\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}} \gdef\blue#1{{\color[rgb]{0.20, 0.43, 0.75}{#1}}} \gdef\yellow#1{{\color[rgb]{0.984375, 0.9140625, 0.62109375}{#1}}}

复数基础

课程概况

  • 这是一门 数学课：核心是数学，但是处处渗透物理思想
  • 同时也是一门 语言课：学会用复数说话，用方程描述物理规律，用特殊函数刻画物理状态与状态的演化

课程概况

  • 数学是一门独立的、有内在生命力、独特价值评价体系的学科

    数学不只是工具

    数学为物理提供工具，但数学 不仅仅 是物理的工具。

  • 数学是物理的 语言：没有数学，物理学家难以进行精确表达思想和传递信息

    普世语言

    甚至可能是整个多重宇宙中所有智慧生物的普世语言。

课程概况

  • 反过来，物理也可以为数学反哺许多新奇的思想和生成数学结构

    来自物理的反作用

    广义相对论与微分几何，散射振幅与代数几何，杨-米尔斯理论与微分拓扑，超对称与算子代数、代数簇

课程概况

  • 《数学物理方法》是众多后续课程和科研的基石

  • 电动力学、量子力学：数理方程的求解

    统计力学：复变函数、级数、积分技巧

    量子场论：复变函数、积分技巧、数理方程的求解

    广义相对论：数理方程的求解

    通信与信息技术：傅里叶级数、傅里叶变换，δ\delta 函数

  • 现代理论物理可能需要远超本课程所涵盖的内容：微分与代数几何、抽象代数结构、复杂微分方程

课程概况

  • 《数学物理方法》：主要介绍两个基本要素
    • 复数与复变函数
    • 数理方程与特殊函数 (作为数理方程的解)

课程概况

课程主页

  • 助教：张锦鹏同学
  • 平时成绩 (期中考察、课堂表现、考勤、作业情况) 40%；期末成绩 60%

本章概要

  • 回顾数的概念与历史

  • 复数

    复数、复数的表示方法、复数的性质

  • 点集基础

    内点、边界点、聚点、特殊点集

  • 解析函数

    复可导性、Cauchy-Riemann 条件、多值函数与支点

数的概念与历史

自然数

  • 自然数 (natural numbers)，N\mathbb{N}

    0,1,2,3,4,…\orange{0}, 1, 2, 3, 4, \ldots

    从零开始

  • 用于标记现实物体、事件的数量

自然数

  • 原始社会用 绳结 计数

    印加文明的记事绳结：奇普 (khipu)

自然数

  • 古埃及和巴比伦、古中国、古印度文明逐步出现 书写符号 来计数，包括阿拉伯数字

    古埃及的数字符号 (一划，马蹄，绳索，睡莲，弯曲的手指，青蛙，Heh)

自然数

  • 现代社会发展出「正」字计数法

整数

  • 整数 (integers, "whole" in Latin)，Z\mathbb{Z}

    …,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…\ldots, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,4,5 , \ldots

整数

  • 出现在一些早期文明中：古中国、古印度、古希腊

  • 比较明确地提出整数的概念：毕达哥拉斯学派、欧几里得等学者

有理数

  • 有理数 (rational numbers)，Q\mathbb{Q}

    −34,20212022,2333666,−3.1415926,4,… .- \frac{3}{4}, \quad \frac{2021}{2022}, \quad \frac{2333}{666}, \quad - 3.1415926, \quad 4 , \quad \ldots \ .

  • 古希腊和印度科学家对有理数进行研究

无理数

  • 无理数 (irrational numbers)

    e,π,2,3,…e, \qquad \pi, \qquad \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \ldots

无理数

  • 毕达哥拉斯学派的数学家 Hippasus 提出 2\sqrt{2} 是一种之前没有研究过的数：无理数。
    毕达哥拉斯认为"数是绝对的、万物皆数 (all is number)"，拒绝接受无理数的存在，对 Hippasus 处以 死刑 (推海里淹死)。

  • 公元前一世纪左右，《九章算术》记载了开方运算中出现的无理数

无理数

  • 在 16 世纪的欧洲，人们逐渐接受 负数、分数，到 18、19 世纪人们以 代数数 和 超越数 两种角度思考和研究无理数。

    代数数

    即整系数多项式的根；超越数即为 非代数数

  • 18, 19世纪数学家 Lambert、Legendre、Weierstrass、Cantor、Dedekind 等都对无理数进行深入的研究

实数

  • 实数 (real numbers), R\mathbb{R}：有理数与无理数的并集

  • 中世纪时，阿拉伯数学家提出实数的概念

  • "实 (real)"来自 17 世纪的笛卡尔

    实根与虚根

    17 世纪的数学家已经在研究代数方程根，分为实根 (real roots) 和虚根 (imaginary roots)

实数

  • 有理数和无理数密密麻麻 无缝 形成实数轴 (real line)

    拓扑

    "密密麻麻、无缝"是一种拓扑概念

实数

  • 实数及其加、乘运算满足基本代数性质：对任意 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}
    • 加法 交换 律 a+b=b+aa + b = b + a，结合 律 (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)
    • 乘法 交换 律 a⋅b=baa \cdot b = b a，结合 律 (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
    • 加乘 分配 律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
    • 加法有 单位元 0∈R0 \in \mathbb{R}：0+a=0+a=a0 + a = 0 + a = a
    • 乘法有 单位元 1∈R1 \in \mathbb{R}：1⋅a=a⋅1=a1 \cdot a = a \cdot 1 = a
    • 乘法有 零 元 00：a⋅0=0⋅a=0a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0
    • 加法有 逆元 −a- a：(−a)+a=0(-a) + a = 0
    • 当 a≠0a \ne 0，乘法有 逆元 a−1a^{-1}：a−1⋅a=1a^{-1} \cdot a = 1

复数

复数

  • 问题一：非常简单的实 (整) 系数代数方程 x2+1=0x^2 + 1 = 0 是否有解？

    为什么有的方程“有解”，有的方程“无解”

  • 问题二：是否有别的非实数的东西满足上面这些代数性质？
  • 目标：扩充实数，使得
    • A: 使得实方程 x2+1=0x^2 + 1 = 0 有解
    • B: 维持实数的代数性质

复数

  • 定义 虚数单位 (imaginary unit) ii，实现目标 A

     i2+1=0 \boxed{ \ i^2 + 1 = 0 \ }

    虚数单位

    有的文献和编程语言使用 i⁡\operatorname{i}, ι\iota, jj 或者 I 或者 1j 代替 ii

复数

  • 定义：复数 (complex numbers) 为所有形如 a+bia + bi 的物体，其中 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

    最初，ii 只是用来构建复数的 工具

复数

  • 对任意复数 z=a+biz = a + b i，定义
    • 实部 (real part) Re⁡z≔a\operatorname{Re}z \coloneqq a
    • 虚部 (imaginary part) Im⁡z≔b\operatorname{Im}z \coloneqq b
  • 全体复数组成的集合称为 复数集 (the set of all complex numbers) C\mathbb{C}

复数的例子

  • 虚部为零 的复数 a+0i∈Ca + 0 i \in \mathbb{C} (a∈Ra \in \mathbb{R})，简写 为 a≔a+0ia \coloneqq a + 0 i。

    子集关系

    实数集可以看成复数集的子集，R⊂C\mathbb{R} \subset \mathbb{C}

  • 实部为零 的复数 0+ai0 + a i (a∈Ra \in \mathbb{R}) 的数称为 纯虚 (pure imaginary) 数，简写为 aiai

复数的例子

  • 虚数单位 ii 对应 0+1i=i∈C0 + 1 i = i \in \mathbb{C}

    ii 也被看成 复数大家庭的重要成员

  • 0−1i=−i∈C0 - 1 i = - i \in \mathbb{C}

  • 纯虚数 简写 0+ai=ai∈C0 + a i = a i \in \mathbb{C}, ∀a∈R\forall a \in \mathbb{R}

复数的例子

  • 定义：对任意 z=a+biz = a + b i (a,b∈Ra, b \in \mathbb{R})，定义其 复共轭 (complex conjugate)

    zˉ=z∗=(a+bi)∗≔a−bi .\bar z = z^* = (a + bi)^* \coloneqq a - b i \ .

    读作 z bar 或者 z star。

复数的四则运算

  • 数的最大价值在于运算
  • 加法：

    (a1+b1i)+(a2+b2i)≔(a1+a2)+(b1+b2)i(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) \coloneqq (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i

  • 减法：

    (a1+b1i)−(a2+b2i)≔(a1−a2)+(b1−b2)i(a_1 + b_1 i) - (a_2 + b_2 i) \coloneqq (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i

复数的四则运算

  • 乘法：

    (a1+b1i)⋅(a2+b2i)≔(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i .(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_2 i) \coloneqq (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \ .

    减号

    注意结果的实部有个 减号

  • 除法：

    a1+b1ia2+b2i≔a1a2+b1b2a22+b22+−a1b2+a2b1a22+b22i .\frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} \coloneqq \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{- a_1 b_2 + a_2 b_1}{a_2^2 + b_2^2} i \ .

复数的四则运算：例子

  • 考虑两个 虚部为零 的复数 za≔a+0iz_a \coloneqq a + 0 i，zb≔b+0iz_b \coloneqq b + 0 i，其中 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

    za+zb=(a+b)+(0+0)i=a+b∈R .z_a + z_b = (a + b) + (0 + 0) i = a + b \in \mathbb{R} \ .

    实数与复数的加法

    由此可见，虚部为零的复数加法跟实数加法是一模一样的。

复数的四则运算：例子

  • 考虑一个虚部为零的复数 (其实就是 实数) za≔a+0iz_a \coloneqq a + 0 i，一个 纯虚数 zb≔0+biz_b \coloneqq 0 + bi，则它们的和

    za+zb=(a+0)+(0+b)i=a+bi∈C .z_a + z_b = (a + 0) + (0 + b)i = a + b i \in \mathbb{C}\ .

