\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{aaaaaa}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}
∇2u(r)+k2u(r)=f(r)\nabla^2 u(\mathbf{r}) + k^2 u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) ∇2u(r)+k2u(r)=f(r)
∇2u(r)=f(r)\nabla^2 u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) ∇2u(r)=f(r)
∇2u(r)=0\nabla^2 u(\mathbf{r}) = 0 ∇2u(r)=0
主角
∇2=∂2∂x12+⋯+∂2∂xn2\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 }{\partial x_n^2} ∇2=∂x12∂2+⋯+∂xn2∂2
这个表达式只适用于 直角/笛卡尔坐标系 (x1,⋯ ,xn)(x_1, \cdots, x_n)(x1,⋯,xn)
~
仔细分析 ∇2\nabla^2∇2 本身 →\to→ PDE 求解方法 1：分离变量 →\to→ 二阶线性常微分方程
→\to→ 常点和正则奇点的级数解 →\to→ Sturm-Liouville 理论
→\to→ 特殊函数 (Pℓ, Pℓm, Yℓm; Jν, NνP_\ell, ~ P_\ell^m, ~ Y_{\ell m}; ~ J_\nu, ~ N_\nuPℓ, Pℓm, Yℓm; Jν, Nν) 及其性质
PDE 求解方法 2：格林函数
PDE 求解方法 3：傅里叶变换
在不同维度、不同坐标系中表达 ∇2\nabla^2∇2
直角坐标、极坐标、球坐标、柱坐标
∇2\nabla^2∇2 不是简单的坐标二阶导数的和，必须要考虑坐标系的 度量系数
hi=∣∂r∂qi∣h_i = \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \bigg| hi=∂qi∂r
∇2=1ρ∂∂ρ(ρ∂∂ρ)+1ρ2∂2∂φ2\nabla^2 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} ∇2=ρ1∂ρ∂(ρ∂ρ∂)+ρ21∂φ2∂2
∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂∂θ)+1r2sin2θ∂2∂φ2\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} ∇2=r21∂r∂(r2∂r∂)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂)+r2sin2θ1∂φ2∂2
∇2=1ρ∂∂ρ(ρ∂∂ρ)+1ρ2∂2∂φ2+∂2∂z2\nabla^2 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} ∇2=ρ1∂ρ∂(ρ∂ρ∂)+ρ21∂φ2∂2+∂z2∂2
重点关注 (齐次) 稳定场方程与亥姆赫兹方程
在不同坐标系下，假设解的形式
三维空间做两次分离变量 ⇒\Rightarrow⇒ 两个分离常数
分离常数的物理取值范围由各种边界条件约束
产物：各个方向的二阶线性常微分方程
y′′+P(x)y′(x)+Q(x)y(x)=0y'' + P(x)y'(x) + Q(x) y(x) = 0 y′′+P(x)y′(x)+Q(x)y(x)=0
有的方程容易：
X′′(x)+λX(x)=0X''(x) + \lambda X(x) = 0 X′′(x)+λX(x)=0
Φ′′(φ)+μΦ(φ)=0 \Phi''(\varphi) + \mu \Phi(\varphi) = 0 Φ′′(φ)+μΦ(φ)=0
Z′′(z)−λZ(z)=0 Z''(z) - \lambda Z(z) = 0 Z′′(z)−λZ(z)=0
物理边界条件：刻画系统与外界的耦合方式和强度
如指定弦端点自由或者固定，指定边界上的热流密度，指定 DDD 区域的边界电势 u∣∂D=φ0u|_{\partial D} = \varphi_0u∣∂D=φ0
自然边界条件：来自物理可观测量的“单值性”，“良定性”，“有限性”
直接求解很难：寻找级数解
两类关键点：展开中心 x0x_0x0 与求解区域边界 a,ba, ba,b
展开中心有可能与边界重合：Bessel 方程的正则奇点 x0=0x_0 = 0x0=0 恰好为求解区域 [0,+∞][0, +\infty][0,+∞] 的左侧边界
两种中心：常点与正则奇点
常点：P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 在 x0x_0x0 处解析 正则奇点：P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 在 x0x_0x0 处的极点阶数 分别不超过 1 和 2
常点邻域级数解：总是存在两个线性独立幂级数解
在常点处的初始条件可以唯一确定一个解
也可以用自然边界条件确定一个线性独立解
正则奇点邻域级数解 (Fuch's 定理)：总是存在两个线性独立的级数解 (第一解 y(1)y_{(1)}y(1) 和第二解 y(2)y_{(2)}y(2))，第二解可能包含对数项
“级数解”不一定是“幂级数解”
通过边界条件定解
∑n≥0yn(x−x0)n,∑n≥0yn(x−x0)n+s+(对数项)\sum_{n \ge 0} y_n(x - x_0)^n, \qquad \sum_{n \ge 0} y_n(x - x_0)^{n + s} + \gray{(\small{\text{对数项}})} n≥0∑yn(x−x0)n,n≥0∑yn(x−x0)n+s+(对数项)
