二阶线性常微分方程

\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}

纲要

  • 常点邻域的级数解
    • 例：Legendre 方程
  • 正则奇点邻域的级数解
    • 例：Bessel 方程
  • Sturm-Liouville 本征值问题
二阶线性常微分方程

常点邻域的级数解

  • 方程的一般性质
  • 常点与奇点
  • 常点附近的级数解
二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

线性常微分方程

  • nn 阶常系数齐次线性常微分方程 其中 y0≠0y_0 \ne 0

    dnydxn+a1dn−1ydxn−1+⋯+any=0\frac{d^ny}{dx^n} + a_1 \frac{d^{n - 1} y}{dx^{n - 1}} + \cdots + a_n y = 0

    通解是 eλixe^{\lambda_i x} 的线性叠加，λi\lambda_i 为特征方程的根

    右边把零改成一个已知函数 f(x)f(x)，就是非齐次方程

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

线性常微分方程

  • 1 阶变系数线性常微分方程

    y′(x)+f(x)y(x)=g(x)y'(x) + f(x)y(x) = g(x)

  • 解为

    y=e−F(x)[∫0xeF(y)g(y)dy+C]y = e^{-F(x)} \left[ \int_0^x e^{F(y)} g(y) dy + C \right]

    其中

    F(x)=∫0xf(y)dyF(x) = \int_0^x f(y) dy

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

线性常微分方程

  • n≥2n \ge 2 阶变系数线性常微分方程：没有像 n=1n = 1 那样的一般积分解

    类似「五次代数方程没法通过系数与有理数进行有限次四则运算与开根号来求根」 (Abel-Ruffini 定理)
    什么方程有积分解？ 微分伽罗化理论回答这一问题

  • 退而求其次：可以寻找级数解

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

二阶线性齐次常微分方程

y′′+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0y'' + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0

  • 未知函数 y(x)y(x)

    xx 可以看成实数或复数，y(x)y(x) 可以是实变也可以是复变函数
    看成复变函数允许我们使用复变函数的工具

  • 常微分：单自变量 xx

  • 线性性：方程式 yy 及其导数 y′,y′′y', y'' 的线性 (一次或零次) 组合

    线性组合系数是已知函数 p(x)p(x), q(x)q(x)

  • 齐次：方程右边为零

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

二阶线性齐次常微分方程

  • p(x)p(x), q(x)q(x) 是 系数函数：假设为区域 DD 内 单值、解析/亚纯

    可能有有限个孤立奇点；没有 支点
    当 x∈Rx \in \mathbb{R}，p(x),q(x)∈Rp(x), q(x) \in \mathbb{R}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

二阶线性齐次常微分方程

  • 定义：若 x0∈Dx_0 \in D 是 p(x)p(x) 和 q(x)q(x) 的解析点，则称为方程的 常点 (regular point)

    可以在常点 x0x_0 处设定初始条件

    y(x0)=c0,y′(x0)=c1y(x_0) = c_0, \qquad y'(x_0) = c_1

  • 定义：若 x0∈Dx_0 \in D 是 p(x)p(x) 或者 q(x)q(x) 的极点或者本性奇点，则称其为方程的 奇点 (singularity)

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

二阶线性齐次常微分方程

  • 例子：Legendre 方程, 原点 00 是常点，±1\pm 1 是 奇点

    y′′(x)−2x1−x2y′+λ1−x2y=0y''(x) \green{- \frac{2x}{1-x^2}} y' + \green{\frac{\lambda}{1 - x^2}}y = 0

    来自球坐标的分离变量的 θ\theta-向方程，m=0m = 0，x=cos⁡θx = \cos\theta

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

二阶线性齐次常微分方程

  • 例子：Bessel 方程, 原点是 奇点

    y′′+1xy′+(1−ν2x2)y=0,ν∈R≥0y'' + \green{\frac{1}{x}} y' + \green{\left(1 - \frac{\nu^2}{x^2}\right)}y = 0, \qquad \nu \in \mathbb{R}_{\ge 0}

    来自柱坐标的分离变量的 ρ\rho-向方程，x=λρx = \sqrt{\lambda}\rho; 升级 m2→ν2m^2 \to \nu^2

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 定理：设 x0∈Dx_0 \in D 是方程的常点，即 p,qp, q 在圆盘 ∣x−x0∣<R|x - x_0| < R 内解析，则在圆盘内方程和初始条件的解是存在、唯一且解析的。

    二阶常微分方程，需要两条初始条件

    y(x0)=c0,y′(x0)=c1y(x_0) = c_0, \qquad y'(x_0) = c_1

     ~
    该定理对 p(x),q(x)p(x), q(x) 的具体形态 没有要求

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 方程在常点处可以求级数解

  • 对系数函数、未知函数做 Taylor 展开，

    p(x)=∑n=0+∞ pn(x−x0)nq(x)=∑n=0+∞ qn(x−x0)ny(x)=∑n=0+∞ yn(x−x0)n\begin{align*} p(x) = {\sum}_{n = 0}^{+\infty} \ p_n(x - x_0)^n\\ q(x) = {\sum}_{n = 0}^{+\infty} \ q_n(x - x_0)^n\\ y(x) = {\sum}_{n = 0}^{+\infty} \ y_n(x - x_0)^n\\ \end{align*}

    pn,qn∈Cp_n, q_n \in \mathbb{C} 是 已知 的系数，但是 yn∈Cy_n \in \mathbb{C} 是 未知 的系数

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近的级数解

二阶导数

y′′= ∑n=0+∞n(n−1)yn(x−x0)n−2(n=0,1 不贡献)= ∑n=2+∞n(n−1)yn(x−x0)n−2(n→n+2)= ∑n=0+∞(n+2)(n+1)yn+2(x−x0)n\begin{align*} y'' = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} n(n - 1) y_n (x - x_0)^{n - 2}\\ \gray{(n = 0, 1~\text{不贡献}) } = & \ \sum_{n = \orange{\boldsymbol{2}}}^{+\infty} n(n - 1) y_n (x - x_0)^{n - 2}\\ \gray{(n \to n + 2)}\quad = & \ \sum_{n = \orange{\boldsymbol{0}}}^{+\infty} (n + 2)(n + 1) y_{n + 2} (x - x_0)^{n}\\ \end{align*}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近的级数解

一阶导数项

y′(x)= ∑n=0+∞nyn(x−x0)n−1(n=0 不贡献)= ∑n=1+∞nyn(x−x0)n−1(n→n+1)= ∑n=0+∞(n+1)yn+1(x−x0)n\begin{align*} y'(x) = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} n y_n (x - x_0)^{n - 1}\\ \gray{(n = 0~\text{不贡献})}= & \ \sum_{n = 1}^{+\infty} n y_n (x - x_0)^{n - 1}\\ \gray{(n \to n + 1)}= & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 1) y_{n + 1} (x - x_0)^{n} \end{align*}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近的级数解

一阶导数项

p(x)y′(x)= ∑n=0+∞pn(x−x0)n∑m=0+∞(m+1)ym+1(x−x0)m= ∑m,n=0+∞(m+1)pnym+1(x−x0)m+nN=m+n,n=N−m = ∑N=0+∞∑m=0N(m+1)pN−mym+1(x−x0)N\begin{align*} p(x) y'(x) = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} p_n (x - x_0)^n \sum_{m = 0}^{+\infty} (m + 1) y_{m + 1} (x - x_0)^m\\ = & \ \sum_{m, n = 0}^{+\infty} (m + 1) p_n y_{m + 1} (x - x_0)^{m + n}\\ \gray{N = m + n, \quad n = N - m} \ = & \ \sum_{N = 0}^{+\infty} \sum_{m = 0}^{N} (m + 1) p_{N - m} y_{m + 1} (x - x_0)^N \end{align*}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近的级数解

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

零阶导数项

q(x)y(x)= ∑n=0+∞qn(x−x0)n∑m=0+∞ym(x−x0)m= ∑m,n=0+∞qnym(x−x0)m+nN=m+n,n=N−m = ∑N=0+∞∑m=0NqN−mym(x−x0)N\begin{align*} q(x)y(x) = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} q_n (x - x_0)^n \sum_{m = 0}^{+\infty} y_m (x - x_0)^m\\ = & \ \sum_{m, n = 0}^{+\infty} q_n y_m (x - x_0)^{m + n}\\ \gray{N = m + n, \quad n = N - m} \ = & \ \sum_{N = 0}^{+\infty} \sum_{m = 0}^{N} q_{N - m} y_m (x - x_0)^N \end{align*}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 把上述泰勒展开代入方程，

    0= ∑n=0+∞(n+2)(n+1)yn+2(x−x0)nN→n +∑n=0+∞(∑m=0n(m+1)pn−mym+1)(x−x0)n +∑n=0+∞(∑m=0nqn−mym)(x−x0)n\begin{align*} 0 = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + 2)(n + 1)y_{n + 2}(x-x_0)^n\\ \gray{N \to n} \qquad & \ + \sum_{n=0}^{+\infty}{\Big( \sum_{m=0}^n (m+1)p_{n-m} y_{m+1} \Big) \left( x-x_0 \right) ^n} \\ & \ + \sum_{n=0}^{+\infty}{\Big( \sum_{m=0}^n q_{n-m} y_m \Big) \left( x-x_0 \right) ^n} \end{align*}

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 合并同类项，得到 (x−x0)n\purple{(x - x_0)^n} 的系数

    0=(n+2)(n+1)yn+2+∑m=0n(m+1)pn−mym+1+qn−mym0 = (n + 2)(n + 1)y_{n + 2} + \sum_{m = 0}^{n}(m+1)p_{n-m} y_{m+1} + q_{n - m}y_m

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 初始条件: 结合 y(x)=∑n=0+∞ynxny(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty}y_n x^n

    y(x0)=y0=c0,y′(x0)=y1=c1y(x_0) = y_0 = c_0, \quad y'(x_0) = y_1 = c_1

  • n=0n = 0

    2y2+p0y1+q0y0=02y_2 + p_0 y_1 + q_0 y_0 = 0

    y0,y1y_0, y_1 已知，y2y_2 可解

  • n=1n = 1

    6y3+2p0y2+p1y1+q0y1+q1y0=06y_3 +2p_0 y_2 + p_1 y_1 + q_0 y_1 + q_1 y_0 = 0

    y0,y1,y2y_0, y_1, y_2 已知，y3y_3 可解

二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 对于 n≥2n \ge 2，

    yn+2=−∑m=0n(m+1)pn−mym+1+qn−mym(n+2)(n+1)y_{n + 2} = - \frac{\sum_{m = 0}^{n}(m + 1)p_{n - m}y_{m + 1} + q_{n - m}y_m}{(n + 2)(n + 1)}