    复数的分解

    任何一个复数都可以分解为一个 实数 和一个 纯虚数 的和。

复数的四则运算：例子

  • 考虑 b+0ib + 0i，则

    (b+0i)(0+i)=bi,(0+i)(b+0i)=0+bi(b + 0i)(0 + i) = b i, \qquad (0 + i)(b + 0i) = 0 + bi

    即

    (b+0i)(0+i)=(0+i)(b+0i)=0+bi(b + 0i)(0 + i) = (0 + i)(b + 0i) = 0 + bi

    时常简写为

    bi=ibb i = i b

    复数的写法 a+bi=a+iba + bi = a + ib

复数的代数运算

  • 理解这些四则运算有两种思路。
  • (1) 把这些 具体的式子 作为加减乘除运算的 定义，可以验证它们满足之前列举的所有性质 (交换律、结合律、分配律等)
  • (2) 把运算应满足的 规律 (交换律、结合律等) 作为出发点、定义，则上面这些具体的运算规则可以被推导出来，从而获得复数及其运算。

复数的代数运算

定义对象的新思路

"It is not who I am underneath, but what I do，that defines me."

——著名慈善家、企业家 Bruce Wayne

复数的代数运算

  • 复数乘法定义实际上就是 分配律、交换律、结合律 的结果：把 a1,2+b1,2ia_{1,2} + b_{1,2} i 均看成是 实数 加 纯虚数，

    (a1+b1i)(a2+b2i)= a1a2+b1ib2i+a1b2i+b1ia2= a1a2+b1b2i2+(a1b2+b1a2)i= (a1a2 − b1b2)+(a1b2+b1a2)i\begin{align*} (a_1 + b_1 i) (a_2 + b_2 i) =&\ a_1 a_2 + b_1 i b_2 i + a_1 b_2 i + b_1 i a_2 \\ =&\ a_1 a_2 + b_1 b_2 \orange{i^2} + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i \\ =&\ (a_1 a_2 \ \orange{-} \ b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i \end{align*}

复数的代数运算

  • 复数的除法就是 分配律、交换律、结合律、单位元 的结果：设 a1,2+b1,2ia_{1,2} + b_{1,2}i 非零

    a1+b1ia2+b2i= a1+b1ia2+b2i⋅a2−b2ia2−b2i= (a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)= (a1a2+b1b2)+(−a1b2+b1a2)ia22+b22= a1a2+b1b2a22+b22+−a1b2+b1a2a22+b22i\begin{align*} \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = & \ \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} \cdot \frac{a_2 - b_2 i}{a_2 - b_2 i}\\ = & \ \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} \\ = & \ \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (- a_1 b_2 + b_1 a_2 )i}{a_2^2 + b_2^2} \\ = & \ \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{- a_1 b_2 + b_1 a_2}{a_2^2 + b_2^2} i \end{align*}

复数的代数运算

  • zz 的模方 (modular-square)

    zzˉ=zz∗=(x+iy)(x−iy)=x2+y2 .z \bar z = z z^* = (x + i y)(x - i y) = x^2 + y^2 \ .

    做不可能的事

    x2+y2x^2 + y^2 可以在复数范围内作因式分解：在实数范围内 不可能 的事情，在复数范围内称为 可能，甚至必然

复数的代数运算

  • 幂次运算：对于 n=0,1,2,3,…n = 0, 1,2, 3, \dots，

    zn=z⋅z⋅...⋅z .z^n = z \cdot z \cdot ... \cdot z \ .

  • 常用结果：i2k=(−1)ki^{2k} = (-1)^k，i4k=1i^{4k} = 1, k∈Nk \in \mathbb{N}

复数的表示

  • 代数式表示/定义：对任意 z∈Cz \in \mathbb{C}，存在 x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} 使得

    z=x+yi .z = x + y i \ .

复数的表示

  • 矢量表示：对任意 z=x+yi∈Cz = x + yi \in \mathbb{C}，可以在 R2\mathbb{R}^2 上找到一个点/矢量 (x,y)(x,y) 对应

    允许矢量平移，矢量加减法 == 复数加减法

复数的表示

  • 三角表示法：用极坐标来标记矢量表示法中的 x,yx,y，

    x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ⇒z=rcos⁡θ+irsin⁡θ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \qquad \Rightarrow z = r \cos \theta + i r \sin \theta = r(\cos\theta + i \sin \theta)

    角度 θ∈R\theta \in \mathbb{R} 称为 辐角 arg⁡z\operatorname{arg} z，长度 rr 称为 模 (modulus) ∣z∣|z|，也称为绝对值。

    r=∣z∣=x2+y2r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}

    模的平方

    就是模方：∣z∣2=zz∗=x2+y2=r2|z|^2 = zz^* = x^2 + y^2 = r^2

复数的表示

复数的表示

  • 指数表示法：强行 定义 eiθ≔cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} \coloneqq \cos \theta + i \sin \theta，从而

    z=reiθ=rexp⁡[iθ]z = r e^{i \theta} = r \exp \left[i \theta\right]

复数的表示

纯虚数的指数的理解

注意 θ\theta 是 实数，iθi \theta 是 纯虚数。iθi\theta 的指数做 形式 (formal) Taylor 展开，

eiθ=∑n=0+∞1n!(iθ)n= ∑k=0+∞1(2k)!(iθ)2k+∑k=0+∞1(2k+1)!(iθ)2k+1= ∑k=0+∞1(2k)!i2kθ2k+∑k=0+∞1(2k+1)!i2k+1θ2k+1= ∑k=0+∞1(2k)!(−1)kθ2k+i∑k=0+∞1(2k+1)!(−1)kθ2k+1= cos⁡θ+isin⁡θ\begin{align*} e^{i \theta} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{n!} (i \theta)^n = & \ \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k)!} (i \theta)^{2k} + \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)!} (i \theta)^{2k + 1} \\ = & \ \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k)!} i^{2k} \theta^{2k} + \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)!} i^{2k + 1} \theta^{2k + 1} \\ = & \ \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k)!} (-1)^k \theta^{2k} + i \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)!} (-1)^k \theta^{2k + 1} \\ = & \ \cos \theta + i \sin \theta \end{align*}

复数的表示：辐角多值性

  • 三角表示和指数表示中都涉及 辐角。
  • 给定一个非零 zz，其辐角 不唯一。对任意 整数 kk，都有

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r(cos⁡(θ+2πk)+isin⁡(θ+2πk))z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = r (\cos (\theta + 2\pi k) + i \sin (\theta + 2\pi k))

    因此，指数表达式也 不唯一，

    z=reiθ=rei(θ+2πk)z = re^{i \theta} = r e^{i (\theta + 2\pi k)}

  • 有时候，人们会 人为限制 θ\theta 的一个取值范围，如 θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi)，称为一个主值分支

复数的表示：例子

  • z=3+4iz = 3 + 4 i，则利用 r=32+42=5r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, tan⁡θ=4/3\tan \theta = 4/3

    z=5cos⁡(arctan⁡43)+5sin⁡(arctan⁡43)i=5exp⁡(iarctan⁡43)z = 5 \cos \left(\operatorname{arctan}\frac{4}{3}\right) + 5 \sin \left(\operatorname{arctan}\frac{4}{3}\right) i = 5 \exp \left(i \arctan \frac{4}{3}\right)

复数的表示：例子

  • z=0+3iz = 0 + 3i，则

    z=3cos⁡π2+3isin⁡π2=3eiπ2z = 3 \cos \frac{\pi}{2} + 3 i \sin \frac{\pi}{2} = 3 e^{i \frac{\pi}{2}}

复数的表示：特殊值

  • −1-1 的四种写法

    −1=−1+0i=cos⁡π+isin⁡π=eπi-1 = - 1 + 0 i = \cos \pi + i \sin \pi = e^{\pi i}

    移项：欧拉公式

    eπi+1=0e^{\pi i} + 1 = 0

  • +1+1

    e2πi=cos⁡2π+isin⁡2π=1+0i=1e^{2\pi i} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1 + 0 i = 1

复数的表示：特殊值

  • 虚数单位 ii，

    i=0+i=cos⁡π2+sin⁡π2i=eiπ2i = 0 + i = \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} i = e^{ i \frac{\pi}{2}}

  • 负虚数单位 −i- i，

    −i=0−i=cos⁡(−π2)+sin⁡(−π2)i=e−iπ2- i = 0 - i = \cos ( - \frac{\pi}{2}) + \sin (-\frac{\pi}{2}) i = e^{ - i \frac{\pi}{2}}

指数表示下的乘除运算

  • 在代数式表示法中，乘法和除法的表达式都非常复杂。

  • 定理：考虑 z1=r1eiθ1z_1 = r_1 e^{i \theta_1}，z2=r2eiθ2z_2 = r_2 e^{i \theta_2}。则

    z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),z1z2=r1r2ei(θ1−θ2) .z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)} \ .