y(x)=(x−x0)s+⋯y(x) = (x - x_0)^{s} + \cdots y(x)=(x−x0)s+⋯
(s(s−1)+p−1s+q−2)xs−2+O(xs−1)=0\big(s(s - 1)+ p_{-1} s + q_{-2}\big) x^{s - 2} + O(x^{s-1}) = 0 (s(s−1)+p−1s+q−2)xs−2+O(xs−1)=0
s(s−1)+p−1s+q−2=0⇒s1,s2 s(s - 1)+ p_{-1} s + q_{-2} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad s_1, s_2 s(s−1)+p−1s+q−2=0⇒s1,s2
高阶项系数也要为零，得到 yny_nyn 递推关系
方程各阶各司其职：领头阶负责指标 sss，高阶负责系数 yny_nyn
两个指标 s1,s2s_1, s_2s1,s2 分别负责第一解和第二解
第一解：y(1)(x)=∑n=0+∞yn(x−x0)n+s1\small{\text{第一解：}}\purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n (x - x_0)^{n + s_1} 第一解：y(1)(x)=n=0∑+∞yn(x−x0)n+s1
第二解：y(2)(x)=∑n=0+∞yn′(x−x0)n+s2+βy(1)(x)ln(x−x0)\small{\text{第二解：}}y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \red{y'_n} (x - x_0)^{n + s_2} + \beta \purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} \ln(x - x_0) 第二解：y(2)(x)=n=0∑+∞yn′(x−x0)n+s2+βy(1)(x)ln(x−x0)
y′′(x)−2x1−x2y′+λ1−x2y=0y''(x) - \frac{2x}{1-x^2} y' + \frac{\lambda}{1 - x^2}y = 0 y′′(x)−1−x22xy′+1−x2λy=0
正交归一性
(Pℓ,Pℓ′)=∫−11Pℓ(x)Pℓ′(x)‾dx=22ℓ+1 δℓ,ℓ′(P_\ell, P_{\ell'}) = \int_{-1}^{1} P_\ell(x) \overline{P_{\ell'}(x)} dx = \frac{2}{2\ell + 1} \ \delta_{\ell, \ell'} (Pℓ,Pℓ′)=∫−11Pℓ(x)Pℓ′(x)dx=2ℓ+12 δℓ,ℓ′
注意复共轭，虽然当前 PℓP_\ellPℓ
完备性
f(x)=∑ℓ=0+∞fℓPℓ(x),fℓ=2ℓ+12∫−11f(x)Pℓ(x)dxf(x) = \sum_{\ell = 0}^{+\infty} f_\ell P_\ell(x), \qquad f_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_\ell(x) dx f(x)=ℓ=0∑+∞fℓPℓ(x),fℓ=22ℓ+1∫−11f(x)Pℓ(x)dx
Pℓ(x)=12ℓℓ!dℓdxℓ(x2−1)ℓP_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \ell!} \frac{d^\ell}{dx^\ell} (x^2 - 1)^\ell Pℓ(x)=2ℓℓ!1dxℓdℓ(x2−1)ℓ
11−2xr+r2=∑ℓ=0+∞Pℓ(x)rℓ,∣r∣<1\frac{1}{\sqrt{1 - 2xr + r^2}} = \sum_{\ell = 0}^{+\infty} P_\ell(x) r^\ell, \qquad |r| < 1 1−2xr+r21=ℓ=0∑+∞Pℓ(x)rℓ,∣r∣<1
ddx[(1−x2)dPdx]+(λ−m21−x2)P=0\frac{d}{dx}\bigg[(1 - x^2)\frac{d\mathscr{P}}{dx}\bigg] + \bigg(\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}\bigg)\mathscr{P} = 0 dxd[(1−x2)dxdP]+(λ−1−x2m2)P=0
Pℓm(x)=(1−x2)m2Pℓ(m)(x),m=0,1,2,⋯ ,ℓ≥mP_\ell^m(x) = (1 - x^2)^{\frac{m}{2}} P^{(m)}_\ell(x), \qquad m = 0, 1, 2, \cdots, \quad \ell \ge m Pℓm(x)=(1−x2)2mPℓ(m)(x),m=0,1,2,⋯,ℓ≥m
y′′+1xy′+(1−ν2x2)y=0,Reν≥0y'' + \frac{1}{x} y' + (1 - \frac{\nu^2}{x^2}) y = 0, \qquad \operatorname{Re}\nu \ge 0 y′′+x1y′+(1−x2ν2)y=0,Reν≥0
generic: ν∉12N\nu \not \in \frac{1}{2} \mathbb{N}ν∈21N
最简单
无对数项
半奇数：ν=12,32,52,⋯\nu = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdotsν=21,23,25,⋯
次简单
ν=12\nu = \frac{1}{2}ν=21 最特殊
自然数：ν=0,1,2,⋯\nu = 0, 1, 2, \cdotsν=0,1,2,⋯
最复杂
有对数项
不管 ν\nuν 是何值：都有两个线性独立解