  • 以此类推，解出全部 yny_n ⇒\Rightarrow 级数解 y(x)y(x)
  • 所有 yn≥2y_{n \ge 2} 均可以写成 y0,y1y_0, y_1 的函数，而 y0,y1y_0, y_1 由初始条件确定
二阶线性常微分方程
常点邻域的级数解

常点附近级数解

  • 但是有时 并没有 初始条件，而是有边界条件

  • 并非所有 p(x),q(x)p(x), q(x) 能使得边界条件满足：本征值问题

    本征值问题：p(x),q(x)p(x), q(x) 需要具有 特殊形式，才使得方程有特殊解
    本征值问题的解是特殊的级数解，称为本征函数，对应的参数称为本征值

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • Legendre 方程
  • 本征值问题
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问

  • 回忆球坐标下 Helmholtz 方程的分离变量

    u(r,θ,φ)=R(r)H(θ)Φ(φ)u(r, \theta, \varphi) = R(r)H(\theta)\Phi(\varphi)

  • θ\theta 方向的方程

     1sin⁡θddθ(sin⁡θdHdθ)+(λ−m2sin⁡2θ)H=0⇒ ddx[(1−x2)dPdx]+(λ−m21−x2)P=0\begin{align*} & \ \frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta} \left({\sin \theta \frac{dH}{d\theta}}\right) + \left({\lambda - \frac{m^2}{\sin^2 \theta}}\right)H = 0\\ \Rightarrow & \ \frac{d}{dx} \left[{(1 - x^2)\frac{dP}{dx}}\right] + \left({\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}}\right) P = 0 \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 考虑 m=0m = 0：

    ddx[(1−x2)dPdx]+λP= 0⇒(1−x2)d2Pdx2−2xdPdx+λP= 0⇒d2Pdx2−2x1−x2dPdx+λ1−x2P= 0\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[{(1 - x^2)\frac{dP}{dx}}\right] + \lambda P = & \ 0\\ \Rightarrow (1 - x^2)\frac{d^2P}{dx^2} - 2x \frac{dP}{dx} + \lambda P = & \ 0\\ \Rightarrow \frac{d^2 P}{dx^2} - \frac{2x}{1 - x^2} \frac{dP}{dx} + \frac{\lambda}{1 - x^2} P = & \ 0 \end{align*}

    m=0m = 0 可能来自轴对称条件，也作为一般情况中必须考虑的部分解

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 自然边界条件：m=0m = 0 时，P(x)P(x) 在 x=±1x = \pm 1 处有限

    m≠0m \ne 0 时，P(±1)=0P(\pm 1) = 0

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

Legendre 方程：重命名 P(x)P(x) 为 y(x)y(x)

y′′(x)−2x1−x2y′+λ1−x2y=0y''(x) - \frac{2x}{1-x^2} y' + \frac{\lambda}{1 - x^2}y = 0

  • 读出

    p(x)=−2x1−x2,q(x)=λ1−x2p(x) = - \frac{2x}{1 - x^2}, \qquad q(x) = \frac{\lambda}{1 - x^2}

    标准形式

    y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • p(x)p(x), q(x)q(x) 奇点位于 x=±1x = \pm 1；此外都是常点，比如原点 x=0x = 0
  • p(x)p(x), q(x)q(x) 在圆盘 ∣x∣<1|x| < 1 内解析

    p(x)= −2(x+x3+x5+x7+⋯ )q(x)= λ(1+x2+x4+x6+⋯ )\begin{align*} p(x) = & \ -2(x + x^3 + x^5 + x^7 + \cdots)\\ q(x) = & \ \lambda(1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots ) \end{align*}

  • 解 y(x)y(x) 也在 ∣x∣<1|x|<1 解析
  • 以常点 x=0x = 0 作为中心，求 y(x)y(x) 的级数解

    y(x)=∑n=0+∞ynxny(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^n

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 两种方法建立递推 yny_n 的递推关系

  • 方法一：利用之前所得结果，逐级求解

    yn+2=−∑m=0n(m+1)pn−mym+1+qn−mym(n+2)(n+1)y_{n + 2} = - \frac{\sum_{m = 0}^n (m + 1)p_{n - m}y_{m + 1} + q_{n - m}y_m}{(n + 2)(n + 1)}

    这方法有点麻烦

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 方法二：方程同乘 (1−x2)(1 - x^2)，重新展开得到

     (n+2)(n+1)yn+2−n(n+1)yn+λyn=0\begin{align*} & \ (n + 2)(n + 1) y_{n + 2} - n(n+1)y_n + \lambda y_n = 0\\ \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

重新展开计算

  • 方程两边同乘 1−x21-x^2：(1−x2)y′′−2xy′+λy=0(1 - x^2)y'' - 2x y' + \lambda y = 0

  • 二阶导数项

     (1−x2)y′′(x)=(1−x2)∑n=0+∞n(n−1)ynxn−2= ∑n=2∞n(n−1)ynxn−2−∑n=0∞n(n−1)ynxnn→n+2= ∑n=0∞(n+2)(n+1)yn+2xn−∑n=0∞n(n−1)ynxn\begin{align*} & \ (1 - x^2)y''(x) = (\orange{1} - \green{x^2})\sum_{n = 0}^{+\infty} n(n-1)y_n x^{n - 2}\\ = & \ \orange{\sum_{n = 2}^{\infty}n(n - 1)y_n x^{n -2}} - \green{\sum_{n = 0}^{\infty}n(n - 1)y_n x^n}\\ \green{n \to n + 2} = & \ \sum_{n = \orange{\boldsymbol{0}}}^{\infty} (n + 2)(n + 1)y_{n + 2}x^n \purple{- \sum_{n = 0}^{\infty}n(n - 1)y_n x^n} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

重新展开计算

  • 第二项

    −2xy′=−2x∑n=0+∞nynxn−1=−2∑n=0+∞nynxn -2 x y' = -2x \sum_{n = 0}^{+\infty} n y_n x^{n - 1} = \purple{-2 \sum_{n = 0}^{+\infty} n y_n x^{n}}

  • 第三项

    λy=λ∑n=0+∞ynxn=∑n=0+∞λynxn\lambda y = \lambda \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} \lambda y_n x^n

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

重新展开计算

  • 所有项加起来，合并同类项，

    (1−x2)y′′−2xy′+λy=0(1 - x^2) y'' - 2xy' + \lambda y = 0

    ⇒∑n=0+∞[(n+2)(n+1)yn+2 −n(n−1)yn−2nyn+λyn]xn=0\Rightarrow \sum_{n = 0}^{+\infty} \Big[{(n + 2)(n + 1) y_{n + 2} ~ \purple{- n(n - 1)y_n - 2ny_n} + \lambda y_n}\Big]x^n = 0

    幂级数为零，说明逐项系数为零
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

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  • 求解得到

    yn+2=n(n+1)−λ(n+2)(n+1)yn,n=0,1,2,...y_{n + 2} = \frac{n(n + 1) - \lambda}{(n + 2)(n + 1)} y_n, \quad n = 0, 1,2, ...

    第二种方法快速得到递推关系

    隔代遗传：y2y_2 由 y0y_0 确定，y3y_3 由 y1y_1 确定，如此类推

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • yeveny_\text{even}, yoddy_\text{odd} 是独立的
  • 奇偶项递推关系

    y2m= y0∏ℓ=1my2ℓy2ℓ−2=y0∏ℓ=1m(2ℓ−1)(2ℓ−2)−λ(2ℓ)(2ℓ−1)y2m+1= y1∏ℓ=1y2ℓ+1y2ℓ−1=y1∏ℓ=1m2ℓ(2ℓ−1)−λ(2ℓ+1)2ℓ\begin{align*} y_{2m} = & \ y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y_{2\ell}}{y_{2\ell - 2}} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{(2\ell - 1)(2\ell - 2) - \lambda}{(2\ell)(2\ell - 1)} \\ y_{2m + 1} = & \ y_1 \prod_{\ell = 1}\frac{y_{2\ell + 1}}{y_{2\ell - 1}} = y_1 \prod_{\ell = 1}^m \frac{2\ell(2\ell - 1) - \lambda}{(2\ell + 1)2 \ell} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 例子

    y6= (5⋅4−λ)(3⋅2−λ)(1⋅0−λ)(6⋅5)⋅(4⋅3)⋅(2⋅1)y0y8= (7⋅6−λ)(5⋅4−λ)(3⋅2−λ)(1⋅0−λ)(8⋅7)⋅(6⋅5)⋅(4⋅3)⋅(2⋅1)y0y7= (6⋅5−λ)(4⋅3−λ)(2⋅1−λ)(7⋅6)⋅(5⋅4)⋅(3⋅2)y1\begin{align*} y_{6} = & \ \frac{\purple{(5 \cdot 4 - \lambda)(3 \cdot 2 - \lambda)(1 \cdot 0 - \lambda)}}{\purple{(6 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 1)}} y_0\\ y_8 = & \ \frac{(7 \cdot 6 - \lambda)\purple{(5 \cdot 4 - \lambda)(3 \cdot 2 - \lambda)(1 \cdot 0 - \lambda)}}{(8 \cdot 7) \cdot \purple{(6 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 1)}} y_0\\ y_7 = & \ \frac{(6 \cdot 5 - \lambda)(4 \cdot 3 - \lambda)(2 \cdot 1 - \lambda)}{(7 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 2)} y_1 \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

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  • 级数解：两个独立的部分，两个线性独立解

    y(x)=∑n=0+∞ynxn=∑n=even+∞ynxn+∑n=odd+∞ynxny(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^n = \sum_{n = \text{even}}^{+\infty} y_n x^n + \sum_{n = \text{odd}}^{+\infty} y_n x^n

    • 方程是二阶线性常微分方程，自然有两个线性独立解
    • 提取 y0,y1\purple{y_0, y_1} 公共因子，

      y(x)=y0∑n=evenanxn+y1∑n=oddanxny(x) = \purple{y_0} \sum_{n = \text{even}} \green{a_n} x^n + \purple{y_1}\sum_{n = \text{odd}} \green{a_n} x^n

      其中 an≔yn/y0a_n \coloneqq y_n/y_0 (n=n = even 或 odd) 与 y0,y1y_0, y_1 无关
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 定理：两个幂级数在单位圆盘内均收敛