    证明

    利用三角表示法：z1,2=r1(cos⁡θ1,2+isin⁡θ1,2)z_{1,2} = r_1 (\cos\theta_{1,2} + i \sin \theta_{1,2})，得到

    z1z2= r1r2(cos⁡θ1+isin⁡θ1)(cos⁡θ2+isin⁡θ2)= r1r2(cos⁡θ1cos⁡θ2−sin⁡θ1sin⁡θ2+isin⁡θ1cos⁡θ2+icos⁡θ1sin⁡θ2)\begin{align*} z_1 z_2 = & \ r_1 r_2 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\ = & \ r_1 r_2 (\purple{\cos \theta_1 \cos\theta_2 - \sin \theta_1 \sin\theta_2 + i \sin \theta_1 \cos \theta_2 + i \cos \theta_1 \sin \theta_2}) \end{align*}

指数表示下的乘除运算

证明

利用三角函数的积化和差，得到

z1z2= r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]= r1r2ei(θ1+θ2)\begin{align*} z_1 z_2 = & \ r_1 r_2 [\purple{\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2)}]\\ = &\ r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)} \end{align*}

指数表示下的乘除运算

证明

对于除法，

z1z2= r1cos⁡θ1+ir1sin⁡θ1r2cos⁡θ2+ir2sin⁡θ2= r1r2cos⁡θ1cos⁡θ2+r1r2sin⁡θ1sin⁡θ2r22cos⁡2θ2+r22sin⁡2θ2 +−r1r2cos⁡θ1sin⁡θ2+r1r2sin⁡θ1cos⁡θ2r22cos⁡2θ2+r22sin⁡2θ2i= r1r2cos⁡(θ1−θ2)r22+r1r2sin⁡(θ1−θ2)r22i=r1r2ei(θ1−θ2)\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} = & \ \frac{r_1 \cos \theta_1 + i r_1 \sin \theta_1}{r_2 \cos \theta_2 + i r_2 \sin \theta_2} \\ = & \ \frac{r_1 r_2 \cos\theta_1 \cos \theta_2 + r_1 r_2 \sin\theta_1 \sin \theta_2}{r_2^2\cos^2\theta_2 + r_2^2\sin^2\theta_2} \\ & \ + \frac{- r_1 r_2 \cos\theta_1 \sin \theta_2 + r_1 r_2 \sin\theta_1 \cos \theta_2}{r_2^2\cos^2\theta_2 + r_2^2\sin^2\theta_2} i\\ = & \ \frac{r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}{r_2^2} + \frac{r_1 r_2 \sin (\theta_1 - \theta_2)}{r_2^2} i = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)} \end{align*}

总结

  • 三种常用表示：代数表示、三角表示、指数表示

    z=x+iy=rcos⁡θ+irsin⁡θ=reiθ .z = x + i y = r \cos\theta + i r \sin \theta = r e^{i \theta} \ .

  • 模长 ∣z∣|z|

    ∣z∣≔r=(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ)2=x2+y2=zzˉ|z| \coloneqq r = \sqrt{(r \cos\theta)^2 + (r \sin \theta)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{ z \bar z}

    模方 (modulus squared)

    ∣z∣2≔zzˉ .|z|^2 \coloneqq z \bar z \ .

总结

  • ∣−z∣=∣z∣| - z| = |z|
  • ∣eiθ∣=1|e^{i \theta}| = 1，其中 θ∈R\theta \in \mathbb{R}
  • ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|

代数基本定理

  • 代数基本定理：任何一个 nn-次复系数多项式都有 nn 个复数根

    重根

    这 nn 个复数根可能有 重复。

    因式分解

    nn-次复系数多项式 anxn+an−1zn−1+...+a0\purple{a_n} x^n + a_{n - 1}z^{n - 1} + ... + a_0 一定可以分解为

    P(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)P(z) = \purple{a_n}(z - z_1) (z - z_2) \cdots (z - z_n)

    其中 ziz_i 为根。

代数基本定理

  • 韦达定理：对任意复多项式 P(z)=anzn+an−1zn−1+⋯+a0P(z) = a_n z^n + a_{n - 1}z^{n - 1} + \cdots + a_0 的根 z1,⋯ ,znz_1, \cdots, z_n 满足

    (−1)nan∏k=1nzk=a0,an∑k=1nzk=−an−1(-1)^n a_n \prod_{k = 1}^{n}z_k = a_0, \qquad a_n\sum_{k = 1}^{n}z_k = - a_{n - 1}

复平面

  • 复数的几何表示法、三角表示法等指定了一个特殊的点：0∈C0 \in \mathbb{C}

    复数加减、数乘、平移 == 矢量加减、数乘、平移

  • 消除原点特殊性，平面上点点平等：仿射复平面 (affine plane)

    可以讨论点间位移

无穷远点

  • R\mathbb{R} 与无穷远点

无穷远点

R∪∞\mathbb{R} \cup \infty 实际上就是圆圈，也称为 一维球面 (sphere) S1S^1

无穷远点

  • C\mathbb{C} 与无穷远点 ∞\infty 合并为 扩充的复平面
  • C∪{∞}\mathbb{C} \cup \{\infty\} 实际上就是二维球面 S2S^2。

无穷远点

点集基础

点集基础

  • 复变函数的定义域是 C\mathbb{C} 中的点集

  • 需要清楚 C\mathbb{C} 中点集的性质

  • 常用符号

    • s.t. = 「使得」
    • ∀\forall (Any) = 「任意」
    • ∃\exists (Exists) = 「存在」
    • ∈\in = 「属于」，⊂\subset = 是子集
    • ϵ\epsilon = 「希腊字母 epsilon」

邻域

  • 定义：以 z0z_0 为中心，半径为 rr 的 邻域 (neighborhood)

    N(z0,r)≔{z∈C ∣ ∣z−z0∣<r}N(z_0, r) \coloneqq \{z \in \mathbb{C} \ | \ |z - z_0| < r\}

    要求 r>0r>0 才是非空集合

邻域

  • 直观上是以 z0z_0 为中心 rr 为半径的 开 圆盘

  • 也可以用其他 多边形 的 内部 作为定义：△\triangle, ■\blacksquare, ...

  • 是下面所有讨论的基础

点与点集的相对关系：内点

  • 下面讨论点与点集的 相对关系

点与点集的相对关系：内点

  • 定义：考虑集合 S⊂CS \subset \mathbb{C}，以及点 z0∈Cz_0 \in \mathbb{C}。倘若 存在 ϵ>0\epsilon > 0 使得 N(z0,ϵ)⊂SN(z_0, \epsilon) \subset S，则称 z0z_0 为 SS 的一个 内点

点与点集的相对关系：内点

  • 定义：考虑集合 S⊂CS \subset \mathbb{C}，以及点 z0∈Cz_0 \in \mathbb{C}。倘若 存在 ϵ>0\epsilon > 0 使得 N(z0,ϵ)⊂SN(z_0, \epsilon) \subset S，则称 z0z_0 为 SS 的一个 内点

    z0∈Sz_0 \in S

    由于 z0z_0 必然属于 N(z0,ϵ)N(z_0, \epsilon)，因此，当 z0z_0 是 SS 的内点时，必然有 z0∈Sz_0 \in S。

    包含与包围

    内点大致刻画一个点被一个点集 包含 且 紧密包围

点与点集的相对关系：内点

内点例子

若 z∈N(z0,r)z \in N(z_0, r)，则 zz 是 N(z0,r)N(z_0, r) 的内点。

内点判断

考虑点集 S≔{z∈C ∣ ∣z∣≤1}S \coloneqq \{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| \le 1\}。考虑

(1) z0=0.9999…9z_0 = 0.9999 \ldots 9 (有限个 9) 是

(2) z0=0.9999…z_0 = 0.9999 \ldots (无限个 9) 非

点与点集的相对关系：内点

内点判断

考虑点集 S≔{z∈C ∣ 0<∣z∣<1}S \coloneqq \{z \in \mathbb{C} \ | \ 0 < |z| < 1\}。考虑

(1) z0=0z_0 = 0 否    ~~~ (2) z0=1z_0 = 1 否    ~~~ (3) z0=eπi/3z_0 = e^{\pi i /3} 否

点与点集的相对关系：边界点

  • 定义：考虑点集 S⊂CS \subset \mathbb{C}，z0∈Cz_0 \in \mathbb{C}。若对 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0，均有

    N(z0,ϵ)∩S≠∅ (有交) ,N(z0,ϵ)⊄S (不被包围) ,N(z_0, \epsilon) \cap S \ne \emptyset \ (\text{有交}) \ , \qquad N(z_0, \epsilon) \not\subset S \ (\text{不被包围}) \ ,

    则称 z0z_0 为 SS 的 边界点。

  • 定义：一个点集 SS 的全体边界点所构成的集合称为 SS 的 边界，记作 ∂S\partial S。

点与点集的相对关系：边界点

边界点的从属关系

若 z0z_0 是 SS 的边界点，则 z0z_0 可能 属于 也可能 不属于 SS。这跟 内点 是 不一样 的。

点与点集的相对关系：边界点

形象理解

点集 SS 的边界点 z0z_0 与点集 SS 若即若离：z0z_0

点与点集的相对关系：边界点

边界点例子

考虑点集 S≔{z∈C ∣ 0<∣z∣<1}S \coloneqq \{z \in \mathbb{C} \ | \ 0 < |z| < 1\}。原点 z=0z = 0 是 SS 的边界点，不是 内点

点与点集的相对关系：边界点

曲线的边界

考虑一条连续的曲线 C⊂CC \subset \mathbb{C}，则其边界是其自身 ∂C=C\partial C = C。

点与点集的相对关系：边界点

孤立点的边界

任何一个点 zz 可以构成一个点集 S={z}S = \{z\}。其边界为 ∂S={z}\partial S = \{z\}。

点与点集的相对关系：例子

  • 设 S≔{∣z∣≤1}S \coloneqq \{|z| \le 1\}。
    • (1) 则 z=1z = 1 是 边界点
    • (2) 则 z=0z = 0 是 内点
  • 设 S≔{∣z∣≤1}S \coloneqq \{|z| \le 1\}。则 ∂S=\partial S =

    {∣z∣=1},or{eiθ ∣ θ∈R}\{|z| = 1\}, \qquad \text{or} \qquad \{e^{i \theta} \ | \ \theta \in \mathbb{R}\}

  • 设 S≔{∣z∣<1}S \coloneqq \{|z| < 1\}。则 ∂S=\partial S =

    {∣z∣=1},or{eiθ ∣ θ∈R}\{|z| = 1\}, \qquad \text{or} \qquad \{e^{i \theta} \ | \ \theta \in \mathbb{R}\}

点与点集的相对关系：聚点

  • 定义：设 S⊂CS \subset \mathbb{C}，z0∈Cz_0 \in \mathbb{C}。若对 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0 始终有

