量子力学中的群论

量子对称性的三个层次

• 量子系统的核心要素：希尔伯特空间 $\mathcal{H}$，哈密顿量 $H$，变换群 $G$

• 线性表示层次：对称群 $G$，线性幺正表示 $U$，保持哈密顿量

  群论课、量子力学、量子场论中里接触最多的情形

• 投影表示层次：对称群 $G$，投影幺正表示 $U$，保持哈密顿量

• 一般层次：对称群 $G$，线性幺正或者反线性反幺正表示 $U$ 保持跃迁概率

  可以没有哈密顿量的戏份

线性层次

量子力学与变换群

• 设定 1：变换群 $G$，通过 线性幺正表示 $U$ 作用在 $\mathcal{H}$ 上

  $$|\psi\rangle \to U(g)|\psi\rangle, \quad g \in G$$

  变换 不一定对称，即可能 $[U(g), H] \neq 0$

  变换群的存在与哈密顿量 没有必然关系，可以脱离 $H$ 单独讨论

• 希尔伯特空间的不可约分解

  $$\mathcal{H} = \bigoplus_\alpha m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

量子力学与变换群

• 每个不可约表示 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 的所有态矢紧密锁定，生死与共

• 定理：设非零态矢 $|\psi\rangle \in \mathcal{R}^{(\alpha)}$，则

  $$\{\mathcal{R}^{(\alpha)}(g)|\psi\rangle \mid g \in G\}$$

  形成 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 表示空间的完备基底

  粗略地说：从非零态矢 $|\psi\rangle$ 出发，通过 $G$ 的作用可以指向/线性组合出表示空间的任意态矢

量子力学与变换群

量子力学与哈密顿量

• 设定 2：厄米哈密顿量 $H$ 作用在 $\mathcal{H}$ 上
• 哈密顿量的对角化：

  $$H |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle$$

• 希尔伯特空间按能级分解成直和空间

  $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n$$

量子力学与对称性

• 动力学对称性 $(G, U)$：对所有 $g \in G$，都有 $[U(g), H] = 0$

• 对于具有动力学对称性 $(G, U)$ 的量子系统 $\mathcal{H}, H$

  $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n, \qquad\mathcal{H} = \bigoplus_\alpha m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

• 这两种分解有什么关系？

动力学对称性

• 考虑一个能级 $\mathcal{H}_n$

• 定理：$\mathcal{H}_n$ 形成 $G$ 的表示 ($(G, U)$ 的子表示)

  说明

  • 考虑任意 $|\psi_n\rangle \in \mathcal{H}_n$，即 $H|\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle$
  • 则对于任意 $g \in G$，都有

    $$H (U(g) |\psi_n\rangle) = U(g) H |\psi_n\rangle = E_n (U(g) |\psi_n\rangle)$$

  • 因此 $U(g) |\psi_n\rangle \in \mathcal{H}_n$，说明 $\mathcal{H}_n$ 是 $G$ 的不变子空间，形成子表示

动力学对称性

• 能级 $\mathcal{H}_n$ 虽然是 $G$ 的表示，但 不一定 是不可约表示
• 可以考虑进一步分解

  $$\mathcal{H}_n = \bigoplus_\alpha m_{n,\alpha} \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

• 等价地说，$[U(g), H] = 0$ 意味着 $U(g)$ 和 $H$ 可以同时块对角化，同样获得

  $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n, \qquad\mathcal{H}_n = \bigoplus_\alpha m_{n,\alpha} \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

动力学对称性

动力学对称性

• 因此，

  $$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n = \bigoplus_n \left( \bigoplus_\alpha m_{n,\alpha} \mathcal{R}^{(\alpha)} \right) = \bigoplus_\alpha \left( \sum_n m_{n,\alpha}\right) \mathcal{R}^{(\alpha)}$$

• 这个分解与之前的 $\mathcal{H} = \bigoplus_\alpha m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}$ 一致，因此

  $$m_\alpha = \sum_n m_{n,\alpha}$$

动力学对称性

• 总结

  动力学对称性 $\Rightarrow$ 最小单元是不可约表示

  每个能级由一个或多个最小单元直和而成

  若系统有多个能级，则希尔伯特空间是可约表示

动力学对称性

• 每个能级 $\mathcal{H}_n$ 由一个个不可约表示 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 直和而成
• $\mathcal{H}$ 中一个不可约表示是否必须隶属某一个能级？
• 答案：不一定，分两种情况
  • 若某个不可约表示 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 在 $\mathcal{H}$ 的分解重数 $> 1$，则 不一定 来自某个能级
  • 若某个不可约表示 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 在 $\mathcal{H}$ 的分解重数 $= 1$，则 $\mathcal{R}^{(\alpha)}$ 必然隶属某个能级