    说明

    达朗贝尔方法说明收敛半径为 11：

    lim⁡n→+∞∣yn+2yn∣=lim⁡n→+∞∣n(n+1)−λ(n+2)(n+1)∣=1\lim_{n \to + \infty} \bigg|\frac{y_{n + 2}}{y_n}\bigg| = \lim_{n \to +\infty} \bigg|\frac{n(n + 1) - \lambda}{(n + 2)(n + 1)}\bigg| = 1

  • 但是我们 不能满足 于圆盘内收敛：需关心 x=±1x = \pm 1 时的 yy 值

    收敛圆周 ∣x∣=1|x| = 1 上 有发散的风险

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 对于 一般 (generic) 参数 λ\lambda，y(±1)y(\pm 1) 是 非平凡无穷级数，发散

    说明

    • 尝试论证

      lim⁡m→+∞y2m1/m=const, lim⁡m→+∞y2m+11/(2m+1)=const\lim_{m \to +\infty} \frac{y_{2m}}{1/m} = \text{const}, \ \lim_{m \to +\infty} \frac{y_{2m+1}}{1/(2m+1)} = \text{const}

    • 即当求和项数足够多的时候，

      y1∼∑m12mx2m,y2∼∑m12m+1x2m+1y_1\sim \sum_m \frac{1}{2m} x^{2m}, \quad y_2 \sim \sum_m \frac{1}{2m + 1}x^{2m + 1}

      在 x=±1x = \pm 1 处 对数发散，∼ln⁡(1±x)\sim \ln(1 \pm x)
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程

  • 球坐标 H(θ)=y(x=cos⁡θ)H(\theta) = y(x = \cos\theta) 的自然边界条件：

    ∣y(±1)∣<∞|y(\pm 1)| < \infty

  • 自然边界条件要求 y(x)y(x) 级数解 截断 (truncate) 成多项式
  • 截断要求 λ\lambda 取特殊值，使得只有 有限个 yny_n 非零
    • λ=2m(2m+1)\lambda = 2m (2m + 1)
    • λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2)
    • 两种情况分别 抛弃 两个线性独立解中的一个：该解仍然是无穷级数，不满足自然边界条件
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • λ=2m(2m+1)\lambda = 2m (2m + 1)，偶小奇大

    y2m+2=y0∏ℓ=1m+1(2ℓ−2)(2ℓ−1)−λ(2ℓ)(2ℓ−1)=0,yn≥2m+2=0y_{2m + 2} = y_0 \prod_{\ell = 1}^{m + 1} \frac{(2\ell - 2)(2\ell - 1) - \lambda}{(2\ell)(2\ell - 1)} = 0, \qquad y_{n \ge 2m + 2} = 0

  • λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2)，偶大奇小

    y2m+3=y1∏ℓ=1m+1(2ℓ−1)2ℓ−λ(2ℓ+1)2ℓ=0,yn≥2m+3=0y_{2m + 3} = y_1 \prod_{\ell = 1}^{m + 1} \frac{(2\ell - 1)2\ell - \lambda}{(2\ell + 1)2\ell} = 0, \qquad y_{n \ge 2m + 3} = 0

  • λ=2m(2m+1)\lambda = 2m(2m+1) 或者 λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2): 都是 非负 的
二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 当 λ=2m(2m+1)\lambda = 2m(2m + 1) 且 同时 y1=0y_1 = 0，则

    y(x)=∑ℓ=0my2ℓx2ℓ+0=y0∑ℓ=0ma2ℓx2ℓy(x) = {\sum}_{\ell = 0}^{m} y_{2\ell} x^{2\ell} + \red{0} = \orange{y_0} \sum_{\ell = 0}^{m} a_{2\ell} x^{2\ell}

    正比于 y1y_1 部分 是一个级数 Q2m(x)\red{Q_{2m}(x)}：排除 不要

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 调整 y0y_0，使得最高幂项系数

    y2m=(4m)!22m((2m)!)2y_{2 m} = \frac{(4m)!}{2^{2m} ((2m)!)^2}

  • 相应的多项式解称为 P2mP_{2m}

    y(x)=P2m(x)=∑k=0m(−1)k(4m−2k)!x2m−2k22mk!(2m−k)!(2m−2k)!y(x) = P_{\green{2m}}(x) = {\sum}_{k = 0}^{\green{m}} (-1)^k \frac{(\green{4m} - 2k)! x^{\green{2m} - 2k}}{2^{\green{2m}}k!(\green{2m} - k)! (\green{2m} - 2k)!}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 当 λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2) 且 同时 y0=0y_0 = 0，则

    y(x)=0+∑ℓ=0my2ℓ+1x2ℓ+1=y1∑ℓ=0ma2ℓ+1x2ℓ+1y(x) = \red{0} + {\sum}_{\ell = 0}^{m} y_{2\ell + 1} x^{2\ell + 1} = \orange{y_1} \sum_{\ell = 0}^{m} a_{2\ell + 1} x^{2\ell + 1}

    y0y_0 对应部分是一个级数 Q2m+1(x)\red{Q_{2m + 1}(x)}：排除 不要

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 调整 y1y_1，使得最高幂次系数

    y2m+1=(4m+2)!22m+1((2m+1)!)2y_{2m + 1} = \frac{(4m + 2)!}{2^{2m + 1}((2m + 1)!)^2}

  • 相应的解称为

    y(x)=P2m+1(x)=∑k=0m(−1)k(4m+2−2k)!x2m+1−2k22m+1k!(2m+1−k)!(2m+1−2k)!\begin{align*} y(x) = P_{\green{2m + 1}}(x) = {\sum}_{k = 0}^{\green{m}}(-1)^k \frac{(\green{4m + 2} - 2k)! x^{\green{2m + 1} - 2k}}{2^{\green{2m + 1}}k!(\green{2m + 1} - k)!(\green{2m + 1} - 2k)!} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 不管哪一种情况，所得多项式称为 Legendre 多项式，统一记为

    Pℓ(x)=∑k=0⌊ℓ/2⌋(−1)k(2ℓ−2k)!2ℓk!(ℓ−k)!(ℓ−2k)!xℓ−2kP_\ell(x) = \sum_{k = 0}^{\lfloor \ell/2 \rfloor} (-1)^k \frac{(2\ell - 2k)!}{2^\ell k!(\ell - k)! (\ell - 2k)!} x^{\ell - 2k}

    • 适用于 λ=2m(2m+1)\lambda = 2m(2m + 1) 或者 λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2)

    • 具体表达式通过递推、总结、归纳得到

    • 最高幂次为 ℓ\ell，Pℓ(x)P_\ell(x) 是 xx 的 ℓ\ell 次多项式

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 不管 λ=2m(2m+1)\lambda = 2m(2m + 1) 还是 λ=(2m+1)(2m+2)\lambda = (2m + 1)(2m + 2)，都有一个未能截断的无穷级数 Qℓ(x)Q_\ell(x)，排除 不要

    Qℓ(x)Q_\ell(x) 确实是 Legendre 方程的另一个线性独立解，在 ±1\pm 1 处 发散，只是被自然边界条件所排除

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

  • 常用低阶 Legendre 多项式

    P0(x)= 1,P1(x)= x,P2(x)= 12(3x2−1),P3(x)= 12(5x3−3x),\begin{align*} P_0(x) = & \ 1,\\ P_1(x) = & \ x,\\ P_2(x) = & \ \frac{1}{2}(3x^2 - 1),\\ P_3(x) = & \ \frac{1}{2}(5x^3 - 3x),\\ \end{align*}

二阶线性常微分方程
Legendre 方程

Legendre 方程及其本征值问题

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点与正则解

  • 正则奇点
  • 正则解的一般形式
  • 正则解的一般规律
二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点与正则解：整体框架

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

  • 考虑二阶线性齐次常微分方程

    y′′+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0y'' + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0

  • 设 x0x_0 是 pp 或 qq 的 极点或本性奇点：在去心邻域 0<∣x−x0∣<R0 < |x - x_0| < R 中展开

    p(x)=∑n=−∞+∞pn(x−x0)nq(x)=∑n=−∞+∞qn(x−x0)n\begin{align*} p(x) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} p_n (x - x_0)^n\\ q(x) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} q_n (x - x_0)^n \end{align*}

    求和一般来说可能从 负无穷 开始

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

  • 解 yy 也可以在 x0x_0 处展开：但 可能不是 幂级数

    x0x_0 可能是解 y(x)y(x) 的极点、本性奇点，以及支点

    但要记得 x0x_0 不能是 p(x),q(x)p(x), q(x) 的支点

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

  • 定理 (不作证明)：一般而言 (generically)，有两个线性独立解：s1,s2,β∈Cs_1, s_2, \beta \in \mathbb{C}

    y(1)(x)= (x−x0)s1∑n=−∞+∞an(x−x0)n,y(2)(x)= (x−x0)s2∑n=−∞+∞bn(x−x0)n+βy(1)(x)ln⁡(x−x0)\begin{align*} \orange{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} = & \ \red{(x - x_0)^{s_1}} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \green{a_n} (x - x_0)^n, \\ y_{(2)}(x) = & \ \red{(x - x_0)^{s_2}} \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \purple{b_n} (x - x_0)^n + \beta \orange{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} \ln(x - x_0) \end{align*}

    原则上从 −∞\boldsymbol{-\infty} 开始求和

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

Lazarus Immanuel Fuchs

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

  • 定理 (Fuchs)：在极点 x0x_0 有正则解的充要条件是 p,qp, q 在 x0x_0 处的极点阶数分别 不高于 1 阶和 2 阶 (也称为 正则 (regular) 奇点 (singular point))，有两个 正则解

    第一解：y(1)(x)=∑n=0+∞yn(x−x0)n+s1第一解：\purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n (x - x_0)^{n + s_1}

    第二解：y(2)(x)=∑n=0+∞yn′(x−x0)n+s2+βy(1)(x)ln⁡(x−x0)第二解：y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \red{y'_n} (x - x_0)^{n + s_2} + \beta \purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} \ln(x - x_0)

    其中 s1,s2∈Cs_1, s_2 \in \mathbb{C} 称为 正则解的指标 或者 indicial roots，满足 Re⁡s1≥Re⁡s2\operatorname{Re}s_1 \ge \operatorname{Re}s_2。
二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