    相交非空 N(z0,ϵ)∩S≠∅N(z0,ϵ)∩S 包含 「z0 以外 的点」\text{相交非空} ~ N(z_0, \epsilon) \cap S \ne \emptyset \\ N(z_0, \epsilon) \cap S \ \text{包含 「$z_0$ \red{以外} 的点」}

    则称 z0z_0 为 SS 的一个 聚点。

    从属关系

    聚点 z0z_0 可能 属于 也可能 不属于 SS。

点与点集的相对关系：聚点

无限逼近

说明 z0z_0 能够被 SS 的点 无限逼近。

点与点集的相对关系：聚点

无限逼近

说明 z0z_0 能够被 SS 的点 无限逼近，在 z0z_0 任意近的地方都有 SS 的人 (下图的 zz)。

点与点集的相对关系：例子

  • 设 z∈N(0,1)z \in N(0,1)，z≠0z \ne 0。

    • (1) zz 是 N(0,1)N(0,1) 的什么点？内点，也是聚点
    • (2) 设 S≔{zn ∣ n∈N}S \coloneqq \{z^n \ | \ n \in \mathbb{N}\}。则原点 z=0z = 0 是 SS 的什么点？聚点

    证明

    由题目知道 0<∣z∣<10 < |z| < 1。因此随着 n→+∞n \to +\infty，∣z∣n→0|z|^n \to 0。

点与点集的相对关系：例子

  • 设 z∈N(0,1)z \in N(0,1)，z≠0z \ne 0。

    • (2) 设 S≔{zn ∣ n∈N}S \coloneqq \{z^n \ | \ n \in \mathbb{N}\}。则原点 z=0z = 0 是 SS 的聚点
    • 换言之，对 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0，可以选择一个足够大的 nn 使得 ∣zn∣=∣z∣n<ϵ|z^n| = |z|^n < \epsilon，

      ⇒n>ln⁡ϵln⁡∣z∣\Rightarrow n > \frac{\ln \epsilon}{\ln |z|}

    • 于是 ∣zn−0∣<ϵ|z^n - 0| < \epsilon，zn∈N(0,ϵ)z^n \in N(0, \epsilon)，因此 N(0,ϵ)∩SN(0, \epsilon) \cap S 非空。且该交集必然 有 00 外的点 (比如 znz^n)。得证。

点与点集的相对关系：例子

  • 设 z∈∂N(0,1)z \in \partial N(0, 1)。考虑 S={1nzn ∣ n∈N}S = \{\frac{1}{n}z^n \ | \ n \in \mathbb{N}\}。原点是否 SS 的聚点？是
  • 设 z∈∂N(0,1)z \in \partial N(0,1)。考虑 S={zn ∣ n∈N}S = \{z^n \ | \ n \in \mathbb{N}\}。原点是否 SS 的聚点？非
  • 设 z∈∂N(0,12)z \in \partial N(0, \frac{1}{2})。考虑 S={zn ∣ n∈N}S = \{z^n \ | \ n \in \mathbb{N}\}。原点是否 SS 的聚点？是
  • 考虑点集 S={1neπin ∣ n∈N}S = \{\frac{1}{n}e^{\frac{\pi i}{n}} \ | \ n \in \mathbb{N}\}。则原点是否 SS 的聚点？ 是

点与点集的相对关系：总结

  • 内点、边界点、聚点均刻画点与点集的相对关系

  • 三种点的关系如下

点与点集的相对关系：例子

  • 下面 A, B, C, D 是点集 SS 的什么点？

特殊点集

  • 定义：设 S⊂CS\subset \mathbb{C}，若 ∀z∈S\forall z \in S 均为 SS 的 内点，则称 SS 为 开集

    开集的意义

    开集用于刻画、标记 邻近关系。

特殊点集

  • 邻域是特殊的开集
  • 开集的具体定义依赖 邻域 本身：倘若邻域使用别的形状定义，则开集的具体概念也会跟着改变
  • 开集公理 ⇒\Rightarrow 拓扑结构
    • 有限或无限个开集的 并 还是 开集
    • 有限个开集的 交 还是 开集
    • C\mathbb{C} 与 ∅\emptyset 是 开集

特殊点集

  • 存在其他满足开集公理的"开集概念" (拓扑结构)

    离散拓扑

    当前的开集概念：任何一个点 zz 的任意邻域中都有无数个邻居——非孤立性。

    离散拓扑：任何一个点 zz 都存在一个最小邻域，该邻域只包含它自己——孤立性

特殊点集

  • 定义：若开集 UU 内任何两点都可以用一条完全属于该集合的曲线连接，则称该开集 UU 是 连通 的。

  • 定义：非空、连通 的开集称为 区域 (domain)

特殊点集

  • 定义：区域 DD 及其边界 ∂D\partial D 的并集称为一个 闭域 或 DD 的闭包，记作 Dˉ\bar D。

  • 定义：若区域 DD 内任何简单闭曲线的内部均属于 DD，则称 DD 是 单连通 的，否则称为 复连通

解析函数

函数、极限、连续、导数、解析

复变函数定义

  • 设 S⊂CS \subset \mathbb{C}。若对 ∀z∈S\forall z \in S，按照某个规则 ff 有唯一的复数 ww 与之对应，则 ff 定义了一个单值复变函数，定义域为 SS。

  • 设 S⊂CS \subset \mathbb{C}。若对 ∀z∈S\forall z \in S，按照某个规则 ff 有一个或多个的复数 ww 与之对应，则 ff 定义了一个多值复变函数，定义域为 SS。

  • 不管是单值还是多值复变函数，都简记为

    w=f(z)orf(z)w = f(z) \qquad \text{or} \qquad f(z)

复变函数定义

  • 记 w=u+ivw = u + i v，z=x+iyz = x + i y，则

    w=f(z)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+iv(x,y)w = f(z) = u(z) + i v(z) = u(x, y) + i v(x, y)

    换言之，一个复变函数相当于两个二元实函数，分别称为 ff 的实部 Re⁡f\operatorname{Re} f 和虚部 Im⁡f\operatorname{Im} f。

极限

  • 定义：设 w=f(z)w = f(z) 的定义域是 SS，设某点 z0z_0 为 SS 的聚点。

    若能够找到某个 w0∈Cw_0 \in \mathbb{C}，使得任选 ϵ>0\epsilon > 0，都 ∃δ>0\exists \delta > 0，对 ∀z∈(N(z0,δ)∩S)−{z0}\forall z \in (N(z_0, \delta) \cap S) - \{z_0\} 总是满足 ∣f(z)−w0∣<ϵ|f(z) - w_0| < \epsilon，则称 ff 在 z0z_0 处的 极限存在，并称 w0w_0 是 f(z)f(z) 在 z0z_0 处的 极限，记作 w0=lim⁡z→z0f(z)w_0 = \lim_{z \to z_0} f(z)。

极限

翻译翻译

极限存在就是，对于甲方给出的 任意小精度要求 ϵ\epsilon，我们总能在定义域 SS 中找到一个足够小的距离 δ\delta，使得距离以内的所有函数值与目标值 w0w_0 的差别小于精度要求 ϵ\epsilon。

极限

什么™叫极限

极限存在就是，定义域中的点 zz 从所有可能方向逼近聚点 z0z_0 时，f(z)f(z) 均趋于相同值 w0w_0

极限

ff 在 z0z_0 可以没有定义

根据设定 z0z_0 是 SS 的聚点，而 SS 的聚点可以属于也可能 不属于 SS。因此 z0z_0 可能不属于 ff 的定义域，ff 在 z0z_0 处可能 无定义

zz 的地位

条件 ∀z∈(N(z0,δ)∩S)−{z0}\forall z \in (N(z_0, \delta) \cap S) - \{z_0\} 强调两件事：

  • zz 应该在 ff 的定义域中，且应该与 z0z_0 靠得很近 (距离小于 δ\delta)
  • z≠z0z \ne z_0

极限

逼近的方向

若 SS 可以从多个方向逼近 z0z_0，则极限存在要求 ff 在所有逼近方向都存在且趋于同一个值 w0w_0：四面八方极限存在，且四面八方极限相等。这比一元函数的极限存在要苛刻得多。

连续性

  • 定义：设复变函数 ff 的定义域是 SS。考虑 z0∈Sz_0\in S，且是 SS 的聚点。

    若

    lim⁡z→z0f(z)\lim_{z \to z_0}f(z) 存在，且 lim⁡z→z0f(z) =f(z0)\lim_{z \to z_0}f(z) \ \green{= f(z_0)}

    则称 ff 在 z0z_0 处 连续 (continuous)。

连续性

f(z0)f(z_0) 有定义

由设定 z0∈Sz_0 \in S，ff 在 z0z_0 是有定义的。连续性要求函数值 f(z0)f(z_0) 恰好等于 f(z)f(z) 趋于 z0z_0 的极限。

  • 定义：若 ff 在 SS 中每一点都连续，则称 ff 在 SS 上连续。

可导性

  • 定义：设 ff 定义在区域 DD 上。z0∈Dz_0 \in D。若

    lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz\displaystyle\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} 存在且有限

    则称 ff 在 z0z_0 处 可导 或 可微，而该极限称为 ff 在 z0z_0 处的 导数或者 微商，记作

    [f′(z)]z=z0,f′(z0),df(z)dz∣z=z0,ddz∣z=z0f(z)[f'(z)]_{z = z_0}, \qquad f'(z_0), \qquad \frac{df(z)}{dz}\bigg|_{z = z_0}, \qquad \frac{d}{dz}\bigg|_{z = z_0}f(z)

    区域

    定义域是个区域，因此当 ∣Δz∣|\Delta z| 足够小的话可以保证 z+Δz∈Dz + \Delta z \in D，从而 f(z+Δz)f(z + \Delta z) 有定义。

