\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{aaaaaa}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}} \gdef\blue#1{{\color[rgb]{0.20, 0.43, 0.75}{#1}}} \gdef\yellow#1{{\color[rgb]{0.984375, 0.9140625, 0.62109375}{#1}}}
复积分
复积分的定义、常用计算方法、例子、基本性质
Cauchy 积分定理与 Cauchy 积分公式
Cauchy 积分定理、一致连续性、Cauchy 积分定理证明、路径无关性、Cauchy 积分公式、高阶导数
复数可加性：复数之和还是复数 ⇒\Rightarrow⇒ 小复数累积成大复数
黎曼积分基本要求：分割不变性、插值不变性
考虑曲线 CCC，函数 f(z)f(z)f(z) 在 CCC 上有定义
把 CCC 分割成 nnn 小段，z0=z(α)z_0 = z(\alpha)z0=z(α)，z1,⋯ ,zn=z(β)z_1, \cdots, z_n = z(\beta)z1,⋯,zn=z(β)
在 nnn 小段中引入插值点 ζk\zeta_kζk
Sn=∑k=1nf(ζk)(zk−zk−1) ,I=∫Cf(z)dz≔limn→∞SnS_n = \sum_{k = 1}^{n} f(\zeta_k) (z_k - z_{k - 1}) \, , \quad \mathcal{I} = \int_C f(z) dz \coloneqq \lim_{n \to \infty}S_n Sn=k=1∑nf(ζk)(zk−zk−1),I=∫Cf(z)dz:=n→∞limSn
无穷多分割
给定 CCC，用 {zk}\{z_k\}{zk} 分割的方法有无穷多种。我们希望随着 n→∞n \to \inftyn→∞，所有分段的长度都逐渐趋于 无穷小，即
limn→∞max1≤k≤n−1∣zk−zk−1∣=0 .\lim_{n \to \infty}\max_{1 \le k \le n - 1} |z_k - z_{k - 1}| = 0 \, . n→∞lim1≤k≤n−1max∣zk−zk−1∣=0.
有一些分割法不满足这个要求，我们 不考虑。
分割与插值不变性
给定 CCC，有无穷多种用 {zk}\{z_k\}{zk} 分割和 {ζk}\{\zeta_k\}{ζk} 插值的方法。我们希望 limnSn\lim_n S_nlimnSn 与这些具体的分割和插值的方法无关，从而给出唯一的确定的复积分 I\mathcal{I}I。
有时，f(z)f(z)f(z) 的性质过于恶劣，使得 limn→∞\lim_{n \to \infty}limn→∞ 依赖具体的分割和插值，此时我们说 I\mathcal{I}I 无法定义/不存在。
∫C−f(z)dz=∫−Cf(z)dz≔−∫Cf(z)dz .\int_{C^-}f(z) dz = \int_{- C} f(z) dz \coloneqq - \int_C f(z) dz \, . ∫C−f(z)dz=∫−Cf(z)dz:=−∫Cf(z)dz.
∫Cf(z)dz=∫C(udx−vdy)+i∫C(vdx+udy)\int_C f(z) dz = \int_C (udx - v dy) + i\int_C (vdx + udy) ∫Cf(z)dz=∫C(udx−vdy)+i∫C(vdx+udy)
复积分与实积分
复积分与实积分本质是一样的，因为复数加法与实数加法是兼容的，
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) .z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2) \, . z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
此外，
f(ζk)(zk−zk−1)= [u(ζk)(xk−xk−1)−v(ζk)(yk−yk−1)] +i[u(ζk)(yk−yk−1)+v(ζk)(xk−xk−1)]\begin{align*} f(\zeta_k) (z_k - z_{k - 1}) = & \, \Big[u(\zeta_k) (x_k - x_{k - 1}) - v(\zeta_k)(y_k - y_{k - 1}) \Big] \\ & \, + i \Big[u(\zeta_k) (y_k - y_{k - 1}) + v(\zeta_k) (x_k - x_{k - 1}) \Big] \end{align*} f(ζk)(zk−zk−1)=[u(ζk)(xk−xk−1)−v(ζk)(yk−yk−1)]+i[u(ζk)(yk−yk−1)+v(ζk)(xk−xk−1)]
∫C[af(z)+bg(z)]=a∫Cf(z)dz+b∫Cg(z)dz,∀a,b∈C .\int_C [a f(z) + b g(z)] = a \int_C f(z) dz + b \int_C g(z) dz, \qquad \forall a, b \in \mathbb{C} \, . ∫C[af(z)+bg(z)]=a∫Cf(z)dz+b∫Cg(z)dz,∀a,b∈C.
∫C1+C2f(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz .\int_{C_1 + C_2} f(z) dz = \int_{C_1} f(z) dz + \int_{C_2} f(z) dz \, . ∫C1+C2f(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz.
∫−Cf(z)dz=−∫Cf(z)dz .\int_{-C} f(z) dz = - \int_C f(z) dz \, . ∫−Cf(z)dz=−∫Cf(z)dz.
∣∫Cf(z)dz∣≤∫C∣f(z)∣∣dz∣=∫C∣f(z)∣ds .\bigg| \int_C f(z) dz \bigg| \le \int_C \Big|f(z) \Big| \Big|dz\Big| = \int_C \Big|f(z)\Big| ds \, . ∫Cf(z)dz≤∫Cf(z)dz=∫Cf(z)ds.
∣∫Cf(z)dz+∫C′f(z)dz∣≤∫C∣f(z)∣∣dz∣+∫C′∣f(z)∣∣dz∣ .\bigg| \int_C f(z) dz + \int_{C'}f(z) dz \bigg| \le \int_C \Big|f(z) \Big| \Big|dz\Big| + \int_{C'} \Big|f(z) \Big| \Big|dz\Big| \, . ∫Cf(z)dz+∫C′f(z)dz≤∫Cf(z)dz+∫C′f(z)dz.