  • 正则解与一般解的核心差别在于 求和下限 是 有限 的，不是 −∞-\infty
  • 通过调整 s1s_1 与 s2s_2 的值，可以使求和下限从 n=0n=0 开始
二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

indicial 方程

  • 假设 x0=0x_0 = 0 是正则奇点
  • pp 的极点阶数不超过 1，qq 的极点阶数不超过 2

    p(x)=∑n=−1+∞pnxn,q(x)=∑n=−2+∞qnxnp(x) = \sum_{n = -1}^{+\infty} p_n x^n, \qquad q(x) = \sum_{n = - 2}^ {+\infty} q_n x^n

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则奇点邻域的级数解

indicial 方程

  • 假设 领头阶 y(x)=xs+O(xs+1)y(x) = x^s + O(x^{s+1})，则

    y′′(x)=s(s−1)xs−2+O(xs−1),y′(x)=sxs−1+O(xs)y''(x) = s(s-1)x^{s - 2} + O(x^{s-1}), \qquad y'(x) = s x^{s - 1} + O(x^s)

  • 则方程的领头阶贡献为

    (s(s−1)+p−1s+q−2)xs−2+O(xs−1)=0 \big(s(s - 1)+ p_{-1} s + q_{-2}\big) x^{s - 2} + O(x^{s-1}) = 0

  • 此方程称为 indicial 方程，其解为 indicial roots s1,2s_{1,2}，刚好以 p(x),q(x)p(x), q(x) 的级数展开领头阶系数 p−1,q−2p_{-1}, q_{-2} 为方程的系数
二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则解的一般规律

  • 对于正则奇点

    • 非对数正则解必然存在 (第一个解)
    • 第二个解可能是 对数 (β≠0\beta \ne 0)，可能 非对数 (β=0\beta = 0)

    二阶线性常微分方程必然有 2 个解

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则解的一般规律

  • 两个 indicial roots 实部可以比大小：假设 Re⁡s1≥Re⁡s2\operatorname{Re}s_1 \ge \operatorname{Re}s_2

    非对数解一定对应实部较大的正则指标

  • 一般情况 (generic)：若 s1−s2 ∉ Ns_1 - s_2 \ \red{\boldsymbol{\not\in}} \ \mathbb{N}，则第二个正则解 非对数

  • 若 s1−s2=1,2,3,...s_1 - s_2 = 1, 2, 3, ...，则第二个正则解可能对数，可能非对数

  • 若 s1−s2=0s_1 - s_2 = 0，则第二正则解必然是 对数解

二阶线性常微分方程
正则奇点与正则解

正则解的一般规律

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程


Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程

  • Bessel 方程的一般形式为

    y′′+1xy′+x2−ν2x2y=0,Re⁡ν≥0y'' + \frac{1}{x} y' + \frac{x^2 - \nu^2}{x^2}y = 0, \qquad \green{\operatorname{Re}\nu \ge 0}

    ν∈C\nu \in \mathbb{C}，但由于 ν2=(−ν)2\nu^2 = (-\nu)^2，选 Re⁡ν≥0\green{\operatorname{Re}\nu \ge 0}

    在柱坐标系分离变量得到 ρ\rho 方向方程

    1xddx(xdydx)+(1−m2x2)y=0,x=λρ\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \bigg(x \frac{dy}{dx}\bigg) + \bigg(1 - \frac{m^2}{x^2}\bigg)y = 0, \qquad x = \sqrt{\lambda}\rho

    对应 ν=m∈N\nu = m \in \mathbb{N}，现在是考虑更一般的情况

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程

  • 根据方程

    y′′+1xy′+x2−ν2x2y=0,Re⁡ν≥0y'' + \frac{1}{x} y' + \frac{x^2 - \nu^2}{x^2}y = 0, \qquad \operatorname{Re}\nu \ge 0

  • 读取系数 p(x),q(x)p(x), q(x) 及展开

    p(x)=1x=x−1,q(x)=x2−ν2x2=−ν2x−2+⋯p(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, \qquad q(x) = \frac{x^2 - \nu^2}{x^2} = -\nu^2 x^{-2} + \cdots

    标准形式

    y′′+p(x)y′+q(x)y=0y'' + p(x) y' + q(x) y = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • x=0x = 0 是正则奇点，以 x=0x = 0 为中心寻求正则解

  • 考虑正则级数解 (适用于第一解，也适用于非对数第二解)

    y(x)=∑n=0+∞ynxn+s,y0≠0y(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s}, \qquad \green{y_0 \ne 0}

    不失一般性，假定 y0≠0y_0 \ne 0。n=0n = 0 称为 领头阶

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • 方程

    y′′+1xy′+x2−ν2x2y=0y'' + \frac{1}{x} y' + \frac{x^2 - \nu^2}{x^2}y = 0

  • 两边乘以 x2x^2，得到

    x2y′′+xy′+(x2−ν2)y=0\orange{x^2 y'' + x y'} + (\red{x^2} - \purple{\nu^2})y = 0

  • 求 yny_n 递推关系
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

获取递推关系

二阶导数项

x2y′′= x2∑n=0+∞(n+s)(n+s−1)ynxn+s−2= ∑n=0+∞(n+s)(n+s−1)ynxn+s\begin{align*} \red{x^2} y'' = & \ \red{x^2} \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + s)(n + s - 1) y_n x^{n + s \red{\boldsymbol{- 2}}} \\ = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \purple{(n + s)(n + s - 1)} y_n x^{n + s} \\ \end{align*}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

获取递推关系

一阶导数项

xy′= x∑n=0+∞(n+s)ynxn+s−1=∑n=0+∞(n+s)ynxn+s\begin{align*} \red{x} y' = & \ \red{x} \sum_{n = 0}^{+\infty} (n + s) y_n x^{n + s \red{\boldsymbol{- 1}}} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \orange{(n + s)} y_n x^{n + s} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

获取递推关系

二阶导数与一阶导数加起来，

x2y′′+xy′= ∑n=0+∞(n+s)(n+s−1)ynxn+s+∑n=0+∞(n+s)ynxn+s= ∑n=0+∞[(n+s)(n+s−1)+(n+s)]ynxn+s= ∑n=0+∞(n+s)2ynxn+s\begin{align*} x^2 y'' + x y' = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \purple{(n + s)(n + s - 1)} y_n x^{n + s} + \sum_{n = 0}^{+\infty} \orange{(n + s)} y_n x^{n + s} \\ = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \Big[\purple{(n + s)(n + s - 1)} + \orange{(n + s)}\Big]y_n x^{n + s} \\ = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} \green{(n + s)^2} y_n x^{n + s} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

获取递推关系

零阶导数项

(x2−ν2)y=∑n=0+∞ynxn+s+2−ν2∑n=0+∞ynxn+s(x^2 - \nu^2)y = \red{\sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s + 2}} - \purple{\nu^2} \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • 代入级数解级数展开表达式，

     ∑n=0+∞[(n+s)2−ν2]ynxn+s+∑n=0+∞ynxn+s+2= ∑n=0+∞[(n+s)2−ν2]ynxn+s+∑n=2+∞yn−2xn+s= ∑n=0+∞[(n+s)2−ν2]ynxn+s+∑n=0+∞yn−2xn+s\begin{align*} & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} [\orange{(n + s)^2} - \purple{\nu^2}]y_n x^{n + s} + \red{\sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s + 2}}\\ = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} [(n + s)^2 - \nu^2]y_n x^{n + s} + \sum_{\red{n = 2}}^{+\infty} y_{\red{n - 2}} x^{n + s}\\ = & \ \sum_{n = 0}^{+\infty} [(n + s)^2 - \nu^2]y_n x^{n + s} + \sum_{\red{\boldsymbol{n = 0}}}^{+\infty} y_{n - 2} x^{n + s} \end{align*}

    最后一行中最后一项追加约定：y−1=y−2=0y_{-1} = y_{-2} = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • 系数递推方程：对 所有 n∈Nn \in \mathbb{N} 都要成立

    ((n+s)2−ν2)yn+yn−2=0,n≥0((n + s)^2 - \nu^2)y_n + \red{y_{n - 2}} = 0, \qquad n \ge 0

    要记得约定 y−2=y−1=0y_{-2} = y_{-1} = 0

  • 领头阶 n=0n = 0：根据约定 y−2=0y_{-2} = 0，y0≠0\boldsymbol{y_0 \ne 0}

    n=0: [(0+s)2−ν2]y0+0=0,y0≠0\begin{align*} \gray{n = 0:} \quad & \ [(0 + s)^2 - \nu^2]y_0 + \red{0} = 0, \qquad \red{y_0 \ne 0} \end{align*}

  • 这就是 indicial 方程：s(s−1)+s+(−ν2)=0s(s-1) + s + (-\nu^2) = 0，p−1=1p_{-1} = 1，q−2=−ν2q_{-2} = -\nu^2

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • indicial 方程有两个 ss 解，就是 indicial roots，

    s2=ν2⇒s1=ν,s2=−νs^2 = \nu^2 \quad \Rightarrow \quad s_1 = \nu, s_2 = - \nu

    只有 s2=ν2s^2 = \nu^2，级数 ∑nynxn+s\sum_n y_n x^{n + s} 才可能是 Bessel 方程解

  • 由于约定了 Re⁡ν≥0\operatorname{Re}\nu \ge 0

    Re⁡s1≥Re⁡s2\operatorname{Re}s_1 \ge \operatorname{Re}s_2

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • 更一般的 yny_n 解是什么？
  • 进一步求解之前，需要先对 ν\nu 分类讨论
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的级数解

  • Bessel 方程可分三种情况

    ν∈C\nu \in \mathbb{C}，Re⁡ν≥0\operatorname{Re}\nu \ge 0

    • generic: ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}

      最简单

    • 半奇数：ν=12,32,52,⋯\nu = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots

      次简单，跟 ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N} 基本一样

    • 自然数：ν=0,1,2,⋯\nu = 0, 1, 2, \cdots

      最复杂，有对数解

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的第一解

双重过滤

  • 第一重过滤：一般奇点 + 一般解 (复杂)，正则奇点 + 正则解 (简单一丁点)
  • 第二重过滤：s1−s2∉N\green{s_1 - s_2 \not \in \mathbb{N}}，s1−s2∈N+\purple{s_1 - s_2 \in \mathbb{N}_+}，s1−s2=0\red{s_1 - s_2 = 0}
  • 第二重过滤如今体现为 ν∉12N\green{\nu \not\in \frac{1}{2}\mathbb{N}}，ν∈N+12\nu \in \mathbb{N} + \frac{1}{2}，ν∈N\nu \in \mathbb{N}
    • ν∉12N\green{\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}} 对应 s1−s2∉N\green{s_1 - s_2 \not \in \mathbb{N}}
    • ν=12,1,32,2,⋯\nu = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots 对应 s1−s2=1,2,3,4,⋯\purple{s_1 - s_2 = 1, 2, 3, 4, \cdots}
    • ν=0\nu = 0 对应 s1−s2=0\red{s_1 - s_2 = 0}
二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 考虑第一种情况：假设 ν\nu 取一般值 (generic)，不是 整数或者半整数