动力学对称性

• 先看 重数 $> 1$ 的情况
• 举个例子：设一维表示 $\mathcal{R}$ 在 $\mathcal{H}$ 里面出现了两次，对应独立的一维不变子空间 $V_{1,2}$

  $$U(g)|\psi_{1,2}\rangle = e^{i\phi(g)} |\psi_{1,2}\rangle$$

• 假设 $V_1, V_2$ 分属两个不同能级

  $$H |\psi_1\rangle = E_1 |\psi_1\rangle, \quad H |\psi_2\rangle = E_2 |\psi_2\rangle, \quad E_1 \neq E_2$$

动力学对称性

• 显然，$V' \coloneqq \text{span}\{\lambda (|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) \mid |\lambda\in \mathbb{C}\}$ 同样是 $G$ 的不变子空间，等价于 $\mathcal{R}^{(1)}$

  $$U(g)(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) = e^{i\phi(g)} (|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle)$$

  但显然这个子空间 不属于 任何一个能级

• $V'' \coloneqq \{\lambda(|\psi_1 \rangle - |\psi_2\rangle) \mid \lambda \in \mathbb{C}\}$ 同理也是 $G$ 的不变子空间，等价于 $\mathcal{R}^{(1)}$
• 换言之：一对等价的表示/不变子空间可以重新瓜分

  $$V_1 \oplus V_2 \to V' \oplus V''$$

  重新瓜分后的不变子空间 不一定 属于某个能级

动力学对称性

• 当重数 $= 1$ 时，上述情况 不会发生
• 定理：当不可约分解 $\mathcal{H} = \bigoplus_\alpha m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}$ 里 $m_\alpha \le 1$，则对应的 不变子空间 $V^{(\alpha)}$ 在哈密顿量作用下不变

  $$H V^{(\alpha)} = V^{(\alpha)}$$

• 结合舒尔引理，$H$ 与 $\mathcal{R}^{(\alpha)}(g)$ 交换，因此 $H = E\operatorname{id}$，整个 $V^{(\alpha)}$ 具有相同能量本征值

动力学对称性

• 设 $\mathcal{R} = \{|\psi\rangle\} \subset \mathcal{H}$ 形成 $G$ 的表示

• 则 $H\mathcal{R}$ 也是 $G$ 的一个表示

  说明

  • 对于任意 $|\psi\rangle \in \mathcal{R}$，都有 $H|\psi\rangle \in H\mathcal{R}$
  • 则对于任意 $g \in G$，都有

    $$U(g) (H |\psi\rangle) = H (U(g) |\psi\rangle) \in H\mathcal{R}$$

    因此 $U(g)$ 作用在 $H\mathcal{R}$ 上，说明 $H\mathcal{R}$ 是 $G$ 的不变子空间，形成子表示
  • $H$ 是可逆 intertwiner，$H\mathcal{R}$ 与 $\mathcal{R}$ 必然是等价的

量子力学简并与对称性

• 每个能级形成表示 $\mathcal{H}_n$：可能可约，也可能不可约
• $\mathcal{H}_n$ 可约 $\Rightarrow$ $E_n$ 简并
• $E_n$ 简并 $\Rightarrow$ $\dim \mathcal{H}_n > 1$，但 无法确定 $\mathcal{H}_n$ 是否可约
• 定义：若 $\mathcal{H}_n$ 是 $G$ 的可约表示，则称为 偶然 (accidental) 简并，否则称为 正则 (essential) 简并

量子力学简并与对称性

• 考虑特殊情况：整个 $\mathcal{H}$ 形成对称群 $G$ 的不可约表示

• 定理：设 $H$ 发生微扰：$H_\lambda = H_0 + \lambda \Delta H$，但全程保持对称性不变，则整个 $\mathcal{H}$ 依然只有一个能级，不会发生能级劈裂 (splitting)

  说明

  • $\mathcal{H}$ 是 $G$ 的不可约表示 ($H$ 变动并不会影响 $G$ 对 $\mathcal{H}$) 的作用
  • $G$ 一直都是 $H_\lambda$ 的对称性：$G$ 作用不会改变能量
  • 结合起来：整个 $\mathcal{H}$ 一直保持是 $\mathcal{H}_\lambda$ 的单一能级

量子力学简并与对称性

• 如果 $\mathcal{H}$ 中有多个能级：

  $$\mathcal{H} = \oplus_{n \in \text{levels}(\lambda)} \mathcal{H}^{(\lambda)}_n$$

• 当哈密顿量变动但保持对称性不变，那么能级数目、能量本征值、能量本征函数及能量本征空间都可能变动
• 不同能级可能发生融合，或者单一能级发生劈裂
• 但是融合/劈裂的最小单元依然是 $G$ 的不可约表示