解析函数

  • 定义：倘若函数 ff 在 区域 DD 内处处可导，则称 ff 是 DD 上的 解析 (analytic) 函数，或者 全纯 (holomorphic) 函数，或者称 ff 在 DD 内 解析。

    解析

    严格说来，解析这个形容词是针对一个区域的概念，是对函数在一定范围内的行为进行约束，并非一点处的概念，没有「在一点处解析」的说法。

    但也经常会偷懒说「在一点处解析」，但实际意思是指在点的某个邻域内解析。

可导性：例

  • f(z)=znf(z) = z^n，n∈Nn \in \mathbb{N}，则可以直接计算得到

    lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz=nzn−1\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = n z^{n - 1}

    因此这个 ff 在 C\mathbb{C} 上处处可导。

可导性：例

  • f(z)=zˉf(z) = \bar{z}。因此 f(z=x+iy)=x−iyf(z = x + i y) = x - i y

    lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz=lim⁡Δx→0Δy→0x+Δx−i(y+Δy)−(x−iy)Δx+iΔy\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{x + \Delta x - i (y + \Delta y) - (x - i y)}{\Delta x + i \Delta y}

可导性：例

  • 若 Δz\Delta z 沿着实轴逼近 00，则 Δy=0\Delta y = 0，

    lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz=lim⁡Δx→0Δy→0ΔxΔx=1\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta x }{\Delta x} = 1

  • 若 Δz\Delta z 沿着虚轴逼近 00，则 Δx=0\Delta x = 0，

    lim⁡Δz→0f(z+Δz)−f(z)Δz=lim⁡Δx→0Δy→0−iΔyiΔy=−1\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{ - i \Delta y }{i \Delta y} = -1

  • 极限不存在，因此 f(z)≔zˉf(z) \coloneqq \bar z 处处不可导。

解析函数

  • 定义：倘若 ff 在 z0z_0 处 不解析 (包括没有定义)，但是 ff 在 z0z_0 的任意邻域内都有解析点，则称 z0z_0 为 ff 的奇点 (singularity)。

    奇点的含义

    不同领域对奇点的定义和理解会有所不同。这里是复分析中比较常用的一种理解。

求导法则

  • 求导法则
    • 线性性：[f(z)+g(z)]′=f′(z)+g′(z)[f(z) + g(z)]' = f'(z) + g'(z)
    • 莱布尼兹 (Leibniz) 律：[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)[f(z)g(z)]' = f'(z)g(z) + f(z) g'(z)
    • 链式法则 (chain rule)：f(g(z))′=dfdgdgdzf(g(z))' = \frac{df}{dg} \frac{dg}{dz}
  • 常见复解析函数导数与实光滑函数的导数在形式上是一样的。

Cauchy-Riemann 条件

  • 复可导性 是很强的条件，比之前学的实变可导性要强得多：要求极限与 Δz→0\Delta z \to 0 的方向无关

Cauchy-Riemann 条件

  • 求导：f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)f(z = x + i y) = u(x, y) + i v(x, y)

    f′(z)=lim⁡Δx→0Δy→0[ u(x+Δx,y+Δy)+iv(x+Δx,y+Δy)Δx+iΔy −u(x,y)+iv(x,y)Δx+iΔy]\begin{align*} f'(z) = \lim_{\substack{\Delta x \to 0\\\Delta y \to 0}}\bigg[ & \ \frac{u(x + \Delta x, y + \Delta y) + i v(x + \Delta x, y + \Delta y)}{\Delta x + i \Delta y} \\ & \ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - \frac{u(x, y ) + i v(x, y )}{\Delta x + i \Delta y} \bigg] \end{align*}

  • 考虑实轴和虚轴方向

Cauchy-Riemann 条件

  • 考虑 Δz\Delta z 从实轴趋近零：Δy=0\Delta y = 0

    f′(z)=∂u∂x+i∂v∂xf'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}

  • 考虑 Δz\Delta z 从虚轴趋近零：Δx=0\Delta x = 0

    f′(z)=∂v∂y−i∂u∂yf'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}

Cauchy-Riemann 条件

  • 二者应该相等 (方向无关)：Cauchy-Riemann 条件

    ∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y\frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}

    即

    ∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

Cauchy-Riemann 条件的复坐标表示

  • CR 条件本身是复可导性的必要条件
  • 定理：实可微性 + CR 条件 ⇔\Leftrightarrow 复可导性
  • 定理：实连续一阶偏导 + CR 条件 ⇔\Leftrightarrow 复可导性
  • 通常，物理中的函数都至少具有上述实可导性质。以后统称为足够光滑、性质良好的函数。

Cauchy-Riemann 条件的复坐标表示

实可微性

二元函数 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 实可微 指的是

lim⁡Δx→0Δy→0[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)−∂xfΔx−∂yfΔy](x0,y0)Δx2+Δy2=0\lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) - \partial_x f \Delta x - \partial_y f \Delta y]_{(x_0, y_0)}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0

偏导数存在但不可微的例子 (上述极限非零，或与方向有关)

xy,{0(0,0)y3x2+y2(x,y)≠(0,0)\sqrt{xy}, \qquad \left\{\begin{array}{cc} 0 & (0,0)\\ \frac{y^3}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0,0) \end{array}\right.

Cauchy-Riemann 条件的复坐标表示

  • z=x+iyz = x + i y，zˉ=x−iy\bar z = x - i y

  • 反解

    x=12(z+zˉ),y=12i(z−zˉ)x = \frac{1}{2}(z + \bar z), \qquad y = \frac{1}{2i}(z - \bar z)

  • 任何关于 z,zˉz, \bar z 的函数都可以重新表达为 x,yx, y 的函数，反之亦然，

    f(z,zˉ)=f(x+iy,x−iy),f(x,y)=f(12(z+zˉ),12i(z−zˉ))f(z, \bar z) = f(x + i y, x - i y),\\ f(x, y) = f\left(\frac{1}{2}(z + \bar z), \frac{1}{2i}(z - \bar z)\right)

Cauchy-Riemann 条件的复坐标表示

  • 定义 复偏导符号 ∂∂z,∂∂zˉ\frac{\partial}{\partial z}, \frac{\partial}{\partial \bar z}

    ∂f∂z=∂zf≔12(∂f∂x−i∂f∂y)\green{\frac{\partial f}{\partial z} = \partial_z f} \coloneqq \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y}\right)

    ∂f∂zˉ=∂zˉf≔12(∂f∂x+i∂f∂y)\green{\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \partial_{\bar z} f} \coloneqq \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y}\right)

链式法则

上述求导算符可以通过「链式法则」帮助理解 (不是证明)，

∂f∂z=∂f∂x∂x∂z+∂f∂y∂y∂z=12∂f∂x−i2∂f∂y\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{i}{2} \frac{\partial f}{\partial y}

∂f∂zˉ=∂f∂x∂x∂zˉ+∂f∂y∂y∂zˉ=12∂f∂x+i2∂f∂y\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \bar z} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \bar z} = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{i}{2} \frac{\partial f}{\partial y}

Cauchy-Riemann 条件的复坐标表示

  • Cauchy-Riemann 条件可以重新组合

    ∂u∂x−∂v∂y=0,∂u∂y+∂v∂x=0\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0

    ⇔(∂u∂x−∂v∂y)+i(∂u∂y+∂v∂x)=0\Leftrightarrow\left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right) + i \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) = 0

    ⇔∂(u+iv)∂x+i∂(u+iv)∂y=0⇔∂zˉf=0\Leftrightarrow\frac{\partial (u + i v)}{\partial x} + i \frac{\partial (u + i v)}{\partial y} = 0\\ \Leftrightarrow\partial_{\bar z} f = 0

  • CR 条件 ⇔\Leftrightarrow ∂zˉf=0\partial_{\bar z} f = 0

复导数

  • 实变函数的偏导数建基于自变量 Δx,Δy\Delta x, \Delta y 的独立性

    ∂u∂x=lim⁡Δx→0u(x+Δx,y)−u(x,y)Δx\frac{\partial u}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x}

  • 特别地，

    ∂x∂y=∂y∂x=0,∂x∂x=∂y∂y=1\frac{\partial x}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial x}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1

复导数

  • zz 与 zˉ\bar z 不独立：z→z+Δ⇒zˉ→zˉ+Δz‾z \to z + \Delta \Rightarrow \bar z \to \bar z + \overline{\Delta z}。

  • 但是，偏导算符呈现形式上独立性 (formal independence)，

    ∂zˉ∂z=∂z∂zˉ=0,∂z∂z=∂zˉ∂zˉ=1\frac{\partial \bar z}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial \bar z} = 0, \qquad \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{\partial \bar z}{\partial \bar z} = 1

    证明

    直接计算。比如，结合 z=x+iyz = x + iy, zˉ=x−iy\bar z = x - i y，

    ∂zˉ∂z=12[1−i(−i)]=0,∂z∂z=12[1−i(+i)]=1\frac{\partial \bar z}{\partial z} = \frac{1}{2} [1 - i (-i)] = 0, \qquad \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{1}{2} [1 - i (+i)] = 1

复导数

  • zz 与 zˉ\bar z 不独立：z→z+Δ⇒zˉ→zˉ+Δz‾z \to z + \Delta \Rightarrow \bar z \to \bar z + \overline{\Delta z}。

  • 但是，偏导算符呈现形式上独立性 (formal independence)，

    ∂zˉ∂z=∂z∂zˉ=0,∂z∂z=∂zˉ∂zˉ=1\frac{\partial \bar z}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial \bar z} = 0, \qquad \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{\partial \bar z}{\partial \bar z} = 1

  • 形式上，∂z,∂zˉ\partial_z, \partial_{\bar z} 跟「偏导数」完全一样：接受它们作为偏导存在，z,zˉz, \bar z 形式上独立

  • 通常：ff 满足 CR 条件/解析性/全纯性 ⇔\Leftrightarrow ff 不含 zˉ\bar z ⇔\Leftrightarrow ∂zˉf=0\partial_{\bar z} f = 0