  • 求解此时的第一解 y(1)(x)y_{(1)}(x)

  • 系数满足递推方程

    [(n+s)2−ν2]yn+yn−2=0,n=0,1,2,⋯[(n + s)^2 - \nu^2] y_n + y_{n - 2} = 0, \qquad n = 0, 1, 2, \cdots

    领头项 n=0n = 0 递推刚才已经做了，得到 indicial 方程

    s2=ν2s^2 = \nu^2

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 系数递推方程 n=1n = 1：

    [(1+s1)2−ν2]y1+y−1=0[\purple{(1 + s_1)^2 - \nu^2}] y_1 + \red{y_{-1}} = 0

    • 由约定 y−1=0\red{y_{-1} = 0}，以及 indicial root s1=νs_1 = \nu，

      (1+s1)2=(1+ν)2(1 + s_1)^2 = (1 + \nu)^2

    • 由 ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}，

      1+ν≠±ν,⇒(1+ν)2−ν2≠01 + \nu \ne \pm \nu, \qquad \Rightarrow \qquad \purple{(1 + \nu)^2 - \nu^2} \ne 0

  • 因此 y1=0⇒yodd=0y_1 = 0 \Rightarrow y_\text{odd} =0，第一解 y(1)(x)y_{(1)}(x) 展开只有偶数项，
二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 递推方程，只有偶数项，m=0,1,2,3,⋯m = \red{\cancel{0}}, 1, 2, 3, \cdots

    ynyn−2=−1(n+ν)2−ν2,y2my2m−2=−1(2m+ν)2−ν2\frac{y_n}{y_{n - 2}} = - \frac{1}{(n + \nu)^2 - \nu^2}, \qquad \frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m + \nu)^2 - \nu^2}

  • y(1)(x)y_{(1)}(x) 展开，

    y2m=y0∏ℓ=1my2ℓy2ℓ−2=y0∏ℓ=1m−1(2ℓ+ν)2−ν2,m∈Ny_{2m} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y_{2\ell}}{y_{2\ell - 2}} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{- 1}{(2\ell + \nu)^2 - \nu^2}, \quad m \in \mathbb{N}

  • y2my_{2m} 可以用 Γ\Gamma 函数化简
二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • Γ\Gamma 函数是 C\mathbb{C} 上的解析函数

    在 z=0,−1,−2,−3,…z = 0, -1, -2, -3, \dots 有单极点

  • 当 Re⁡z>0\operatorname{Re}z > 0，该函数可以表达成复积分,

    Γ(z)=∫0+∞tz−1e−tdt,Re⁡z>0\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z - 1} e^{-t} dt, \quad \operatorname{Re}z > 0

    Γ(1)=∫0+∞e−tdt=1\Gamma(1) = \int_0^{+\infty}e^{-t}dt = 1

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 递推关系：Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)

  • 利用递推关系：当 z=1,2,3,⋯z = 1, 2, 3, \cdots, Γ(z)=(z−1)!\Gamma(z) = (z - 1)!

    Γ(1)=1,Γ(2)=1,Γ(3)=2\Gamma(1) = 1, \qquad \Gamma(2) = 1, \qquad \Gamma(3) = 2

    Γ\Gamma 函数是 阶乘 的一个 解析延拓，在 额外条件 加持下，是唯一的解析延拓

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

证明递推公式 (Re⁡z>0\operatorname{Re}z > 0)

  • 利用分部积分，e−tdt=−de−te^{-t} dt = - de^{-t}，

    Γ(z+1)=∫0ztze−tdt=−tze−t∣0∞+z∫0∞tz−1e−tdt=zΓ(z)\Gamma(z + 1) = \int_0^z t^{z} e^{-t} dt = - t^z e^{-t} \bigg|_0^\infty + z \int_0^\infty t^{z - 1} e^{-t} dt = z\Gamma(z)

  • 边界项利用 Re⁡z>0\operatorname{Re}z > 0，

    lim⁡t→0tz=0,lim⁡t→+∞e−t=0\lim_{t \to 0} t^z = 0, \quad \lim_{t \to +\infty} e^{-t} = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • f(n)=(n−1)!f(n) = (n - 1)! 的解析延拓 不唯一

  • 比如 Γ(z)+sin⁡πz\Gamma(z) + \sin \pi z 具有相同的特殊值

    Γ(n)=(n−1)!,n=1,2,3,⋯ \Gamma(n) = (n - 1)!, \quad n = 1, 2, 3, \cdots

  • Γ(z)esin⁡(2mπz)\Gamma(z) e^{\sin (2m \pi z)} 也是 (n−1)!(n-1)! 的解析延拓，甚至还满足

    Γ(z+1)=zΓ(z) \Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)

  • 众多解析延拓中，Γ(z)\Gamma(z) 是唯一一个具有 对数凸性 (logarithmically convexity) 的解析延拓

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

Γ(x)\Gamma(x)

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

Γ(z)+sin⁡πz\Gamma(z) + \sin \pi z

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

Γ(z)esin⁡2πz\Gamma(z) e^{\sin 2\pi z}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 除了 Γ(n∈N)=(n−1)!\Gamma(n \in \mathbb{N}) = (n - 1)!，还有

    Γ(n+12)=(2n)!22nn!π,n=0,1,…\Gamma(n + \frac{1}{2}) = \frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}, \qquad n = 0, 1, \dots

    另外

    Γ(−n2)=−πsin⁡(n2π)Γ(1+n2),n=1,3,5,…\Gamma(- \frac{n}{2}) = \frac{-\pi}{\sin (\frac{n}{2}\pi)\Gamma(1 + \frac{n}{2})}, \qquad n = 1, 3, 5, \dots

    恒等式

    Γ(z)Γ(1−z)=πsin⁡πz\Gamma(z)\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • y2my_{2m} 的通式

    y2m= y0∏ℓ=1m−12(ℓ+ν)(2ℓ)=y0∏ℓ=1m−14ℓ(ℓ+ν)=y0(−1)mΓ(ν+1)22mm!Γ(ν+1+m)\begin{align*} y_{2m} = & \ y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{ - 1}{2(\ell + \nu)(2\ell)} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{\green{-1}}{ \purple{4} \orange{\ell} (\ell + \nu) } = y_0 \frac{ \green{(-1)^m} \orange{\Gamma(\nu + 1)}}{ \purple{2^{2m}} \orange{m!}\orange{\Gamma(\nu + 1 + m)} } \end{align*}

    利用

    Γ(z+1)Γ(z)= z⇒Γ(z+m)Γ(z)=∏ℓ=1mΓ(z+ℓ)Γ(z+ℓ−1)=∏ℓ=1m(z+ℓ−1)Γ(ν+1)Γ(ν+1+m)= ∏ℓ=1m1ν+ℓ\begin{align*} \frac{\Gamma(z + 1)}{\Gamma(z)} = & \ z \quad \Rightarrow \quad \frac{\Gamma(z + m)}{\Gamma(z)} = \prod_{\ell = 1}^m \frac{\Gamma(z + \ell)}{\Gamma(\purple{z + \ell - 1})} = \prod_{\ell = 1}^m (\purple{z + \ell - 1}) \\ \frac{\orange{\Gamma(\nu + 1)}}{\orange{\Gamma(\nu + 1 + m)}} = & \ \prod_{\ell = 1}^m \frac{1}{\nu + \ell} \end{align*}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • 正则第一解

    y(1)(x)=y0∑m=0+∞(−1)mΓ(ν+1)22mm!Γ(ν+m+1)x2m+νy_{(1)}(x) = y_0 \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m \red{\Gamma(\nu + 1)}}{ \red{2^{2m}}m!\Gamma(\nu + m + 1) } x^{2m + \nu}

  • 归一化，选择 y0y_0 为

    y0=[2νΓ(ν+1)]−1y_0 = [\orange{2^\nu}\red{\Gamma(\nu + 1)}]^{-1}

    则所得的函数为 ν\nu-阶 Bessel 函数 Jν(x)J_\nu(x)

    Jν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(ν+m+1)(x2)2m+ν,ν∈CJ_\nu(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(\nu + m + 1)} \left(\frac{x}{\orange{2}}\right)^{\red{2m} + \orange{\nu}}, \quad \nu \in \mathbb{C}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

  • ν\nu-阶 Bessel 函数 Jν(x)J_\nu(x)

    Jν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(ν+m+1)(x2)2m+ν,ν∈CJ_\nu(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(\nu + m + 1)} \left(\frac{x}{\red{2}}\right)^{2m + \nu}, \quad \nu \in \mathbb{C}

    适用于 一般 的 ν\nu：即使 ν∈12N\nu \in \frac{1}{2}\mathbb{N}，这 Jν(x)J_\nu(x) 也依然是个 合法的解,是第一解

  • Bessel 函数是一个特殊函数，可以对任意 ν∈C\nu \in \mathbb{C} 定义，可以对 ν\nu 求导

    ∂Jν(x)∂ν∣ν=1,2,3,...=Jν(x)ln⁡x2+O(xν)\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu}\bigg|_{\nu = 1, 2, 3, ...} = J_\nu(x)\ln \frac{x}{2} + O(x^\nu)

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}, s = s_1 = \nu：第一解

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}, s = s_1 = \nu： 第二解

  • 下面研究一般情况的第二解 y(2)(x)y_{(2)}(x)

  • 级数展开

    y(2)(x)=∑n=0+∞yn′(x)xn+s2,s2=−ν,y0′≠0y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y'_n (x) x^{n + s_2}, \qquad s_2 = -\nu, \qquad \green{y'_0 \ne 0}

    根据 Fuchs 定理，我们已事先预期第二解 不含 对数

  • 代入方程，与前面相同的计算得到递推关系

    [(n+s2)2−ν2]yn′+yn−2′=0,yn′yn−2′=−1(n+s2)2−ν2[(n + s_2)^2 - \nu^2]y'_n + y'_{n - 2} = 0,\qquad \frac{y'_n}{y'_{n - 2}} = - \frac{1}{(n + s_2)^2 - \nu^2}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}, s = s_1 = \nu： 第二解