例：设 CCC 是一条简单光滑开放曲线，起于 aaa 终于 bbb。计算 ∫Cdz\int_C dz∫Cdz
计算
积分函数是常数函数 f(z)=1f(z) = 1f(z)=1。可以用 定义 直接求解。对 CCC 进行分割，分割点 z1,z2,⋯z_1, z_2, \cdotsz1,z2,⋯。任选插值点 ζk\zeta_kζk，必然有
∫Cdz=limn→∞Sn=limn→∞∑k=1n(1)(zk−zk−1)\int_C dz = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n (1) (z_k - z_{k - 1}) ∫Cdz=n→∞limSn=n→∞limk=1∑n(1)(zk−zk−1)
把 nnn 项求和展开可以看到
∑k=1n(zk−zk−1)=z1−z0+z2−z1+⋯+zn−1−zn−2+zn−zn−1= zn−z0=z(β)−z(α)=b−a→n→+∞b−a .\begin{align*} & \, \sum_{k = 1}^{n}(z_k - z_{k - 1}) = z_1 - z_0 + z_2 - z_1 + \cdots + z_{n - 1} - z_{n - 2} + z_n - z_{n - 1}\\ = & \, z_n - z_0 = z(\beta) - z(\alpha) = b - a \xrightarrow{n \to +\infty} b - a \, . \end{align*} =k=1∑n(zk−zk−1)=z1−z0+z2−z1+⋯+zn−1−zn−2+zn−zn−1zn−z0=z(β)−z(α)=b−an→+∞b−a.
闭合曲线
倘若 CCC 是 简单闭合曲线/简单围线，则 b=ab = ab=a，此时
∮Cdz=b−a=0 .\oint_C dz = b - a = 0 \, . ∮Cdz=b−a=0.
例：设 CCC 是任意一条始于 aaa 终于 bbb 的简单光滑开放曲线。计算积分 ∫Czdz\int_C z dz∫Czdz。
利用实虚分解
∫Czdz= ∫C(x+iy)(dx+idy)=∫C(xdx−ydy)+i∫C(xdy+ydx)= ∫d[12(x2−y2)]+i∫d(xy)= 12(x+iy)2∣ab=12z2∣ab=12(b2−a2) .\begin{align*} \int_C z dz = & \, \int_C (x + iy) (dx + i dy) = \int_C (xdx - ydy) + i \int_C (xdy + ydx) \\ = & \, \int d\Bigg[\frac{1}{2}(x^2 - y^2)\Bigg] + i \int d(xy) \\ = & \, \frac{1}{2}(x + iy)^2 \bigg|_{a}^{b} = \frac{1}{2}z^2 \bigg|_a^b = \frac{1}{2}(b^2 - a^2) \, . \end{align*} ∫Czdz===∫C(x+iy)(dx+idy)=∫C(xdx−ydy)+i∫C(xdy+ydx)∫d[21(x2−y2)]+i∫d(xy)21(x+iy)2ab=21z2ab=21(b2−a2).
推论：设 CCC 是任意一条简单围线，则
∮Czdz=0 .\oint_C z dz = 0 \, . ∮Czdz=0.
首尾相同
用上面一个例子的结果，令 b=ab = ab=a 即可。
I=∮Czndz ,n+1≠0 ,\mathcal{I} = \oint_C z^n dz \, , \qquad n + 1 \ne 0 \, , I=∮Czndz,n+1=0,
曲线是一个以原点为中心的圆周，因此可以考虑使用参数方程
z(θ)=ρeiθ ,θ∈[0,2π] .z(\theta) = \rho e^{i\theta} \, , \qquad \theta \in [0, 2\pi] \, . z(θ)=ρeiθ,θ∈[0,2π].
从而，dz=d(ρeiθ)=ρieiθdθdz = d (\rho e^{i \theta}) = \rho i e^{i \theta} d\thetadz=d(ρeiθ)=ρieiθdθ。于是积分可以计算
I=∫02πρneniθρieiθdθ=∫02πρn+1e(n+1)iθdiθ .\mathcal{I} = \int_0^{2\pi} \rho^n e^{n i \theta} \rho i e^{i \theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \rho^{n + 1} e^{(n + 1)i \theta} d i \theta \, . I=∫02πρneniθρieiθdθ=∫02πρn+1e(n+1)iθdiθ.
利用实积分的技巧，
I= ρn+1n+1∫02πi(n+1)e(n+1)iθd[i(n+1)θ]= ρn+1n+1∫02πi(n+1)exdx=ρn+1n+1ex∣02πi(n+1)= ρn+1n+1(e2πi(n+1)−e0)=0 .\begin{align*} \mathcal{I} = & \, \frac{\rho^{n + 1}}{n + 1} \int_0^{2\pi i(n + 1)} e^{(n + 1)i\theta} d[i(n + 1)\theta]\\ = & \, \frac{\rho^{n + 1}}{n+1} \int_0^{2\pi i (n + 1)} e^x dx = \frac{\rho^{n + 1}}{n + 1} e^x \bigg|_{0}^{2\pi i(n + 1)} \\ = & \, \frac{\rho^{n + 1}}{n + 1}(e^{2\pi i (n + 1)} - e^0) = 0 \, . \end{align*} I===n+1ρn+1∫02πi(n+1)e(n+1)iθd[i(n+1)θ]n+1ρn+1∫02πi(n+1)exdx=n+1ρn+1ex02πi(n+1)n+1ρn+1(e2πi(n+1)−e0)=0.