    奇点

    在奇点处，ff 只依赖 zz  ⇏ ~ \not\Rightarrow ~ ∂zˉf=0\partial_{\bar z} f = 0。

复导数

  • 若 ff 解析/全纯，则其复共轭 f(z)‾\overline{f(z)} 满足

    ∂zf(z)‾=0\partial_z \overline{f(z)} = 0

    这样的函数称为 反全纯 (anti-holomorphic) 函数。

  • 一般的复变函数既不是全纯也不是反全纯函数。可以用 f(z,zˉ)f(z, \bar z) 来标明/强调。

共轭调和函数

  • 区域 DD 上解析的函数 f=u+ivf = u + i v 的实部和虚部满足 CR 条件

    ∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

  • 对这些方程两边作 ∂x\partial_x 和 ∂y\partial_y

    ∂x:∂2u∂x2=∂2v∂x∂y,∂2u∂x∂y=−∂2v∂x2\partial_x: \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \purple{\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}}, \qquad \orange{\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}} = - \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}

    ∂y:∂2u∂y∂x=∂2v∂y2,∂2u∂y2=−∂2v∂y∂x\partial_y: \orange{\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}} = \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = - \purple{\frac{\partial^2 v}{\partial y\partial x}}

共轭调和函数

  • 稍作比较可得两条 调和 (harmonic) 方程

    ∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,∂2v∂x2+∂2v∂y2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0

共轭调和函数

  • 解析函数的实部和虚部均为调和函数，而且二者由 CR 条件相互锁定，形成一对共轭调和函数。
  • 从一个调和函数 uu (或 vv) 出发，可以通过 CR 条件解出与之共轭的调和同伴 vv (或 uu)，并由此获得解析函数。

共轭调和函数：例子

  • 设 u(x,y)=x2−y2u(x,y) = x^2 - y^2。若 v(x,y)v(x,y) 是与之共轭的调和函数，则必然有

    dv=∂v∂xdx+∂v∂ydy=−∂u∂ydx+∂u∂xdy=+2ydx+2xdy=d(2xy)dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy = - \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy = + 2y dx + 2x dy = d(2 xy)

  • 于是 v=2xy+Cv = \purple{2 xy + C}，而 CC 是任意实常数。

  • 从而 f(z)=x2−y2+2ixy+Ci=(x+iy)2+Cif(z) = x^2 - y^2 + \purple{2} \orange{i} \purple{xy} + \purple{C}\orange{i} = (\green{x + i y})^2 + \purple{C} \orange{i} 是解析函数：

    f=z2+Cif = \green{z}^2 + C i

    不要漏了 ii

共轭调和函数

  • 区域 DD 中共轭调和函数的线积分求解法：

    v=∫(x0,y0)(x,y)dv+C=∫(x0,y0)(x,y)[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]+Cv = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} dv + C = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} \left[- \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy\right] + C

    路径怎么选？

    上述积分只指定了初始点 (x0,y0)(x_0, y_0) 和终末点 (x,y)(x, y)。

共轭调和函数

  • 区域 DD 中共轭调和函数的线积分求解法：

    v=∫(x0,y0)(x,y)dv+C=∫(x0,y0)(x,y)[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]+Cv = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} dv + C = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} \left[- \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy\right] + C

    路径怎么选？

共轭调和函数

  • 区域 DD 中共轭调和函数的线积分求解法：

    v=∫(x0,y0)(x,y)dv+C=∫(x0,y0)(x,y)[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]+Cv = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} dv + C = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} \left[- \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy\right] + C

    路径无关性

    绿色积分 −- 紫色积分 == 闭合路径 γ\gamma 积分：

    ∮γ[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]=∬[∂2u∂x2+∂2u∂y2]dxdy=0\oint_\gamma \left[- \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x}dy\right] = \iint \left[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right]dx dy = 0

共轭调和函数

  • 区域 DD 中共轭调和函数的线积分求解法：

    v=∫(x0,y0)(x,y)dv+C=∫(x0,y0)(x,y)[−∂u∂ydx+∂u∂xdy]+Cv = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} dv + C = \int_{(x_0, y_0)}^{(x,y)} \left[- \frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy\right] + C

    路径无关性

    蓝色积分 −- 绿色积分 == 与 (x,y),(x0,y0)(x, y), (x_0, y_0) 无关的常数 CC：不要紧。

    结论：随便选一条连接 (x0,y0)(x_0, y_0) 和 (x,y)(x,y) 的路径，只要完全在解析区内。

共轭调和函数与静电场

  • 解析函数 ff 或者共轭调和函数 (u,v)(u, v) 可以用于描述静电场

  • u,vu, v 的梯度

    ∇u=(∂u∂x,∂u∂y),∇v=(∂v∂x,∂v∂y)\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right), \qquad \nabla v = \left(\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}\right)

  • ∇u⊥\nabla u \perp uu 等值线, ∇v⊥\nabla v \perp vv 等值线。

共轭调和函数与静电场

  • 定理：共轭调和条件 ⇒\Rightarrow 正交梯度 ∇u⋅∇v=0\nabla u \cdot \nabla v = 0

    正交梯度

    直接计算

    ∇u⋅∇v=∂u∂x∂v∂x+∂u∂y∂v∂y=−∂u∂x∂u∂y+∂u∂y∂u∂x=0\nabla u \cdot \nabla v = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} = 0

  • 推论：等 uu 线 ⊥\perp 等 vv 线。

共轭调和函数与静电场

  • 在无电荷分布二维静电场中，电势是平面空间的调和函数

    二维电势

    二维无电荷麦克斯韦方程

    ∇⋅E⃗(x,y)=0\nabla \cdot \vec E(x,y) = 0

    然而电势与电场强度的关系是 E⃗=−∇φ\vec E = - \nabla \varphi，

    ⇒∇⋅∇φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0\Rightarrow \nabla \cdot \nabla \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0

共轭调和函数与静电场

平面电场

如何形成二维电场？

共轭调和函数与静电场

平面电场

如何形成二维电场？

可以使用无穷长直均匀带电直线

初等函数

  • 初等函数：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，及其有限次加减乘除、复合所构成的函数。
  • 导数公式与大一的内容一样

初等函数：整幂函数

  • 整幂 复函数是全 C\mathbb{C} 解析的函数，定义为

    zn=0,1,2,3,…=z⋅z⋅…⋅z⏟n 个 ,zn=−1,−2,…=1z∣n∣ .z^{n = 0, 1,2,3, \ldots} = \underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{n\text{ 个}} \ , \qquad z^{n = -1, -2, \ldots} = \frac{1}{z^{|n|}} \ .

    确定性

    给定一个 z∈Cz \in \mathbb{C}，则 znz^n 是唯一确定 (单值) 的。

初等函数：整幂函数

  • 若 z=reiθz = re^{i \theta}，则 zn=rneinθz^n = r^n e^{i n \theta}。

  • 满足整幂实函数的性质，

    (z1z2)n=z1nz2n ,(z1+z2)n=∑k=0nCnkz1kz2n−k .(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n \ , \qquad (z_1 + z_2)^n = \sum_{k = 0}^{n}C_n^k z_1^k z_2^{n - k} \ .

初等函数：多项式

  • 整幂函数通过复系数可以组合成 nn-次 多项式，

    P(z)=∑k=0nakzk ,ak∈C ,an≠0 .P(z) = \sum_{k = 0}^{n} a_k z^k \ , \qquad a_k \in \mathbb{C} \ , \quad a_n \ne 0\ .

  • 比如 P(z)=z2−1P(z) = z^2 - 1，P(z)=z3−3z2+4+3iP(z) = z^3 - 3 z^2 + 4 + 3 i.

初等函数：次方根函数

  • 定义：给定一个 z∈Cz \in \mathbb{C} 以及 n∈N≥1n \in \mathbb{N}_{\ge 1}，若 z0∈Cz_0 \in \mathbb{C} 满足 z0n=zz_0^n = z，则称 z0z_0 为 zz 的一个 nn-次方根，记作 z1nz^{\frac{1}{n}}。

  • 定理：若 z=reiθz = re^{i \theta}，则 z0=r1neiθnz_0 = r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\theta}{n}} 是 zz 的一个 nn-次方根。

    次方根存在性

    次方根总是存在，包括负数的偶次方根，如 (−1)1/2(-1)^{1/2}

初等函数：次方根函数

  • 多值性定理：给定 z≠0z \ne 0 之后，nn-次方根 z0z_0 有 nn 个 可能值。

    多值性

    设 z0z_0 是 z≠0z\ne0 的一个 nn-次方根，即 z0n=zz_0^n = z。则必然有

    z0,e2πinz0,e2πin⋅2z0,⋯ ,e2πin(n−1)z0z_0, \qquad e^{\frac{2\pi i}{n}}z_0, \qquad e^{\frac{2\pi i}{n}\cdot 2} z_0, \qquad \cdots, \qquad e^{\frac{2\pi i}{n}(n - 1)}z_0

    都是 nn-次方根，因为 (e2πink)n=e2πik=1(e^{\frac{2 \pi i}{n} k })^n = e^{2\pi i k} = 1，k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n - 1。

初等函数：次方根函数

  • nn-次方根的多值性来源于 zz 的辐角 的多值性

     z=reiθ=rei(θ+2πk)⇒ z1n=r1neiθn,或者,r1nei(θn+2πkn) .\begin{align*} & \ z = re^{i \theta} = r e^{i (\theta + 2\pi k)} \\ \Rightarrow & \ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta}{n}},\qquad \text{或者}, \qquad r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{\theta}{n} + \frac{2\pi k}{n})} \ . \end{align*}

初等函数：次方根函数

  • 11 的 3 次方根

     1=e0πi=e2πi=e4πi⇒ 113=1,e2πi3,e4πi3 .\begin{align*} & \ 1 = e^{0\pi i} = e^{2\pi i} = e^{4 \pi i}\\ \Rightarrow & \ 1^{\frac{1}{3}} = 1, e^{\frac{2\pi i}{3}}, e^{\frac{4\pi i}{3}} \ . \end{align*}

  • 多项式方程 x3−1=0x^3 - 1 = 0 的解即为 11 的 3 次方根。

  • 11 的 nn 次方根

     1=e0πi=e2πi=⋯=e2πi(n−1)⇒ 11n=1,e2πin,⋯ ,e2πi(n−1)n .\begin{align*} & \ 1 = e^{0\pi i} = e^{2\pi i} = \cdots = e^{2 \pi i (n - 1)}\\ \Rightarrow & \ 1^{\frac{1}{n}} = 1, e^{\frac{2\pi i}{n}}, \cdots, e^{\frac{2\pi i (n - 1)}{n}} \ . \end{align*}

初等函数：次方根函数

  • 11 的 66 次方根图像分布

初等函数：指数函数

  • 复指数函数 eze^z 的定义是

    ez=ex+iy≔exeiy=ex(cos⁡y+isin⁡y) .e^z = e^{x + i y} \coloneqq e^x e^{i y} = e^x (\cos y + i \sin y) \ .