  • 系数递推关系 [(n+s2)2−ν2]yn′+yn−2′=0[(n + \green{s_2})^2 - \nu^2]y'_n + y'_{n - 2} = 0

    n=0 ⇒[(−ν)2−ν2]y0′=0n=1 ⇒[(−ν+1)2−ν2]y1′=(1−2ν)y1′=0\begin{align*} n = 0 & \ \quad \Rightarrow \quad [(\green{-\nu})^2 - \nu^2]y'_0 = 0\\ n = 1 & \ \quad \Rightarrow \quad [(\green{-\nu} + 1)^2 - \nu^2]y'_1 = (1 - 2\nu)y'_1 = 0 \end{align*}

  • y1′=0\red{y'_1 = 0}，第二解 y(2)(x)y_{(2)}(x) 只有偶数项

    ν\nu 不是半整数，1−2ν≠01 - 2\nu \ne 0

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}, s = s_1 = \nu： 第二解

  • 只关心偶数项：递推公式

    y2my2m−2=−1(2m−ν)2−ν2,m=1,2,⋯\frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m - \nu)^2 - \nu^2}, \qquad m = 1, 2, \cdots

    跟第一解几乎一模一样，只要替换 ν→−ν\nu \to -\nu 即可

  • 第二解即为 y(2)′(x)=J−ν(x)y'_{(2)}(x) = J_{-\nu}(x)

    J−ν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(m−ν+1)(x2)2m−νJ_{-\nu}(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m - \nu + 1)} \left({\frac{x}{2}}\right)^{2m - \nu}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∉12N,s=s1=ν\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}, s = s_1 = \nu： 第二解

  • 当 ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}，JνJ_\nu 与 J−νJ_{-\nu} 线性独立，提供了 ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N} 时的第一解和第二解

    y(1)(x)=Jν(x),y(2)(x)=J−ν(x)y_{(1)}(x) = J_\nu(x), \qquad y_{(2)}(x) = J_{-\nu}(x)

  • 级数收敛半径无穷大

    证明：移除 x±νx^{\pm\nu} 系数，剩余幂级数用 d' Alembert 判别法

    lim⁡n→+∞∣yn+2yn∣=lim⁡n→∞1∣(n±ν)2−ν2∣=0\lim_{n \to +\infty} \bigg|\frac{y_{n + 2}}{y_n} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{|(n \pm \nu)^2 - \nu^2|} = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

ν∈12+N,s=s1=ν\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}, s = s_1 = \nu 的正则解

  • 考虑第二种情况：ν=12,32,⋯\nu = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \cdots

    s1=ν,s2=−ν,s1−s2=2ν=1,3,⋯s_1 = \nu, \qquad s_2 = - \nu, \qquad s_1 - s_2 = 2 \nu = 1, 3, \cdots

    第二解可能非对数，也可能对数

    实际计算发现 不含 对数项

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 考虑其中最简单的情况 ν=12\nu = \frac{1}{2}

  • 第一解 是非对数解 (Fuchs 定理)，

    y(1)(x)=∑n=0+∞ynxn+s1,y0≠0y_{(1)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s_1}, \qquad \green{y_0 \ne 0}

    计算过程跟一般的 ν\nu 基本一样

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 代入级数表达式，得到递推方程

    [(n+s1)2−ν2]yn+yn−2=0[(n + s_1)^2 - \nu^2]y_n + y_{n - 2} = 0

  • 领头阶 n=0n = 0，按照约定 y−2=0y_{-2} = 0

    [(0+s1)2−ν2]y0+y−2=0⇒s1=ν[(0 + s_1)^2 - \nu^2]y_0 + y_{-2} = 0 \quad \Rightarrow \quad s_1 = \nu

    另外的解 s2=−νs_2 = -\nu 实部较小，对应第二解

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 次领头阶 n=1n = 1，按照约定 y−1=0y_{-1} = 0

    [(1+s1)2−ν2]y1+y−1=0⇒y1=0[\purple{(1 + s_1)^2 - \nu^2}]y_1 + y_{-1} = 0 \quad \Rightarrow \quad \red{y_1 = 0}

    s1=ν=12s_1 = \nu = \frac{1}{2}，(1+ν)2−ν2=94−14≠0\purple{(1 + \nu)^2 - \nu^2} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} \ne 0

  • 因此 y1=0⇒yodd=0y_1 = 0 \Rightarrow y_\text{odd} = 0，第一解 y(1)(x)y_{(1)}(x) 展开只有偶数项，

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 只关注 偶数项：递推方程

    ynyn−2=−1(n+ν)2−ν2,y2my2m−2=−1(2m+ν)2−ν2\frac{y_n}{y_{n - 2}} = - \frac{1}{(n + \nu)^2 - \nu^2}, \qquad \frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m + \nu)^2 - \nu^2}

    由于 ν=12\nu = \frac{1}{2}，其实递推可以化简为

    y2my2m−2=−1(2m+ν)2−ν2=−1(2m)(2m+1)\frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m + \nu)^2 - \nu^2} = \orange{\frac{-1}{(2m)(2m + 1)}}

  • y(1)(x)y_{(1)}(x) 展开系数通项

    y2m=y0∏ℓ=1my2ℓy2ℓ−2=y0∏ℓ=1m−1(2ℓ+ν)2−ν2=y0∏ℓ=1m−14ℓ(ℓ+ν)y_{2m} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y_{2\ell}}{y_{2\ell - 2}} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{- 1}{(2\ell + \nu)^2 - \nu^2} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{- 1}{4\ell(\ell + \nu)}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 通项可以用 Γ\Gamma 函数表达

    y2m=y0∏ℓ=1m−14ℓ(ℓ+ν)=y0(−1)mΓ(ν+1)22mm!Γ(ν+m+1)y_{2m} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{- 1}{\purple{4}\orange{\ell}(\green{\ell + \nu})} = y_0 \frac{(-1)^m \green{\Gamma(\nu + 1)}}{\purple{2^{2m}}\orange{m!}\green{\Gamma(\nu + m + 1)}}

  • 第一解，

    y(1)(x)=y0∑m=0+∞(−1)mΓ(ν+1)22mm!Γ(12+m+1)x2m+νy_{(1)}(x) = y_0 \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m \Gamma(\nu + 1)}{2^{2m}m!\Gamma(\frac{1}{2} + m + 1)} x^{2m + \nu}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

  • 取特殊的 y0y_0

    y0=[2νΓ(ν+1)]−1y_0 = \Big[2^\nu \Gamma(\nu + 1)\Big]^{-1}

  • 得到 ν=12\nu = \frac{1}{2} 的第一解：12\frac{1}{2}-阶 Bessel 函数

    y(1)(x)=J12(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(12+m+1)(x2)2m+12y_{(1)}(x) = \green{J_{\frac{1}{2}}(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(\frac{1}{2} + m + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m + \frac{1}{2}}}

  • 很复杂：但其实可以化简

    y(1)(x)=J12(x)=2πxsin⁡xy_{(1)}(x) = J_{\frac{1}{2}}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

正弦函数与 Bessel 函数

  • 利用 Γ\Gamma 函数的性质

    Γ(m+32)=π22m+2(2m+2)!(m+1)!= π22m+2(2m+2)(2m+1)!(m+1)m!= π22m+1(2m+1)!m!\begin{align*} \Gamma(m + \frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m+2}} \frac{(2m+2)!}{(m+1)!} = & \ \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m + \red{2}}} \frac{\red{(2m+2)} (2m+1)!}{\red{(m+1)} m!}\\ = & \ \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2m + 1}} \frac{(2m+1)!}{m!} \end{align*}

  • 上述 Bessel 函数其实是

    Jν=12(x)=∑m=0+∞1π(−1)m22m+1(2m+1)!(x2)2m+12=2πxsin⁡xJ_{\nu = \frac{1}{2}}(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{(-1)^m \red{2^{2m + 1}}}{(2m + 1)!} \left(\frac{x}{\red{2}}\right)^{2m + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第一解

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 下面尝试求解第二解

  • 根据 Indicial roots

    s1=ν=12,s2=−ν=−12s_1 = \nu = \frac{1}{2}, \quad s_2 = - \nu = - \frac{1}{2}

    ⇒s1−s2=1\Rightarrow \qquad s_1 - s_2 = 1

  • 第二解可能是对数解，也可能是非对数解

  • 不知道是对数还是非对数，怎么办？

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 先试试 非对数解 试一下，不花钱 等发现没解再说

    y(2)(x)=∑n=0+∞yn′xn+s2y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y'_n x^{n + s_2}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 系数递推公式

    [(n+s2)2−ν2]yn′+yn−2′=0[(n + s_2)^2 - \nu^2]y'_n + y'_{n - 2} = 0

  • 领头阶 n=0n = 0，y−2′=0y'_{-2} = 0

    [(0+s2)2−ν2]y0′=0⇒s2=−12[(0 + s_2)^2 - \nu^2]y'_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad s_2 = - \frac{1}{2}

  • 次领头阶 n=1n = 1，y−1′=0y'_{-1} = 0，但是 y1′y'_1 自由

    [(1+s2)2−ν2]y1′=[(1−12)2−14]y1′=0[(1 + s_2)^2 - \nu^2]y'_1 = \Big[\red{(1 - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}} \Big]y'_1 = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • y0′≠0y'_0 \ne 0
  • y1′y'_1 也自由非零
  • 这一次 y(2)y_{(2)} 的偶数项和奇数项均可以 非零，与之前 ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N} 不一样
  • 第二解的系数递推关系：这次 nn 可奇可偶

    yn′yn−2′=−1(n+s2)2−ν2\frac{y'_{n}}{y'_{n - 2}} = - \frac{1}{(n + s_2)^2 - \nu^2}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 当前 ν=12\nu = \frac{1}{2}，s2=−12s_2 = - \frac{1}{2}，

    y2m′y2m−2′=−1(2m−12)2−1/4=−1(2m−1)(2m)\frac{y'_{2m}}{y'_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m - \frac{1}{2})^2 - 1/4} = \frac{-1}{(2m - 1)(2m)}

    y2m+1′y2m−1′=−1(2m+12)2−1/4=−1(2m)(2m+1)=y2my2m−2\frac{y'_{2m + 1}}{y'_{2m - 1}} = - \frac{1}{(2m + \frac{1}{2})^2 - 1/4} = \purple{\frac{-1}{(2m)(2m + 1)}} \purple{= \frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}}}