半径无关性
这个积分值与积分曲线的半径 ρ\rhoρ 无关，都是零。后面我们会了解这个无关性的由来。
I=∮C1z−adz .\mathcal{I} = \oint_C \frac{1}{z - a} dz \, . I=∮Cz−a1dz.
由于曲线仍然是圆周 (以 aaa 为中心)，因此可以采用参数化
z(θ)=a+ρeiθ,θ∈[0,2π] .z(\theta) = \purple{a} + \rho e^{i \theta}, \qquad \theta \in [0, 2\pi] \, . z(θ)=a+ρeiθ,θ∈[0,2π].
从而，dz=d(a+ρeiθ)=ρieiθdθdz = d(a + \rho e^{i \theta}) = \rho i e^{i \theta} d\thetadz=d(a+ρeiθ)=ρieiθdθ。代入到积分中，
I=∫02π1ρeiθρieiθdθ=i∫02πdθ=2πi .\mathcal{I} = \int_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i \theta}} \rho i e^{i \theta} d\theta = i \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi i\, . I=∫02πρeiθ1ρieiθdθ=i∫02πdθ=2πi.
这个积分结果同样与圆周的半径 ρ\rhoρ 无关。总结起来，
12πi∮∣z−a∣=ρ1z−adz=1 ,\frac{1}{2\pi i} \oint_{|z-a|=\rho} \frac{1}{z - a} dz = 1 \, , 2πi1∮∣z−a∣=ρz−a1dz=1,
这是一个后面经常用的重要结论。
设 C={z∈C ∣ ∣z∣=ρ}C = \{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z| = \rho\}C={z∈C∣∣z∣=ρ} 是一个半径 ρ>0\rho > 0ρ>0 的圆周，考虑积分
I=∮Czˉdz .\mathcal{I} = \oint_C \bar z dz \, . I=∮Czˉdz.
同样利用参数方程 z(θ)=ρeiθz(\theta) = \rho e^{i \theta}z(θ)=ρeiθ。此时积分
∮ρe−iθρieiθdθ=∫02πρ2idθ=ρ22πi .\oint \rho e^{- i \theta} \rho i e^{i \theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \rho^2 i d\theta = \rho^2 2\pi i\, . ∮ρe−iθρieiθdθ=∫02πρ2idθ=ρ22πi.
半径依赖
这一次的积分与 ρ\rhoρ 有明显关系。对比之前的结果，差别在哪里？
I=∮Czˉndz ,n≠1 .\mathcal{I} = \oint_C \bar z^n dz \, , \qquad n \ne 1\, . I=∮Czˉndz,n=1.
∮ρne−niθρieiθdθ=∫02πρne−i(n−1)θidθ=0 .\oint \rho^n e^{- n i \theta} \rho i e^{i \theta}d\theta = \int_0^{2\pi} \rho^n e^{-i (n - 1) \theta} i d\theta = 0\, . ∮ρne−niθρieiθdθ=∫02πρne−i(n−1)θidθ=0.
设 C={z∈C∣∣z∣=1}C =\{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}C={z∈C∣∣z∣=1} 是一个单位逆时针圆周。计算
I=∮Cdzz2 .\mathcal{I} = \oint_C \frac{dz}{z^2} \, . I=∮Cz2dz.
利用巧妙的 变量替换 计算，u=1/zu= 1/zu=1/z，z−2=u2z^{-2} = u^2z−2=u2
dz=d(1/u)=−1u2du .dz = d(1/u) = - \frac{1}{u^2} du \, . dz=d(1/u)=−u21du.
I=∮(∣u∣=1)−u2(−1u2)du=−∮(∣u∣=1)−du=0 .\mathcal{I} = \oint_{(|u| = 1)^-} u^2 \bigg(-\frac{1}{u^2}\bigg) du = - \oint_{(|u| = 1)^-} du = 0 \, . I=∮(∣u∣=1)−u2(−u21)du=−∮(∣u∣=1)−du=0.
∮∣z∣=1dz∑k=0nanzn=0 .\oint_{|z| = 1} dz \sum_{k = 0}^{n} a_n z^n = 0 \, . ∮∣z∣=1dzk=0∑nanzn=0.
Cauchy 积分定理：设 f(z)f(z)f(z) 在 单连通 区域 DDD 内部 解析，以及任意围线 C⊂DC \subset DC⊂D，则
∮Cf(z)dz=0 .\oint_C f(z) dz = 0 \, . ∮Cf(z)dz=0.
∮∂Df(z)dz=0 .\oint_{\partial D} f(z) dz = 0 \, . ∮∂Df(z)dz=0.
特殊情况的证明
∮Cf(z)dz= ∮C(udx−vdy)+i∮C(udy+vdx)= −∮D′(∂v∂x+∂u∂y)dxdy+i∫D′(∂u∂x−∂v∂y)=0 .\begin{align*} \oint_C f(z) dz = & \, \oint_{C} (udx - vdy) + i\oint_C (udy + vdx) \\ = & \, - \oint_{D'} \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right) dx dy + i \int_{D'} \left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right) \orange{= 0} \, . \end{align*} ∮Cf(z)dz==∮C(udx−vdy)+i∮C(udy+vdx)−∮D′(∂x∂v+∂y∂u)dxdy+i∫D′(∂x∂u−∂y∂v)=0.
单连通
单连通是为了保证围道所围区域 D′D'D′ 内 fff 都是 解析 的。
∣f(z)−f(z0)∣<ϵ .|f(z) - f(z_0)| < \epsilon \, . ∣f(z)−f(z0)∣<ϵ.