暂时不管满不满足自然边界条件
关键问题：哪两个相互线性独立
Jν,J−ν,NνJ_\nu, \qquad J_{-\nu}, \qquad N_\nu Jν,J−ν,Nν
课上碰到的各种二阶线性常微分方程都可以看成是 Sturm-Liouville 型方程
ddx[k(x)dydx] − q(x)⏟≤0y+λρ(x)⏟≥0y=0\frac{d}{dx} \left[ k(x) \frac{dy}{dx} \right] \ \underbrace{- \ q(x)}_{\red{\le 0}} y + \lambda \underbrace{\rho(x)}_{\ge 0}y = 0 dxd[k(x)dxdy] ≤0− q(x)y+λ≥0ρ(x)y=0
q(x)q(x)q(x) 和 λρ(x)\lambda \rho(x)λρ(x) 项的核心差别：q(x)q(x)q(x) 系数是 非正 的
Sturm-Liouville 型方程 + 合适的边界条件 ⇒\Rightarrow⇒ Sturm-Liouville 本征问题
系数 λ\lambdaλ 称为 本征值 (eigenvalue)，解 y(x)y(x)y(x) 称为 本征函数 (eigenfunction)
0≤λ1<λ2<λ3<⋯→+∞0 \le \lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots \to +\infty 0≤λ1<λ2<λ3<⋯→+∞
y1(x),y2(x),y3(x),⋯y_1(x), \qquad y_2(x), \qquad y_3(x), \qquad \cdots y1(x),y2(x),y3(x),⋯
(ym,yn)=∫abym(x)‾yn(x)ρ(x)dx=0,m≠n(y_m, y_n) = \int_a^b \overline{y_m(x)}y_n(x) \rho(x) dx = 0, \qquad m \ne n (ym,yn)=∫abym(x)yn(x)ρ(x)dx=0,m=n
讲义里提到亥姆赫兹和拉普拉斯方程，但只详细介绍了较为简单的拉普拉斯方程
∇2u=0\nabla^2 u = 0 ∇2u=0
球坐标 + 轴对称：R(r)H(θ)Φ(φ)R(r)H(\theta)\Phi(\varphi)R(r)H(θ)Φ(φ)
r2R′′(r)+2rR′−ℓ(ℓ+1)R=0r^2R ''(r) + 2r R' - \ell(\ell+1)R = 0 r2R′′(r)+2rR′−ℓ(ℓ+1)R=0
R(r)R(r)R(r)：rℓ,r−(ℓ+1)r^\ell, r^{-(\ell + 1)}rℓ,r−(ℓ+1)，ℓ=0,1,2,⋯\ell = 0, 1, 2, \cdotsℓ=0,1,2,⋯
H(θ)H(\theta)H(θ)：Pℓm(cosθ)P^m_\ell(\cos \theta)Pℓm(cosθ) (连带 Legendre 函数，第 11 章)
m=−ℓ,−ℓ+1,⋯ ,ℓ−1,ℓm = - \ell, - \ell + 1, \cdots, \ell - 1, \ellm=−ℓ,−ℓ+1,⋯,ℓ−1,ℓ
Φ(φ)\Phi(\varphi)Φ(φ) eimφe^{i m \varphi}eimφ
mmm 可正可负
Yℓm∼Pℓm(cosθ)e+imφY_{\ell m} \sim P_{\ell}^{m}(\cos \theta)e^{+ i m \varphi}Yℓm∼Pℓm(cosθ)e+imφ
R(ρ)R(\rho)R(ρ)：ρm,ρ−m\rho^m, \rho^{-m}ρm,ρ−m (m=1,2,⋯m = 1, 2, \cdotsm=1,2,⋯)，以及 ρ0,lnρ\rho^0, \ln \rhoρ0,lnρ，求解
ρ2R′′+ρR′−m2R=0\rho^2 R'' + \rho R' - m^2 R = 0 ρ2R′′+ρR′−m2R=0
极坐标看起来比球坐标简单，没有 θ\thetaθ 方向，但 ρ\rhoρ 方向多了两个解：ρ0\rho^0ρ0 以及 lnρ\ln \rholnρ
Φ(φ)\Phi(\varphi)Φ(φ)： e±imφe^{\pm i m \varphi}e±imφ 或者 sinmφ,cosmφ\sin m \varphi, \cos m \varphisinmφ,cosmφ
R(ρ)R(\rho)R(ρ)：贝塞尔方程 (第 12 章)或者欧拉方程解 (第 9 章，ρm,ρ−m,ρ0,lnρ\rho^m, \rho^{-m}, \rho^0, \ln \rhoρm,ρ−m,ρ0,lnρ)
Z(z)Z(z)Z(z)：e±λze^{\pm \sqrt{\lambda} z}e±λz
将 PDE 转化为 ODE，或者把 PDE 转化为代数方程
适用于无限空间的齐次、非齐次微分方程
时间通常在 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 取值，不方便做傅里叶变换
u(r)=1(2π)n/2∫RnU(k)e+ik⋅rdnku(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} U(\mathbf{k}) e^{+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^n \mathbf{k} u(r)=(2π)n/21∫RnU(k)e+ik⋅rdnk
φ(r)=1(2π)n/2∫RnΦ(k)e+ik⋅rdnk\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mathbf{k}) e^{+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^n \mathbf{k} φ(r)=(2π)n/21∫RnΦ(k)e+ik⋅rdnk