  • 满足实指数函数的许多性质：

    ddzez=ez,ez1ez2=ez1+z2 .\frac{d}{dz}e^z = e^z, \qquad e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1 + z_2} \ .

  • 全 C\mathbb{C} 解析的函数

初等函数：三角函数

  • 复三角函数 利用指数函数来定义

    cos⁡z≔12(eiz+e−iz),sin⁡z≔12i(eiz−e−iz) .\cos z \coloneqq \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-i z}), \qquad \sin z \coloneqq \frac{1}{2i}(e^{i z} - e^{- i z}) \ .

初等函数：三角函数

  • 同样满足熟知的各种性质：和差化积、积化和差等

    平方和

    计算 cos⁡2z+sin⁡2z\cos^2 z + \sin^2 z，

    = 14(eiz+e−iz)2−14(eiz−e−iz)2= 14(e2iz+e−2iz+2)−14(e2iz+e−2iz−2)= 142−14(−2)=1 .\begin{align*} = & \ \frac{1}{4}(e^{iz} + e^{- i z})^2 - \frac{1}{4}(e^{iz} - e^{- i z})^2\\ = & \ \frac{1}{4}(e^{2iz} + e^{- 2i z} + 2) - \frac{1}{4}(e^{2iz} + e^{- 2i z} - 2) \\ = & \ \frac{1}{4}2 - \frac{1}{4}(-2) = 1 \ . \end{align*}

初等函数：双曲函数

  • 复双曲正弦余弦函数 利用指数函数来定义

    cosh⁡z≔12(ez+e−z),sinh⁡z≔12(ez−e−z) .\cosh z \coloneqq \frac{1}{2}(e^{z} + e^{- z}), \qquad \sinh z \coloneqq \frac{1}{2}(e^{z} - e^{- z}) \ .

  • 是全 C\mathbb{C} 解析的函数
  • 比值为 双曲正切余切 tanh⁡z\tanh z、coth⁡z\coth z

初等函数：双曲函数

  • 同样满足熟知的各种性质：

    cosh⁡2z−sinh⁡2z=1,ddzcosh⁡z=sinh⁡z,ddzsinh⁡z=cosh⁡z .\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz}\cosh z = \sinh z, \quad \frac{d}{dz}\sinh z = \cosh z \ .

  • 双曲正弦余弦函数与三角函数的关系

    cosh⁡z=cos⁡(iz),sinh⁡z=−isin⁡(iz)\cosh z = \cos (iz), \qquad \sinh z = - i \sin (iz)

初等函数：对数函数

  • 定义：若复数 ww 满足 ew=ze^w = z，则称 w=ln⁡zw = \ln z 是 zz 的对数。

  • 作为 zz 的函数，对数函数 ln⁡z\ln z 是多值的：若 ew=ze^w = z，则 ew+2πin=ze^{w + 2\pi i n} = z

    所有 w+2πinw + 2\pi i n 都是 zz 的对数，n∈Zn \in \mathbb{Z}

多值函数

  • 下面讨论具有一定解析性的函数的多值现象。

    解析区域

    未说明解析区域的解析函数，就默认存在某个区域使得函数在上面解析。至于这个区域是什么，不需明说。

多值函数

  • 根式函数 w=zw = \sqrt{z} 是最简单的多值函数

    z⇒⋅w=z:w2,(−w)2=z .z \xRightarrow{\sqrt{\boldsymbol{\cdot}}} w = \sqrt{z}:\qquad w^2, (-w)^2 = z \ .

  • 也可以理解为来源于 zz 的辐角的多值性

    z=reiθ=rei(θ+2π)→w=r12eiθ2,r12eiθ2eπi=−r12eiθ2 .z = \purple{r e^{i \theta}} = \orange{r e^{i (\theta + 2\pi)}} \quad \to \quad w = \purple{r^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\theta}{2}}}, \quad \orange{r^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\theta}{2}} e^{\pi i}} = - r^{\frac{1}{2}} e^{i \frac{\theta}{2}} \ .

    多值性

    只要 z≠0z \ne 0，则其平方根有 两个不同值。当 z=0z = 0，则平方根是唯一的。

多值函数

多值现象

多值函数的函数值不能唯一确定，并不是说完全无法得知函数值，仅仅是有好几个确定的选项，不知道挑哪一个好而已。

比如，f(z)=z1/2f(z) = z^{1/2} 在 z=1z = 1 的函数值是非常明确的两个选项：1,−11, -1；其它的数如 250,66666666,2333250, 66666666, 2333 肯定 不是合理 的 f(1)f(1) 函数值。

多值函数

  • 能否选一个，忘掉其他选项？

  • 不能：连续性强迫全部都要

多值函数

支点

  • 定义：对于 w=zw = \sqrt{z}，当自变量 zz 绕原点周围任意小的闭曲线一圈，ww都会发生多值现象 (具体体现为符号改变)。因此，称原点 z=0z = 0 为 w=zw = \sqrt{z} 的支/分枝点 (branch point)。

支点

支点

支点

  • 再考虑根式函数 w=z−aw = \sqrt{z - a}，a∈Ca \in \mathbb{C}

  • 记 z−a≔reiθz - a \coloneqq r e^{i \theta}，则

    w=reiθ2,−reiθ2 ,θ 是 z−a 的辐角w = \sqrt{r}e^{i \frac{\theta}{2}}, \qquad - \sqrt{r}e^{i \frac{\theta}{2}} \ , \qquad \theta \text{ 是 $z - a$ 的辐角}

  • 当 zz 绕 aa 任意小闭曲线一圈，ww 发生多值现象 (变号)。因此，称 aa 为函数 ww 的支点

  • 根式函数 w=z−aw = \sqrt{z - a} 在支点 z=az = a 处有定义：w(z=a)=0w(z = a) = 0。

支点

支点

支点

  • 当 a≠0a \ne 0，原点 z=0z = 0不再是支点：绕原点转小圈，z−a\sqrt{z -a} 不出现多值现象

支点

支点

  • 对于 w=z−aw = \sqrt{z - a}，∞\infty 也是支点

    绕 ∞\infty

    「绕 ∞\infty 的 任意小闭曲线」 == 「绕 z=az = a 任意大的闭曲线」

支点

  • 定义：对 w=z−aw = \sqrt{z - a}，绕 aa 或者 ∞\infty 2 周之后 ww 变回原值。因此，定义 aa, ∞\infty 为 w=z−aw = \sqrt{z - a} 的 一阶支点。

  • 定义：对 w=(z−a)13w = (z - a)^{\frac{1}{3}}，绕 aa 或者 ∞\infty 3 周之后 ww 变回原值。因此，定义 aa, ∞\infty 为 w=(z−a)13w = (z - a)^{\frac{1}{3}} 的 二阶支点。

    2π/32\pi/3

    由于 ww 是开三次方，所以当 z−az - a 的辐角增加 2π,4π2\pi, 4\pi 时，ww 感应到

    w→ei2π3w ,w→ei4π3w .w \to e^{\frac{i 2\pi}{3}} w \ ,\qquad w \to e^{\frac{i 4\pi}{3}} w \ .

支点

  • 定义：对 w(z)w(z) 的支点 aa，若绕 aa 至少 k+1k + 1 周之后 ww 变回原值，则称 aa 为 w(z)w(z) 的 kk 阶支点。

支点：例

  • 考虑 w(z)=(z−a)(z−b)w(z) = \sqrt{(z - a)(z - b)}。

  • 记 z−a=raeiθaz - a = r_a e^{i \theta_a}，z−b=rbeiθbz - b = r_b e^{i \theta_b}

支点：例

  • 当 zz 沿绕着 bb 无穷小的闭曲线一圈，出现多值现象：

    {θa→θa,θb→θb+2π ⇒w=rarbeiθa2eiθb2→−rarbeiθa2eiθb2 .\left \{ \begin{array}{cc} \theta_a \to \theta_a, \\ \theta_b \to \theta_b + 2\pi \end{array} \right.\ \Rightarrow \quad w = \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \to \orange{-} \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \ .\nonumber

支点：例

  • 当 zz 沿绕着 aa 无穷小的闭曲线一圈，出现多值现象：

    θa→θa+2π,θb→θb ⇒w=rarbeiθa2eiθb2→−rarbeiθa2eiθb2 .\theta_a \to \theta_a + 2\pi, \quad \theta_b \to \theta_b \ \Rightarrow w = \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \to \orange{-} \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \ .\nonumber

支点：例

  • 当 zz 沿绕着 a,ba, b 任意 大 的闭曲线一圈 没有 出现多值现象：

    θa,b→θa,b+2π,⇒w=rarbeiθa2eiθb2→(−)2rarbeiθa2eiθb2 .\theta_{a,b} \to \theta_{a,b} + 2\pi, \Rightarrow w = \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \to \green{(-)^2} \sqrt{r_a r_b}e^{\frac{i\theta_a}{2}}e^{\frac{i \theta_b}{2}} \ .\nonumber