连续的直观理解
只要 zzz 与 z0z_0z0 「足够接近」(以 δϵ,z0\delta_{\epsilon, z_0}δϵ,z0 为标准)，则 f(z)f(z)f(z) 值必然与 f(z0)f(z_0)f(z0) 足够接近 (以 ϵ\epsilonϵ 为标准)。
关键：「足够接近」的标准 δϵ,z0\delta_{\epsilon, z_0}δϵ,z0 与 z0z_0z0 有关，会随着 z0z_0z0 变动。
对上述连续的定义进行些许修改，即得如下定义。
定义：f(z)f(z)f(z) 在 闭包 D‾\overline DD 上 一致 (uniformly) 连续 ：设 fff 定义在 D‾\overline DD 上，对于 ∀z0∈D‾\forall z_0 \in \overline D∀z0∈D 以及 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0∀ϵ>0，都 ∃δϵ>0\exists \delta_{\epsilon} > 0∃δϵ>0，使得对 ∀z∈N(z0,δϵ)∩D‾\forall z \in N(z_0, \delta_\epsilon) \cap \overline D∀z∈N(z0,δϵ)∩D 都有
一致连续的直观理解
只要 zzz 距离 z0z_0z0 「足够接近」(以 δϵ\delta_{\epsilon}δϵ 为标准)，则 f(z)f(z)f(z) 值必然与 f(z0)f(z_0)f(z0) 足够接近 (以 ϵ\epsilonϵ 为标准)。
关键点：「足够接近」的标准 δϵ\delta_{\epsilon}δϵ 与 z0z_0z0 无关，全 D‾\overline DD 统一 标准。
一致连续判断定理：若 fff 在区域 DDD 中 连续，则 fff 在 DDD 中任何一个 子闭域 D′‾\overline {D'}D′ 上 一致连续。
用非常多分段的 闭折线/多边形 来近似 围线
用 多项式 近似 一般解析函数
多项式
多项式情况的 Cauchy 积分定理证明已经完成。
刻画上述近似的 误差
利用积分的线性性和路径可加性，逐步简化问题
[曲线f]→[多边形f]→[三角形f]→[无穷小三角形多项式 P]\begin{bmatrix} \text{\small{曲线}} \\ f \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \text{\small{多边形}} \\ f \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \text{\small{三角形}} \\ f \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \text{\small{无穷小三角形}} \\ \text{\small{多项式}} \ P \end{bmatrix} [曲线f]→[多边形f]→[三角形f]→[无穷小三角形多项式 P]
∣∮Cf(z)dz−∮Pf(z)dz∣=∣∑k∫Ckf(z)dz−∑k∫Pkf(z)dz∣= ∣ ∑k[∫Ckf(z)dz−∫Ckf(zk)dz]−∑k[∫Pkf(z)dz−∫Pkf(zk)dz] ∣\begin{align*} & \, \bigg| \oint_C f(z) dz - \oint_P f(z) dz \bigg| = \bigg| \sum_{k} \int_{C_k} f(z) dz - \sum_{k} \int_{P_k} f(z)dz \bigg| \\ = & \, \Bigg| \, \sum_{k} \left[\int_{C_k} f(z) dz - \red{\int_{C_k}f(z_k)dz}\right] - \sum_{k} \left[\int_{P_k} f(z)dz - \red{\int_{P_k}f(z_k)dz}\right] \, \Bigg| \end{align*} =∮Cf(z)dz−∮Pf(z)dz=k∑∫Ckf(z)dz−k∑∫Pkf(z)dzk∑[∫Ckf(z)dz−∫Ckf(zk)dz]−k∑[∫Pkf(z)dz−∫Pkf(zk)dz]
我们希望这个误差越小越好 (小于任意给的精度要求 ϵ\epsilonϵ)，为此我们希望取足够 密 的分割点。
利用 fff 在 D′‾\overline{D'}D′ 上的一致连续性，可以确立「足够密」的标准。
由 一致连续性，对任意给定精度要求 ∀ϵ\forall \epsilon∀ϵ，必然 ∃δϵ>0\exists \delta_\epsilon > 0∃δϵ>0，使得只要 ∣z−zk∣<δϵ|z - z_k| < \delta_\epsilon∣z−zk∣<δϵ，都有 ∣f(z)−f(zk)∣<ϵ|f(z) - f(z_k)| < \epsilon∣f(z)−f(zk)∣<ϵ。
一致性
这个“工艺标准” δϵ\delta_\epsilonδϵ 与 zzz 无关，在整个 D′‾\overline{D'}D′ 上都适用。
∣f(z)−f(zk)∣<ϵ .|f(z) - f(z_k) | < \epsilon \, . ∣f(z)−f(zk)∣<ϵ.
∣∮Cf(z)dz−∮Pf(z)dz∣< ∑k[∫Ck∣f(z)−f(zk)∣∣dz∣]+∑k[∫Pk∣f(z)−f(zk)∣∣dz∣]< ∑k[ϵ∫Ck∣dz∣⏟L(Ck)+ϵ∫Pk∣dz∣⏟L(Pk)<L(Ck)]<2L(C)ϵ .\begin{align*} & \, \bigg| \oint_C f(z) dz - \oint_P f(z) dz \bigg| \\ < & \, \sum_{k} \left[\int_{C_k} \Big|f(z) - f(z_k)\Big| \Big|dz\Big|\right] + \sum_{k} \left[\int_{P_k} \Big|f(z) - f(z_k)\Big| \Big|dz\Big|\right] \\ < & \, \sum_{k} \bigg[\epsilon \underbrace{\int_{C_k} \Big|dz\Big|}_{L(C_k)} + \epsilon \underbrace{\int_{P_k} \Big|dz\Big|}_{L(P_k) < L(C_k)} \bigg] < 2 L(C) \epsilon \, . \end{align*} <<∮Cf(z)dz−∮Pf(z)dzk∑[∫Ckf(z)−f(zk)dz]+k∑[∫Pkf(z)−f(zk)dz]k∑[ϵL(Ck)∫Ckdz+ϵL(Pk)<L(Ck)∫Pkdz]<2L(C)ϵ.