  • 奇数项递推与第一解 J(1)(x)J_{(1)}(x) 中 偶数项 递推 一样
二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 偶数项

    y2m′=y0′∏ℓ=1my2ℓ′y2ℓ−2′=∏ℓ=1m−1(2ℓ−1)(2ℓ)=y0′(−1)m(2m)!y'_{2m} = y'_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y'_{2\ell}}{y'_{2\ell - 2}} = \prod_{\ell = 1}^m \frac{-1}{(2\ell - 1)(2\ell)} = y'_0 \frac{(-1)^m}{(2m)!}

  • 奇数项

    y2m+1′=y1′∏ℓ=1my2ℓ+1′y2ℓ−1′=y1′∏ℓ=1m−1(2ℓ)(2ℓ+1)=y1′(−1)m(2m+1)!y'_{2m + 1} = y'_1 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y'_{2\ell + 1}}{y'_{2\ell - 1}} = y'_1 \prod_{\ell = 1}^m \frac{-1}{(2\ell)(2\ell + 1)} = y'_1 \frac{(-1)^m}{(2m + 1)!}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 代入到级数展开中，

    y(2)(x)= ∑m=0+∞y2m′x2m+s2+∑m=0+∞y2m+1′x2m+1+s2= y0′∑m=0+∞(−1)m(2m)!x2m−12+y1′∑m=0+∞(−1)m(2m+1)!x2m+12= y0′1xcos⁡(x)+y1′1xsin⁡(x)\begin{align*} y_{(2)}(x) = & \ \sum_{m = 0}^{+\infty} y'_{2m} x^{2m + s_2} + \sum_{m = 0}^{+\infty} y'_{2m + 1} x^{2m + 1 + s_2} \\ = & \ y'_0 \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m - \frac{1}{2}} + y'_1 \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(2m + 1)!} x^{2m + \frac{1}{2}} \\ = & \ y'_0 \sqrt{\frac{1}{x}} \cos(x) + \red{y'_1 \sqrt{\frac{1}{x}} \sin(x)} \end{align*}

  • y0′y'_0、y1′y'_1 均为自由参数，可以任意选择。
二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 初步结论

    y(2)(x)=y0′1xcos⁡(x)+y1′1xsin⁡(x)y_{(2)}(x) = y'_0 \sqrt{\frac{1}{x}} \cos(x) + \red{y'_1 \sqrt{\frac{1}{x}} \sin(x)}

  • 跟 Bessel 函数 Jν(x)J_\nu(x) 有什么关系？
  • 红色项 =J12(x)=J_{\frac{1}{2}}(x)
  • 第一项其实也是 Bessel 函数 J−12(x)J_{-\frac{1}{2}}(x)
二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

正弦余弦与 Bessel 函数

  • Jν(x)J_\nu(x) 作为一个特殊函数，适用于所有的 ν∈C\nu \in \mathbb{C}，包括 ν=−12\nu = - \frac{1}{2}

    Jν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(ν+m+1)(x2)2m+νJ_\nu(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(\nu + m + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m + \nu}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

正弦余弦与 Bessel 函数

  • 取 ν→−12\nu \to - \frac{1}{2}，得到

    J−1/2(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(m+1/2)(x2)2m−12=2πxcos⁡(x)J_{-1/2}(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m + 1/2)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos(x)

    其中用到

    Γ(m+12)=(2m)!22mm!π\Gamma(m + \frac{1}{2}) = \frac{(2m)!}{2^{2m}m!}\sqrt{\pi}

二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

正弦余弦与 Bessel 函数

  • 代入到级数展开中

    y(2)(x)= ∑m=0+∞y2mx2m+s2+∑m=0+∞y2m+1x2m+1+s2= y0′1xcos⁡(x)+y1′1xsin⁡(x)= y0′π2J−1/2(x)+y1′π2J1/2(x)\begin{align*} y_{(2)}(x) = & \ \sum_{m = 0}^{+\infty} y_{2m} x^{2m + s_2} + \sum_{m = 0}^{+\infty} y_{2m + 1} x^{2m + 1 + s_2} \\ = & \ y'_0 \purple{\sqrt{\frac{1}{x}} \cos(x)} + y'_1 \orange{\sqrt{\frac{1}{x}} \sin(x)} \\ = & \ y'_0 \purple{\sqrt{\frac{\pi}{2}} J_{-1/2}(x)} + y'_1 \orange{\sqrt{\frac{\pi}{2}} J_{1/2}(x)} \end{align*}

    y0′y'_0、y1′y'_1 均为自由参数，可以任意选择。
二阶线性常微分方程
Bessel

ν=12\nu = \frac{1}{2}: 第二解

  • 最终结论：ν=12\nu = \frac{1}{2} 的时候，

    y(2)(x)=y0′π2J−1/2(x)+y1′π2J1/2(x)y_{(2)}(x) = y'_0 \sqrt{\frac{\pi}{2}} J_{-1/2}(x) + y'_1 \sqrt{\frac{\pi}{2}} J_{1/2}(x)

    不妨扔掉 J1/2(x)J_{1/2}(x) 项，因为第一解已经是 J1/2(x)J_{1/2}(x) 了
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

  • 考虑 ν=32,52,⋯\nu = \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots

  • 第一解非对数 (Fuchs 说的)，y(1)(x)=Jν(x)y_{(1)}(x) = J_\nu(x)

    计算跟之前一般 ν\nu 是一样的

  • 第二解可能是对数解，也可能是非对数解

  • 最终发现：第二解 非对数，可以选择 y(2)(x)=J−ν(x)y_{(2)}(x) = J_{-\nu}(x)

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

求解第二解

  • 系数递推公式

    [(n+s2)2−ν2]yn′+yn−2′=0[(n + s_2)^2 - \nu^2]y'_n + y'_{n - 2} = 0

  • 领头阶 n=0n = 0，y−2′=0y'_{-2} = 0

    [(0+s2)2−ν2]y0′=0⇒s2=−ν[(0 + s_2)^2 - \nu^2]y'_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad s_2 = - \nu

  • 次领头阶 n=1n = 1，y−1′=0y'_{-1} = 0，这次还是 y1′=0\red{y'_1 = 0}

    [(1+s2)2−ν2]y1′=[(1−ν)2−ν2]y1′=(1−2ν)y1′=0[(1 + s_2)^2 - \nu^2]y'_1 = [(1 - \nu)^2 - \nu^2]y'_1 = (1 - 2\nu)y'_1 = 0

    因为 ν≠1/2\nu \ne 1/2。
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

  • 递推方程，只有偶数项

    y2my2m−2=−1(2m−ν)2−ν2=−14m(m−ν)\frac{y_{2m}}{y_{2m - 2}} = - \frac{1}{(2m - \nu)^2 - \nu^2} = - \frac{1}{4m(m - \nu)}

  • 通项

    y2m=y0∏ℓ=1my2ℓy2ℓ−2=y0∏ℓ=1m−14ℓ(ℓ−ν)=y0(−1)mΓ(−ν+1)22mm!Γ(−ν+m+1)y_{2m} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{y_{2\ell}}{y_{2\ell - 2}} = y_0 \prod_{\ell = 1}^m \frac{- 1}{4\ell(\ell - \nu)} = y_0 \frac{(-1)^m \Gamma(-\nu + 1)}{2^{2m}m!\Gamma(-\nu + m + 1)}

  • 第二解

    y(2)(x)=J−ν(x)y_{(2)}(x) = J_{-\nu}(x)

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

  • 对于 ν=12,32,⋯\nu = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \cdots，最后得到的线性独立解为

    y(1)=Jν(x),y(2)(x)=J−ν(x)y_{(1)} = J_{\nu}(x), \qquad y_{(2)}(x) = J_{-\nu}(x)

  • 没有对数解
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}

  • 已知 J±12(x)J_{\pm\frac{1}{2}}(x) 恰好是正弦余弦
  • 半奇数阶 Bessel 函数其实都是初等函数

    J2n+12(x)=(−1)nx2n+12π/2(1xddx)nsin⁡xxJ_{\frac{2n + 1}{2}}(x) = (-1)^n \frac{x^{\frac{2n + 1}{2}}}{\sqrt{\pi/2}} \left({\frac{1}{x}\frac{d}{dx}}\right)^n \frac{\sin x}{x}

  • 球 Bessel 函数 jν(x)≔π2xJν+12(x)\green{j_\nu(x) \coloneqq \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\nu + \frac{1}{2}}(x)}，满足 球 Bessel 方程

    y′′+2xy′+(1−ν(ν+1)x2)y=0y'' + \frac{2}{x} y' + \left(1 - \frac{\nu(\nu + 1)}{x^2}\right) y = 0

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=0\nu = 0

  • 考虑最后一组情况：ν∈N\nu \in \mathbb{N}
  • 先考虑其中 ν=0\nu = 0
  • indicial roots 为 s1=s2=0s_1 = s_2 = 0：Fuchs 说明一定存在对数解
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=0\nu = 0

  • 第一个解是非对数解，即为 y(1)(x)=J0(x)y_{(1)}(x) = J_0(x)

    结合 s1=0s_1 = 0，用递推公式 n2yn+yn−2=0n^2 y_n + y_{n - 2} = 0 推导所有系数

  • J0(x)J_0(x) 级数展开，使用 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!

    J0(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(m+1)(x2)2m=∑m=0+∞(−1)m(m!)2(x2)2mJ_0(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m + 1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m} = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(m!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=0\nu = 0

  • 第二个解只能是 对数解，可以算出结果为 Neumann 函数 Nν=0(x)N_{\nu = 0}(x)

    见下一页

    y(2)(x)=N0(x)≔−(⋯ )+2πJ0(x)ln⁡x2y_{(2)}(x) = N_0(x) \coloneqq - (\cdots) + \red{\frac{2}{\pi} J_0(x) \ln \frac{x}{2}}

    从表达式可以读出 β=2π\beta = \frac{2}{\pi}

  • ν=0\nu = 0 的 Bessel 方程的两个线性独立解为

    {J0(x),N0(x)}\{J_0(x), N_0(x)\}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=0\nu = 0

说明第二解必须含有 对数项

  • 把非对数的 y(2)(x)=∑n=0+∞yn′xn+s2y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y'_n x^{n + s_2} 代入方程，得到

    s22−ν2=s22=0⇒s2=0⇒y(2)(x)=y(1)(x)s_2^2 - \red{\nu^2} = s_2^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad s_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y_{(2)}(x) = y_{(1)}(x)

    重复了，所以第二解不能是非对数解。
  • 至于为什么一定正则对数解，那就是 Fuchs 定理的内容了。
  • 一旦知道第二解是 Fuchs 的对数解，可以把级数展开式代入方程，直接算出 N0(x)N_0(x) 的级数展开式。
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

  • 考虑 ν=1,2,3,⋯\nu = 1, 2, 3, \cdots

  • 第一解 y(1)(x)=Jν(x)y_{(1)}(x) = J_\nu(x)

    当 ν=0,1,2,...\nu = 0, 1, 2, ...