支点：例

  • 总结：

    1. bb 是 w=(z−a)(z−b)w = \sqrt{(z - a)(z - b)} 的一阶支点
    2. aa 是 w=(z−a)(z−b)w = \sqrt{(z - a)(z - b)} 的一阶支点
    3. ∞\infty 不是 支点

支点：例

  • 考虑 w(z)=(z−a)(z−b)(z−c)w(z) = \sqrt{(z - a)(z - b)(z - c)}，a,b,ca,b,c 互异

    一阶支点：∞,a,b,c\infty, a, b, c

  • 考虑 w(z)=1−1zw(z) = \sqrt{1 - \frac{1}{z}}

    w(z)=1−1z=z−1zw(z) = \sqrt{1 - \frac{1}{z}} = \sqrt{\frac{z - 1}{z}}，一阶支点：0,10, 1。∞\infty 不是 支点

  • 考虑 w(z)=(z3−1)13w(z) = (z^3 - 1)^{\frac{1}{3}}

    w(z)=[(z−1)(z−e2πi3)(z−e4πi3)]13w(z) = [(z - 1)(z - e^{\frac{2\pi i }{3}})(z - e^{\frac{4\pi i }{3}})]^{\frac{1}{3}}，二阶支点：11, e2πi3e^{\frac{2\pi i}{3}}, e4πi3e^{\frac{4\pi i}{3}}。∞\infty 不是 支点

支点：例

  • 考虑 w=za(z−1)bw = z^a (z - 1)^b，a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q}

    1. 若 a∉Za \not\in \mathbb{Z}，则 z=0z = 0 是支点
    2. 若 b∉Zb \not\in \mathbb{Z}，则 z=1z = 1 是支点
    3. 若 a+b∉Za + b \not\in \mathbb{Z}，则 z=∞z = \infty 是支点

支点：例

  • 考虑 w=ln⁡zw = \ln z
  • 给定 zz，所对应的对数 ww 不唯一：可以相差任意的 2πin2\pi i n。
  • 支点：z=0,∞z = 0, \infty
  • 超越 (transcendental) 支点
  • ln⁡z\ln z 在 z=0z = 0 无定义：与根式函数 w=zw = \sqrt{z} 不一样

支点

  • 对于解析函数，支点可能是 连续点

  • 通常认为支点是 奇点：支点处 导数 无法定义。

割线

  • 为了 禁止 多值现象，可以从支点出发画一条曲线把 C\mathbb{C} 割破，称为 割线，并 明令禁止 zz 穿过割线。同时，人为 选 定割线外 一点 的函数值作为 基准。

    ⇒\Rightarrow 唯一确定 整个连通解析区的函数值，完全 杜绝 多值现象

    多个支点

    当函数有 多个支点 的时候，需要 每个 支点都连上割线。若有支点无割线，则出现 多值漏洞

割线：例

  • 考虑 w=z−aw = \sqrt{z - a}，支点是 a,∞a, \infty

割线：例

  • 考虑 w=(z−a)(z−b)w = \sqrt{(z - a)(z - b)}，支点是 a,ba, b

割线

非局域算符

在未来的物理学习中，会碰到 准局域算符 和连接准局域算符的 拓扑线算符：这些东西跟跟支点、割线非常相似。

关键词：狄拉克磁单极与狄拉克弦，伊辛模型、disorder 算符和 non-invertible defect line

割线：例

  • 割线不唯一

  • 再次考虑 w=(z−a)(z−b)w = \sqrt{(z - a)(z - b)}，a≠ba \ne b，支点为 a,ba,b

割线：例

  • 割线不唯一

  • 考虑 w=(z−a)12(z−b)13w = {(z - a)^{\frac{1}{2}}(z - b)^{\frac{1}{3}}}，a≠ba \ne b，支点为 a,b,∞a,b, \infty

割线与基准值

选定基准值

在设置割线时，需要人为 选 定割线外某点的函数值作为基准。一旦选好了，割线外的所有点函数值均可以通过 连续性 唯一 确定。

割线与基准值：例

  • 考虑 f(z)=zf(z) = \sqrt{z}。支点 0,∞0, \infty。选割线为 (−∞,0](-\infty, 0]

  • 选择 f(z=1)=+1f(z = 1) = +1

  • 得到 f(−1+iϵ)=+if(-1 + i \epsilon) = + i，f(−1−iϵ)=−if(- 1 - i \epsilon) = - i，ϵ→0+\epsilon \to 0+

割线：例

  • 更一般地，对 x<0x < 0，割线的上岸和下岸的值已被确定，

    f(x+iϵ)=i∣x∣12,f(x−iϵ)=−i∣x∣12 .f(x + i \epsilon) = i |x|^{\frac{1}{2}}, \qquad f(x - i \epsilon) = - i |x|^{\frac{1}{2}} \ .

    割线

    割线上的点已经被 舍弃，f(x<0)f(x < 0) 无定义。

其它常见多值函数

  • 多值函数无处不在，除了根式函数，还有

    • 一般幂次函数 zαz^\alpha，α∈C\alpha \in \mathbb{C}
    • 对数函数：ln⁡(z−a)\ln (z - a)
    • 反三角函数 arcsin⁡z\arcsin z, arccos⁡\arccos, arctan⁡\arctan 等
    • 单值函数、多值函数的各种复合，如

    (z−az−b)α,ln⁡(zα+(1−z2)β) ,⋯ .\left(\frac{z - a}{z - b}\right)^\alpha, \qquad \ln \left(z^\alpha + (1 - z^2)^\beta\right) \ , \qquad \cdots \ .

其他空间上的复分析

  • 除了割线，还有别的方法治理多值性问题：多叶黎曼面 (Riemann surface)

  • 以 f(z)=zf(z) = \sqrt{z} 为例：原点是一个 支点，绕原点一圈会有多值现象

    f(e2πiz)=−f(z) .f(e^{2\pi i}z) = - f(z) \ .

  • 杜绝多值性的老方法：画割线，禁止穿越

  • 杜绝多值性的新方法：扩展定义域，把 e2πize^{2\pi i}z 与 zz 看成两个 不同的点，但同时尊重 连续性

其它空间上的复分析

  • 先只关注单位圆，把单位圆所有点复制一遍

其它空间上的复分析

  • 利用函数的连续性，把两个单位圆 连接起来

动画：双圆

其它空间上的复分析

  • 两个原点合同，因为 f(z)f(z) 在原点没有多值性

    极简主义

    数学家崇尚 极简主义，不引入非必要的东西。f(z)f(z) 在原点处本身 f(0)=0f(0) = 0，没有多值 现象，不需要 复制多一份原点。

其它空间上的复分析

  • 为了保持连续性，把两个单位圆连接起来，并共享原点

    一阶支点

    注意原点是一阶支点，转两圈，多值性消失。

其他空间上的复分析

  • z\sqrt{z} 对应的 Riemann surface


    双叶黎曼曲面

其他空间上的复分析

  • z\sqrt{z} 对应的 Riemann surface

    虚假的交汇

    双叶黎曼面实际 并没自相交，图中的交线来源于三维绘图空间的束缚。可以在高维空间中绘制不自交的双叶黎曼面。

其他空间上的复分析

  • z1/3z^{1/3} 对应的 Riemann surface


    三叶黎曼曲面

其他空间上的复分析

  • z1/4z^{1/4} 对应的 Riemann surface

    四叶黎曼曲面

其他空间上的复分析

  • ln⁡z\ln z 对应的 Riemann surface


    无穷叶黎曼曲面

其他空间上的复分析

  • 除了 C\mathbb{C}，还可以在其他空间上研究复变函数和微积分
  • 最简单的例子：C∪{∞}=CP1\mathbb{C} \cup \{\infty\} = \mathbb{C}P^1 上的复变函数实际上就是我们课程的内容

其他空间上的复分析

  • 例子：二维环面 T2T^2， 可以通过 C\mathbb{C} 上区域来构造

  • 考虑 C\mathbb{C} 中平行四边形

其他空间上的复分析

  • 环面上的任何一点都可以用 C\mathbb{C} 中平行四边形的点代表。

  • 环面上继承 C\mathbb{C} 的坐标 z,zˉz, \bar z：可以研究二维环面上的函数、极限、可导性等问题

  • 还可以考虑更加复杂的二维曲面，比如

  • 在这些曲面上均可研究解析函数

其他空间上的复分析

  • 还可以考虑高维空间上的复分析：复几何 (complex geometry), 代数几何 (algebraic geometry)

--- ### 共轭调和函数 - 调和方程 $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right] u = 0 $$ * **定理**：当 $u$ 足够光滑， $$ \partial_z \partial_{\bar z} u = \frac{1}{4} \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right]u $$ <div class='proof comment'> **证明** 直接利用复导数的定义，以及 $\partial_x \partial_y = \partial_y \partial_x$。 </div> --- ### 共轭调和函数 * $\partial_z \partial_{\bar z} u = 0$ 的**实**解： $$ u = \frac{1}{2} (f(z) + \overline{f(z)})$$ <div class='proof'> **解** 显然 $$ \partial_z [\partial_{\bar z} f(z)] = 0 , \qquad \partial_z \partial_{\bar z} \overline{f(z)} = \partial_{\bar z}[\partial_z \overline{f(z)}] = 0 $$ </div> --- ### 共轭调和函数 * 与 $u$ 共轭的调和函数：$v = \frac{1}{2i} (f(z) - \overline{f(z)}) + C$. <div class='proof comment'> **重新组合** 把 $u$ 和 $v$ 重新组合 $$ u + i v = f(z)$$ </div>

slide: 支点

slide: 割线

slide: 割线：例

slide: 割线：例

slide: 割线

slide: 割线：例

slide: 割线：例

slide: 割线与基准值