IP≔∮Pf(z)dz .\mathcal{I}_P \coloneqq \oint_P f(z) dz \ . IP:=∮Pf(z)dz .
路径可加性：多边形积分可以用 三角形积分 叠加而成
IP=∑k∮Δkf(z)dz .\mathcal{I}_P = \sum_{k} \oint_{\Delta_k} f(z) dz \ . IP=k∑∮Δkf(z)dz .
内部抵消
内部辅助线的积分总是会 抵消。
可惜，有限大三角形的 任意 fff 积分还是 不会算
知之为知之，不知为不知，是知也。
——孔子《论语·为政》
碰到不会的问题，要大大方方理直气壮地承认
然后想方设法把不会的问题转化为会的问题。
任何一个三角形 Δ\DeltaΔ 都可以细分为四个 子三角形
IΔ=∑k=14∮Δkf(z)dz .\mathcal{I}_\Delta = \sum_{k = 1}^{4} \oint_{\Delta_k} f(z) dz \ . IΔ=k=1∑4∮Δkf(z)dz .
∣IΔ∣≤∑k=14∣∮Δkf(z)dz∣≤4×∣∮Δ(1)f(z)dz∣=4∣IΔ(1)∣ .\Big| \mathcal{I}_\Delta \Big| \le \sum_{k = 1}^4 \bigg| \oint_{\Delta_k}f(z) dz \bigg| \le \purple{4 \times} \bigg| \oint_{\Delta^{(1)}} f(z) dz \bigg| = 4 \Big|\mathcal{I}_{\Delta^{(1)}} \Big| \ . IΔ≤k=1∑4∮Δkf(z)dz≤4×∮Δ(1)f(z)dz=4IΔ(1) .
∣IΔ(1)∣≤4∣IΔ(2)∣ .\Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(1)}} \Big| \le 4 \Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(2)}} \Big| \ . IΔ(1)≤4IΔ(2) .
∣IΔ(2)∣≤4∣IΔ(3)∣,⋯ ,∣IΔ(n)∣≤4∣IΔ(n+1)∣ .\Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(2)}} \Big| \le 4 \Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(3)}} \Big|, \quad \cdots, \quad \Big|\mathcal{I}_{\Delta^{(n)}} \Big| \le 4 \Big|\mathcal{I}_{\Delta^{(n + 1)}} \Big| \ . IΔ(2)≤4IΔ(3),⋯,IΔ(n)≤4IΔ(n+1) .
∣IΔ∣≤4n∣IΔ(n)∣ .\Big| \mathcal{I}_\Delta \Big| \le 4^n \Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(n)}} \Big| \ . IΔ≤4nIΔ(n) .
f(z)∼f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗)\purple{f(z) \sim f(z_*) + f'(z_*)(z - z_*)} f(z)∼f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗)
一阶近似的误差
f′(z∗)=limz→z∗f(z)−f(z∗)z−z∗ .f'(z_*) = \lim_{z \to z_*} \frac{f(z) - f(z_*)}{z - z_*} \ . f′(z∗)=z→z∗limz−z∗f(z)−f(z∗) .
可导 说明对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0∀ϵ>0，总是 存在 δϵ>0\delta_{\epsilon} > 0δϵ>0，使得对任意 z∈N(z∗,δϵ)z \in N(z_*, \delta_\epsilon)z∈N(z∗,δϵ)，都有
∣f(z)−f(z∗)z−z∗−f′(z∗)∣≤ϵ .\bigg| \frac{f(z) - f(z_*)}{z - z_*} - f'(z_*) \bigg| \le \epsilon \ . z−z∗f(z)−f(z∗)−f′(z∗)≤ϵ .
将分母 ∣z−z∗∣|z - z_*|∣z−z∗∣ 移到右边，得到非常小的误差，
∣f(z)−f(z∗)−f′(z∗)(z−z∗)∣≤ϵ∣z−z∗∣ .\bigg| \purple{f(z) - f(z_*) - f'(z_*)(z - z_*)} \bigg| \le \orange{\epsilon |z - z_*|} \ . f(z)−f(z∗)−f′(z∗)(z−z∗)≤ϵ∣z−z∗∣ .
注意，只要 nnn 足够大，必然有 Δn⊂N(z∗,δϵ)\Delta_n \subset N(z_*, \green{\delta_\epsilon})Δn⊂N(z∗,δϵ)。
∣IΔ(n)∣= ∣∮Δ(n)f(z)dz∣= ∣∮Δ(n)[f(z)−(f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗))]dz∣三角不等式≤ ∮Δ(n)∣f(z)−(f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗))∣∣dz∣≤ ∮Δ(n)∣ϵ(z−z∗)∣∣dz∣∣z−z∗∣<L(Δ(n))⇒≤ ϵL(Δ(n))⏟2−nL(Δ)L(Δ(n))=ϵ2−2nL(Δ)2 .\begin{align*} \orange{\Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(n)}} \Big|} = & \ \bigg| \oint_{\Delta^{(n)}} f(z) dz\bigg| \\ = & \ \bigg| \oint_{\Delta^{(n)}} \Big[f(z) - \red{(f(z_*) + f'(z_*) (z - z_*))}\Big] dz\bigg| \\ \gray{\text{三角不等式}}\le & \ \oint_{\Delta^{(n)}} \Big|f(z) - (f(z_*) + f'(z_*) (z - z_*))\Big| \Big|dz \Big| \\ \le & \ \oint_{\Delta^{(n)}} \Big|\orange{\epsilon (z - z_*)}\Big| \Big|dz \Big| \\ \gray{|z - z_*| < L(\Delta^{(n)})\Rightarrow}\le & \ \epsilon \underbrace{L(\Delta^{(n)})}_{\orange{2^{-n} L(\Delta)}} L(\Delta^{(n)}) = \orange{\epsilon 2^{-2n}L(\Delta)^2} \ . \end{align*} IΔ(n)==三角不等式≤≤∣z−z∗∣<L(Δ(n))⇒≤ ∮Δ(n)f(z)dz ∮Δ(n)[f(z)−(f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗))]dz ∮Δ(n)f(z)−(f(z∗)+f′(z∗)(z−z∗))dz ∮Δ(n)ϵ(z−z∗)dz ϵ2−nL(Δ)L(Δ(n))L(Δ(n))=ϵ2−2nL(Δ)2 .