    Γ(ν+m+1)=(ν+m)!\Gamma(\nu + m + 1) = (\nu + m)!

    第一解有简化级数形式

    Jν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!(ν+m)!(x2)2m+ν,J_\nu(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{m!(\nu+m)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m + \nu},

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

  • 结论：第二解 y(2)(x)y_{(2)}(x) 必然是对数解
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

说明第二解必然是对数解。

  • 反证法： 倘若第二解是 非对数解，即 y(2)(x)=∑n=0+∞yn′xn+s2y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y'_n x^{n + s_2}
  • 代入方程，结合 y0′≠0\red{y'_0 \ne 0}，得到领头 n=0n = 0 项约束

    n=0:s22−ν2=0,⇒s2=−ν<s1\gray{n = 0}: s_2^2 - \nu^2 = 0, \quad \Rightarrow \quad s_2 = -\nu < s_1

  • 次领头 n=1n = 1 项约束：s2=−νs_2 = -\nu，

    n=1:[(1+s2)2−ν2]y1′=0⇒y1′=0⇒yodd′=0\gray{n = 1}: [(1 + s_2)^2 - \nu^2]y'_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y'_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \red{y'_\text{odd} = 0}

  • y(2)(x)y_{(2)}(x) 只含偶数项。偶项递推

    [(n+s2)2−ν2]yn′+yn−2′=0,n=even[(n + s_2)^2 - \nu^2] y'_n + y'_{n - 2} = 0, \qquad n = \text{even}

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

  • 由 s2=−νs_2 = -\nu，偶项递推关系为

    y2m′y2m−2′=−1(2m − ν)2−ν2=−12m(2m − 2ν)\frac{y'_{2m}}{y'_{{2m} - 2}} = - \frac{1}{({2m} \ \red{\boldsymbol{-}} \ \nu)^2 - \nu^2} = - \frac{1}{2m(2m \ \red{\boldsymbol{-}} \ 2\nu)}

  • 于是偶项通式为

    y2m′=y0′∏ℓ=1my2ℓ′y2ℓ−2′=y0′∏ℓ=1m−1(2ℓ)(2ℓ − 2ν)y'_{2m} = y'_0 \prod_{\ell = 1}^{m}\frac{y'_{2\ell}}{y'_{2\ell - 2}} = y'_0 \prod_{\ell = 1}^{m} \frac{-1}{(2\ell)(2\ell \ \red{\boldsymbol{-}} \ 2\nu)}

  • 但是 y2m≥2ν′=∞y'_{2m \ge 2\nu} = \infty，不可能
二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

  • 两个线性独立解由 Bessel 函数 与 Nuemann 函数 Nν(x)N_\nu(x) 共同给出

    {Jν(x),Nν(x)}\{J_\nu(x), N_\nu(x)\}

    其中第二解含有对数

    Nν(x)=2πJν(x)ln⁡x2−(⋯ )N_\nu(x) = \frac{2}{\pi} \orange{J_\nu(x)} \ln \frac{x}{2} - (\cdots)

    在求解区间边界 x=0x = 0 有 奇性，∣y(0)∣≮∞|y(0)| \not < \infty

二阶线性常微分方程
Bessel

Bessel 方程的正则解: ν=1,2,3,...\nu = 1, 2, 3, ...

第二解 Neumann 函数的级数形式为

Nν(x)= 2πJν(x)ln⁡x2−1π∑k=0ν−1(ν−k−1)!k!(x2)2k−ν −1π∑k=0+∞(−1)kk!(k+ν)![ψ(k+ν+1)+ψ(k+1)](x2)2k+ν \begin{align*} N_\nu(x) = & \ \frac{2}{\pi} J_\nu(x) \ln \frac{x}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{\nu - 1} \frac{(\nu - k - 1)!}{k!} \left({\frac{x}{2}}\right) ^{2k - \nu}\\ & \ - \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k + \nu)!} \Big[ \psi(k + \nu + 1) + \psi(k + 1) \Big] \left({\frac{x}{2}}\right)^{2k + \nu} \end{align*}

这里使用了 ψ\psi 函数，ψ(z)≔ddzln⁡Γ(z)\green{\psi(z) \coloneqq \frac{d}{dz}\ln \Gamma(z)}

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数

  • 定义 对于一般 ν∈C\nu \in\mathbb{C}，Neumann 函数

    Nν(x)≔Jν(x)cos⁡πν−J−ν(x)sin⁡πν\green{N_\nu(x) \coloneqq \frac{J_\nu(x) \cos \pi\nu - J_{- \nu}(x)}{\sin \pi \nu}}

  • 也称为 第二类 Bessel 函数，也时常被记作 Nν(x)=Yν(x)N_\nu(x) = Y_\nu(x)

    Jν(x)J_\nu(x) 则称为 第一类 Bessel 函数
    在 Mathematica 中，Jν(x)J_\nu(x) 是 BesselJ[ν,x]，Yν(x)Y_\nu(x) 是 BesselY[ν,x]

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数

Nν(x)≔Jν(x)cos⁡πν−J−ν(x)sin⁡πν \green{N_\nu(x) \coloneqq \frac{J_\nu(x) \cos \pi\nu - J_{- \nu}(x)}{\sin \pi \nu}}

  • 当 ν→0,1,2,...\nu \to 0, 1, 2, ...，表达式是 0/00/0 型不定式，应理解为取极限，得到前面讨论的 Nν∈NN_{\nu \in \mathbb{N}}，同时

    J−ν(x)=(−1)νJν(x)J_{-\nu}(x) = (-1)^\nu J_\nu(x)

  • 当 ν∈12+N\nu \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}，cos⁡πν=0\red{\cos \pi \nu = 0}，sin⁡πν=±1\sin \pi \nu = \pm 1，因此

    Nν(x)=(−1)ν+12J−ν(x)N_{\nu}(x) = (-1)^{\nu + \frac{1}{2}} J_{-\nu}(x)

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数的性质

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数的性质

说明为什么出现不定型。

  • 考虑 ν→0\nu \to 0，显然 Nν(x)N_\nu(x) 分子分母都趋于零

    Jν(x)cos⁡(πν)→J0(x),J−ν(x)→J0(x),sin⁡(πν)→0 J_\nu(x) \cos (\pi\nu) \to J_0(x), \quad J_{-\nu}(x) \to J_0(x), \quad \sin(\pi\nu) \to 0

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数的性质

说明 ν∈N\nu \in \mathbb{N} 时，J−ν(x)=(−1)νJν(x)J_{-\nu}(x) = (-1)^\nu J_{\nu}(x)

  • 考虑 ν→1,2,3,…\nu \to 1, 2, 3, \dots
  • J−ν(x)J_{-\nu}(x) 级数展开

    J−ν(x)=∑m=0+∞(−1)mm!Γ(m−ν+1)(x2)2m−νJ_{-\nu}(x) = \sum_{m = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m - \nu + 1)} \left({\frac{x}{2}}\right)^{2m - \nu}

  • 当 ν→1,2,3,…\nu \to 1, 2, 3, \dots，

    (−1)mm!Γ(m−ν+1)→m=0,1,2,…,ν−1: m−ν+1≤00\frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m - \nu + 1)} \xrightarrow{m = 0, 1, 2, \dots, \nu - 1: \ m - \nu + 1\le 0} 0

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数的性质

  • J−ν(x)J_{-\nu}(x) 里头前 ν\nu 项不贡献
  • 当宗量 >0> 0

    Γ(m−ν+1)=(m−ν)!\Gamma(m - \nu + 1) = \orange{(m - \nu)!}

  • 剩余级数在极限 ν→1,2,3,…\nu \to 1, 2, 3, \dots 下给出

    J−ν(x)= ∑m=ν+∞(−1)mm!(m−ν)!(x2)2m−ν=∑m=0+∞(−1)m+ν(m+ν)!m!(x2)2m+ν= Jν(x)(−1)ν\begin{align*} J_{-\nu}(x) = & \ \sum_{\red{\boldsymbol{m = \nu}}}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m!\orange{(m - \nu)!}} \left({\frac{x}{2}}\right)^{2m - \nu} = \sum_{\red{\boldsymbol{m = 0}}}^{+\infty} \frac{(-1)^{m + \nu}}{(m + \nu)!\orange{m!}} \left({\frac{x}{2}}\right)^{2m + \nu} \\ = & \ J_\nu(x) (-1)^\nu \end{align*}

二阶线性常微分方程
Bessel

Neumann 函数的性质

  • 给定 ν>0\nu > 0，Jν(x)J_\nu(x) 与 Nν(x)N_\nu(x) 的行为差别比较大：

    Jν(x→+0)=0,Nν(x→+0)→∞J_\nu(x \to +0) = 0, \qquad N_\nu(x \to +0) \to \infty

  • 对任意 ν∈C\nu \in \mathbb{C}：Jν(x)J_\nu(x) 与 Nν(x)N_\nu(x) 总是线性独立

    当 ν≠0,1,2,3,⋯\nu \ne 0, 1, 2, 3, \cdots，第一和第二解可以选为 Jν(x),J−ν(x)J_\nu(x), J_{-\nu}(x)，也可以选为 Jν(x)J_\nu(x) 与 Nν(x)N_\nu(x)

二阶线性常微分方程

$$ \newcommand\blue[1]{{\color[rgb]{0.20, 0.43, 0.75}{#1}}} \newcommand\red[1]{{\color[rgb]{0.839844, 0.507813, 0.488281}{#1}}} \newcommand\green[1]{{\color[rgb]{.359375, .59765625, .41015625}{#1}}} \newcommand\gray[1]{{\color[rgb]{0.5, 0.5, 0.5}{#1}}} \newcommand\purple[1]{{\color[rgb]{0.63515625, 0.49609375, 0.80859375}{#1}}} \newcommand\orange[1]{{\color[rgb]{0.85, 0.55, 0.25}{#1}}} $$

<center> ![](slides/images/legendre_animation.svg) </center>