & \ \times \sqrt{(j + m)!(j - m)!(j_1 - m)!(j_1 + m_1)!(j_2 - m_2)!(j_2 + m_2)!} \\ & \ \times \sum_{k\in \mathbb{Z}} \frac{(-1)^k }{k!(j_1 + j_2 - j - k)!(j_1 - m_1 - k)!(j_2 + m_2 - k)!}\\ & \ \qquad\qquad \times \frac{1}{(j - j_2 + m_1 + k)!(j - j_1 - m_2 + k)!} \end{align*}$$

Clebsch-Gordon 系数

• 定理: Clebsch-Gordan 系数是实数

Clebsch-Gordon 系数

• $C^{jm}_{j_1 m_1 j_2 m_2}$ 图像表示

  

Clebsch-Gordon 系数

• 完备性关系：选定 $j_1, j_2$，$|j_1, m_1; j_2, m_2\rangle$ 形成 $V_{j_1}\otimes V_{j_2}$ 完备基

  $$\sum_{m_1, m_2} \langle j', m' | j_1, m_1; j_2, m_2 \rangle \langle j_1, m_1; j_2, m_2 | j, m\rangle = \langle j', m' | j, m \rangle = \delta_{j', j} \delta_{m', m}$$

  

Clebsch-Gordon 系数

3j 符号

• 定义：Wigner's 3j 符号 定义为

  $$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j \\ m_1 & m_2 & m \end{pmatrix} \coloneqq \frac{(-1)^{j_1- j_2 - m}}{\sqrt{2j + 1}} C^{j, -m}_{j_1 m_1 j_2 m_2}$$

  指数 $j_1 - j_2 - m \in \mathbb{Z}$

• 偶置换性质：在三列偶置换下保持不变，

  $$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_3 & j_1 & j_2 \\ m_3 & m_1 & m_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_2 & j_3 & j_1 \\ m_2 & m_3 & m_1 \end{pmatrix}$$

3j 符号

• 奇置换性质：在三列奇置换下，出一个相位系数

  $$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1 + j_2 + j_3} \begin{pmatrix} j_2 & j_1 & j_3 \\ m_2 & m_1 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1 + j_2 + j_3} \begin{pmatrix} j_3 & j_2 & j_1 \\ m_3 & m_2 & m_1 \end{pmatrix}$$

• 时间反演性质：

  $$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ - m_1 & - m_2 & - m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1 + j_2 + j_3} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}$$

6j 符号

• 考虑三个 $\mathfrak{su}(2)$ 的表示 $\mathcal{R}_{j_1}, \mathcal{R}_{j_2}, \mathcal{R}_{j_3}$，以及张量积表示 $\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \otimes \mathcal{R}_{j_3}$

• 结合律 $(\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}) \otimes \mathcal{R}_{j_3} \simeq \mathcal{R}_{j_1} \otimes (\mathcal{R}_{j_2} \otimes \mathcal{R}_{j_3})$

• 两组力学量完全集以及相应的本征态

  算符	本征态
  $J_1^2, J_2^2, (J_1 + J_2)^2, J_3^2, \purple{(J_1 + J_2 + J_3)^2}, \orange{J_{1z} + J_{2z} + J_{3z}}$	$\vert j_1, j_2, j_{12}, j_3, \purple{j}, \orange{m}\rangle$
  $J_2^2, J_3^2, (J_2 + J_3)^2, J_1^2, \purple{(J_1 + J_2 + J_3)^2}, \orange{J_{1z} + J_{2z} + J_{3z}}$	$\vert j_2, j_3, j_{23}, j_1, \purple{j}, \orange{m}\rangle$

6j 符号

• 给定 $j_1, j_2, j_3$，两组本征态均完备

  第一组完备性需要穷尽 $j_{12}, j, m$，第二组需要穷尽 $j_{23}, j, m$

• 另一组完备基 $|j_1, m_1; j_2, m_2; j_3, m_3\rangle$

6j 符号

• 完备性关系

  $$|j_{12}, j, m\rangle = \sum_{m_1, m_2, m_{12}, m_3} C^{j_{12} m_{12}}_{j_1 m_1 j_2 m_2} C^{j m}_{j_{12} m_{12} j_3 m_3} |j_1, m_1; j_2, m_2; j_3, m_3\rangle$$

  $$|j_{23}, j', m'\rangle = \sum_{m'_2, m'_3, m_{23}, m'_1} C^{j_{23} m_{23}}_{j_2 m'_2 j_3 m'_3} C^{j' m'}_{j_{23} m_{23} j_1 m'_1} |j_1, m'_1; j_2, m'_2; j_3, m'_3\rangle$$

  符号中省略了 $j_1, j_2, j_3$，因为它们是 固定 的

6j 符号

6j 符号

• 内积

  $$\langle j_{23}, j', m'|j_{12}, j, m\rangle = \sum_{\substack{m_1, m_2, m_3\\ m_{12}, m_{23}}} C^{j_{23} m_{23}}_{j_2 m_2 j_3 m_3} C^{j' m'}_{j_{23} m_{23} j_1 m_1} C^{j_{12} m_{12}}_{j_1 m_1 j_2 m_2} C^{j m}_{j_{12} m_{12} j_3 m_3}$$

  正交归一

  假设 $\langle j_i, m'_i|j_i, m_i\rangle = \delta_{m_i m'_i}$

6j 符号

6j 符号

• 定义：Wigner's 6j 符号 定义为

  $$\begin{align*} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ j_4 & j_5 & j_6 \end{pmatrix} \coloneqq \sum_{m_1, \cdots, m_6} & \ (-1)^{M} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ -m_1 & -m_2 & -m_3 \end{pmatrix}\\ & \ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_5 & j_6 \\ m_1 & -m_5 & m_6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_4 & j_2 & j_6 \\ m_4 & m_2 & -m_6 \end{pmatrix} \\ & \ \times\begin{pmatrix} j_4 & j_5 & j_3 \\ - m_4 & m_5 & m_3 \end{pmatrix} \end{align*}$$