∣IΔ∣≤4n∣IΔ(n)∣≤4nϵ2−2nL(Δ)2=ϵL(Δ)2\Big| \mathcal{I}_\Delta \Big| \le 4^n \orange{\Big| \mathcal{I}_{\Delta^{(n)}} \Big|} \le 4^{n} \orange{\epsilon 2^{-2n} L(\Delta)^2} = \epsilon L(\Delta)^2 IΔ≤4nIΔ(n)≤4nϵ2−2nL(Δ)2=ϵL(Δ)2
∣IP∣=0 .\bigg|\mathcal{I}_P \bigg| = 0 \ . IP=0 .
∣∮Cf(z)dz∣=0 .\bigg|\oint_C f(z) dz \bigg| = 0 \ . ∮Cf(z)dz=0 .
定理：若 f(z)f(z)f(z) 在 单连通 区域 DDD 内解析，任取 z1,z2∈Dz_1, z_2 \in Dz1,z2∈D，以及曲线 C⊂DC \subset DC⊂D 连接 z1,z2z_1, z_2z1,z2，则积分
∫Cf(z)dz\int_C f(z) dz ∫Cf(z)dz
与 CCC 的具体选取 无关，可以直接记做 ∫z1z2f(z)dz\int_{z_1}^{z_2} f(z) dz∫z1z2f(z)dz。
I≔∫Cf(z)dz .\mathcal{I} \coloneqq \int_C f(z) dz \ . I:=∫Cf(z)dz .
定理：设 f(z)f(z)f(z) 在 单连通 区域 DDD 内解析，考虑任意 z,z0∈Dz, z_0 \in Dz,z0∈D 以及从 z0z_0z0 到 zzz 的简单曲线 C⊂DC \purple{\subset D}C⊂D，可以定义在 DDD 内解析的 变上限积分
Φ(z)≔∫Cf(w)dw ,s.t. Φ′(z)=f(z)\begin{align*} \Phi(z) \coloneqq \int_C f(w) dw \ , \qquad \text{s.t.}~\Phi'(z) = f(z) \end{align*} Φ(z):=∫Cf(w)dw ,s.t. Φ′(z)=f(z)
路径无关性
变上限积分可以看成是以 zzz 为自变量 的函数，与 CCC 的具体选择 无关，而且是 解析函数，Φ(z)′=f(z)\Phi(z)' = f(z)Φ(z)′=f(z)。这种情况下，以后我们直接把上述积分写成
Φ(z)=∫z0zf(z)dz\Phi(z) = \displaystyle\int_{z_0}^{z} f(z) dzΦ(z)=∫z0zf(z)dz 不强调 积分路径
单连通区域里的变上限积分与路径 无关
定义：设函数 f(z)f(z)f(z) 在 单连通 或 复连通 区域 DDD 中解析，若函数 Φ(z)\Phi(z)Φ(z) 满足
Φ′(z)=f(z)\Phi'(z) = f(z) Φ′(z)=f(z)
则称 Φ(z)\Phi(z)Φ(z) 为 f(z)f(z)f(z) 的 不定积分/原函数。
变上限积分
显然，单连通解析区域中定义的变上限积分作为 zzz 的函数，是一个原函数
单连通复连通
原函数在单连通和复连通区域都可以定义。
不唯一性
与实变函数的原函数类似，给定 f(z)f(z)f(z)，其原函数并 不唯一；任何两个原函数必然相差 某个复常数，于是任意原函数必然是变上限积分 +++ 任意常数
解析性与原函数存在性
后面会介绍，若 f(z)f(z)f(z) 本身不解析，则 f(z)f(z)f(z) 没有原函数。
一个实变函数 就算不是处处可导，它也依然 可以 具有原函数。但是，复变函数中，原函数的存在性 更加苛刻，需要 f(z)f(z)f(z) 本身具有解析性。
∫z0zf(z)dz=Φ(z)−Φ(z0) .\int_{z_0}^z f(z) dz = \Phi(z) - \Phi(z_0) \ . ∫z0zf(z)dz=Φ(z)−Φ(z0) .
若 复连通 DDD 是 f(z)f(z)f(z) 解析区域，则 变上限积分
∫z0zf(z)dz\displaystyle \int_{z_0}^z f(z) dz∫z0zf(z)dz 可能是 zzz 的 多值 原函数
该值可能 依赖 具体的 z0→zz_0 \to zz0→z 的路径 CCC。
对于复连通解析区上的 原函数 Φ\PhiΦ，以及“变上限积分”，可以通过设置原函数的 割线 来使用牛顿-莱布尼兹公式，
不同割线
Φ\PhiΦ 的割线设置不唯一，且割线的选择与 z0→zz_0 \to zz0→z 的合法路径 相互锁定。
割线变动，会导致左边发生改变，右边也同时发生改变，从而保证等式总是成立。
例子：f(z)=z−1f(z) = z^{-1}f(z)=z−1 的解析区是 复连通 的 D=C−{0}D = \mathbb{C} - \{0\}D=C−{0}。在 DDD 中 f(z)f(z)f(z) 有原函数 Φ(z)=lnz+const\Phi(z) = \ln z + \text{const}Φ(z)=lnz+const。显然 lnz\ln zlnz 是 多值 函数。考虑积分
∫z0z1zdz .\int_{z_0}^{z} \frac{1}{z} dz \ . ∫z0zz1dz .
积分路径可以有不同选择，分别从左边到右边过去。
积分从 左侧 过去，走单位半圆路径，辐角逐渐 减小，
∫CL1zdz=∫2πk+3π22πk+π2e−iθdeiθ=i∫2πk+3π22πk+π2dθ=−πi .\int_{C_L} \frac{1}{z} dz = \int_{2\pi k + \frac{3\pi}{2}}^{2\pi k + \frac{\pi}{2}} e^{-i \theta} de^{i \theta} = i \int_{2\pi k + \frac{3\pi}{2}}^{2\pi k+\frac{\pi}{2}} d\theta = - \pi i \ . ∫CLz1dz=∫2πk+23π2πk+2πe−iθdeiθ=i∫2πk+23π2πk+2πdθ=−πi .
多值原函数 Φ(z)=lnz+const\Phi(z) = \ln z + \text{const}Φ(z)=lnz+const 的割线应当从右侧平面走 (避开积分路径 CLC_LCL)，从而有牛顿-莱布尼兹律
∫CL1zdz=Φ(+i)−Φ(−i)=ln(i)−ln(−i)=−πi .\int_{C_L}\frac{1}{z}dz = \Phi(+i) - \Phi(-i) = \ln(i) - \ln(-i) = - \pi i \ . ∫CLz1dz=Φ(+i)−Φ(−i)=ln(i)−ln(−i)=−πi .
(2) 积分从 右侧 过去，走单位半圆路径，辐角逐渐 增加，
∫CR1zdz=πi .\int_{C_R} \frac{1}{z} dz = \pi i\ . ∫CRz1dz=πi .
多值原函数 Φ(z)=lnz+const\Phi(z) = \ln z + \text{const}Φ(z)=lnz+const 的割线应当从左侧平面走 (避开积分路径 CRC_RCR)，从而有牛顿-莱布尼兹律
∫CR1zdz=Φ(+i)−Φ(−i)=ln(i)−ln(−i)=+πi .\int_{C_R}\frac{1}{z}dz = \Phi(+i) - \Phi(-i) = \ln(i) - \ln(-i) = + \pi i \ . ∫CRz1dz=Φ(+i)−Φ(−i)=ln(i)−ln(−i)=+πi .
考虑复连通区域 DDD，记边界 ∂D=C0−C1−C2⋯\partial D = C_0 - C_1 - C_2 \cdots∂D=C0−C1−C2⋯，其中 CiC_iCi 且 C1,2,⋯C_{1, 2, \cdots}C1,2,⋯ 位于在 C0C_0C0 内部
注意内边界的方向：区域内部在前进方向的“左侧”
复连通 Cauchy 积分定理：设 f(z)f(z)f(z) 在 复连通 DDD 内 解析，在 D‾\overline{D}D 上 连续，则
∮∂Df(z)dz=(∮C0−∮C1−∮C2−⋯ )f(z)dz=0 .\oint_{\partial D} f(z) dz = \left(\oint_{C_0} - \oint_{C_1} - \oint_{C_2} - \cdots\right) f(z) dz = 0 \ . ∮∂Df(z)dz=(∮C0−∮C1−∮C2−⋯)f(z)dz=0 .
闭包上解析
「在 DDD 内解析，在 D‾\overline{D}D 上连续」也简称为 在 D‾\overline{D}D 上解析。
证明
复连通 Cauchy 积分定理的证明可以通过对 DDD 切割来完成。通过切割，可以把 DDD 分为几个单连通区域的并。
后面的讨论会反复涉及这个结论
C1∼C∼C0C_1 \sim C \sim C_0C1∼C∼C0
C0∼C∼C1+C2C_0 \sim C \sim C_1 + C_2C0∼C∼C1+C2
C1∼C0−C2C_1 \sim C_0 - C_2C1∼C0−C2
Cauchy 积分公式：设 f(z)f(z)f(z) 在 单 连通或 复 连通区域 DDD 中解析且在 D‾\overline{D}D 上连续，则对 ∀z∈D\forall z \in D∀z∈D 有
f(z)=12πi∮∂Df(ζ)ζ−zdζ .f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \ . f(z)=2πi1∮∂Dζ−zf(ζ)dζ .
两个点
Cauchy 积分公式涉及两个点，zzz 与 ζ\zetaζ。其中 z∈Dz \in Dz∈D 而 ζ∈∂D\zeta \in \partial Dζ∈∂D。
复连通边界
若 DDD 是复连通，这个 Cauchy 积分公式依然成立，但是注意 ∂D\partial D∂D 由 几段 不交围道组成。
Cauchy 积分定理与公式
尽管表述有差别，Cauchy 积分公式等价于之前的 Cauchy 积分定理。
刚性
Cauchy 积分公式说明，解析区 内部 的函数值 f(z)f(z)f(z) 完全由 fff 在解析区 边界 ∂D\partial D∂D 的值确定。与之对比，实 光滑函数在确定端点值后，定义域内的函数值是 非常自由 的，体现了复解析性的相对 刚性。
计算如下积分，其中 C={z∈C ∣ ∣z−a∣=1, a∈R−{0,±2}}C = \{z \in \mathbb{C} \ | \ |z - a| = 1, \ a \in \mathbb{R} - \{0, \pm 2\}\}C={z∈C ∣ ∣z−a∣=1, a∈R−{0,±2}},
I=∮C1z2−1dz .\mathcal{I} = \oint_C \frac{1}{z^2 - 1} dz \ . I=∮Cz2−11dz .
参数 aaa 的值未定，要分类讨论。显然被积函数的奇点为 z=±1z = \pm 1z=±1。注意有因式分解
1z2−1=1z+1⋅1z−1=1/(z−1)z+1=1/(z+1)z−1 .\frac{1}{z^2 - 1} = \frac{1}{z + 1} \cdot \frac{1}{z - 1} = \frac{1/(z - 1)}{z + 1} = \frac{1/(z + 1)}{z - 1}\ . z2−11=z+11⋅z−11=z+11/(z−1)=z−11/(z+1) .
(1) 当 a>2a > 2a>2, 显然整个被积函数在 CCC 内解析，利用 Cauchy 积分 定理，可以得到 I=0\mathcal{I} = 0I=0。
计算如下积分，其中 C={z∈Z ∣ ∣z−a∣=1, a∈R−{0,±2}}C = \{z \in \mathbb{Z} \ | \ |z - a| = 1, \ a \in \mathbb{R} - \{0, \pm 2\}\}C={z∈Z ∣ ∣z−a∣=1, a∈R−{0,±2}},
(2) 当 0<a<20 < a < 20<a<2，此时函数 (z+1)−1(z + 1)^{-1}(z+1)−1 在 CCC 内解析，可以用 Cauchy 积分公式，
I=∮C(z+1)−1z−1dz=(2πi)[1z+1]z=1=πi .\mathcal{I} = \oint_C \frac{(z + 1)^{-1}}{z - 1} dz = (2\pi i) \left[\frac{1}{z + 1}\right]_{z = 1} = \pi i\ . I=∮Cz−1(z+1)−1dz=(2πi)[z+11]z=1=πi .
(3) 当 −2<a<0-2 < a < 0−2<a<0，此时函数 (z−1)−1(z - 1)^{-1}(z−1)−1 在 CCC 内解析，可以用 Cauchy 积分公式，
I=∮C(z−1)−1z+1dz=(2πi)[1z−1]z=−1=−πi .\mathcal{I} = \oint_C \frac{(z - 1)^{-1}}{z + 1} dz = (2\pi i) \left[\frac{1}{z - 1}\right]_{z = - 1} = - \pi i\ . I=∮Cz+1(z−1)−1dz=(2πi)[z−11]z=−1=−πi .
(4) 最后 a<−2a < -2a<−2 时的讨论与 a>2a > 2a>2 基本一样。
f(z)=12πi∮−Cf(ζ)ζ−zdζ .f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{-C} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \ . f(z)=2πi1∮−Cζ−zf(ζ)dζ .
衰减
fff 衰减得足够快的标准是，对 ∀ϵ>0\forall \epsilon > 0∀ϵ>0 都 ∃Rϵ>0\exists R_\epsilon > 0∃Rϵ>0，使得 只要 ∣z∣>Rϵ|z| > R_\epsilon∣z∣>Rϵ 就有 ∣f(z)∣<ϵ|f(z)| < \epsilon∣f(z)∣<ϵ。
符号
注意此时围线选择是 −C-C−C，即沿 顺时针 方向积分。
Cauchy 积分公式有如下的推广
高阶导数积分公式：设 fff 在 单连通 或 复连通 区域 DDD 内解析、D‾\overline{D}D 上连续，则对 ∀z∈D\forall z \in D∀z∈D，都有
f(n)(z)=n!2πi∮∂Df(ζ)(ζ−z)n+1dζ ,n=1,2,⋯ .f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}} d\zeta \ , \quad n = 1, 2, \cdots . f(n)(z)=2πin!∮∂D(ζ−z)n+1f(ζ)dζ ,n=1,2,⋯.
可导与无穷阶可导
函数 fff 在 D‾\overline{D}D 上解析，则 fff 在 ∂D\partial D∂D 的值就确定了，由上述公式可以得到 DDD 内任意阶导数 f(n)(z)f^{(n)}(z)f(n)(z)，因此 fff 的解析性实际上暗示 fff 在 DDD 内 无穷阶可导。
定义：全 C\mathbb{C}C 解析的函数称为 整函数
Liouville 定理：有界 整函数必然 常 函数。
有界性
如果去掉有界性限制，则存在 非常 (non-constant) 数整函数，比如 sinz\sin zsinz，eze^zez
这些函数必然 无界，在某个方向值逐渐趋于无穷大。
调和函数
在一般维度有类似结论：Rn\mathbb{R}^nRn 上的 有界 调和 函数必然为 常数。
设 f(z)f(z)f(z) 是 C\mathbb{C}C 上解析函数，且满足如下周期性条件，
f(z+1)=f(z+i)=f(z) ,∀z∈C .f(z + 1) = f(z + i) = f(z) \ , \qquad \forall z \in \mathbb{C} \ . f(z+1)=f(z+i)=f(z) ,∀z∈C .
则 f(z)f(z)f(z) 必然是常数。
环面
周期性条件说明 fff 是环面上的解析函数。
无界性：非常 整函数的函数值分布必然无限延展
Picard 小定理：设 f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}f:C→C 是 整函数，且 非 常函数。则 fff 的像集 {f(z) ∣ z∈C}\{f(z) \ | \ z \in \mathbb{C}\}{f(z) ∣ z∈C} 要么是 C\mathbb{C}C，要么是 C\mathbb{C}C 减去 1 个点。要是像集 缺少 2 个或以上点，则 fff 必然是 常函数。
例子
例子：eze^zez 的像集是 C−{0}\mathbb{C} - \{0\}C−{0}；sinz\sin zsinz 的像集是 C\mathbb{C}C。