数学方程的物理起源

$$\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}$$

偏微分方程

偏微分方程

• 含有 未知函数 及其 偏导数 的方程称为 偏微分方程 (partial differential equation)
• 方程中偏导数最高阶数称为方程的 阶

偏微分方程

• 线性、非线性偏微分方程在物理中无处不在
  • 弦、杆、膜振动、电磁波：波动方程
  • 物质扩散、热传导：扩散方程
  • 稳定场分布：稳场方程
  • 流体运动：Navier-Stokes 方程
  • 时空的演化：爱因斯坦场方程，$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}\mathcal{R} = T_{\mu \nu}$
  • 量子态的演化：薛定谔方程，$i \hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi$
  • 杨-米尔斯规范场经典运动：Yang-Mills 方程 (1954)，

    $$D^\mu F_{\mu \nu} = 0, \qquad \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}D_{\lambda} F_{\mu \nu} = 0$$

偏微分方程

• 本章节主要研究 二元二阶线性 偏微分方程

  $$\sum_{i,j = 1}^2 a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{i = 1}^{2} b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i} + c(x) u + f(x) = 0$$

  其中 $a_{ij}, b, c, f$ 均可以是 $x_1, x_2$ 的函数，$a_{12} = a_{21}$，$a_{ij}$ 不全为零。
  • 若 $f = 0$，则称为 齐次 (homogenous) 方程
  • 若 $f \ne 0$，则称为 非齐次 (inhomogenous) 方程
• 根据 $a, b, c$ 简单分类：椭圆、双曲、抛物型方程。

弦、杆振动

弦振动

• 弦振动在工程、物理中广泛出现
• 斜拉索桥

弦振动

• 弦乐器原理

弦振动

• 弦论

弦的自由横向振动

• 考虑 理想弦 (string)：
  • 材质 均匀，质量线密度 $\rho$
  • 松弛时 柔软，可以沿法方向/横向弯曲但 不产生 内部张力
  • 绷直时张力只沿 切线 方向
  • 张力大小只与该处局部微小形变程度有关
• 令弦绷紧 (微小形变产生内部张力)，沿水平 $x$ 轴放置，两端固定 $x$ 值 $x = 0, \ell$
• 平面内法向/横向 瞬时扰动：弦在 横向 振动
• 自由振动：振动过程 不 对 弦体 施加外力

弦的自由横向振动

• 弦振动时，原本位于 $x$ 处的弦体点沿横向发生偏离，横向位移量记为 $u(x, t)$ (设向上为 正)

  没有纵向位移

  按照假设 没有 沿弦体方向 (纵向) 的位移。

小振动假设

• 假设弦的振动幅度 非常小：

  $$\Big|u(x, t) \Big| \ll \ell, \qquad \Bigg|\frac{\partial u(x, t)}{\partial x} \Bigg| \ll 1$$

  

• 推论：$|\theta(x,t)| \ll 1$

  $$\cos \theta(x, t) = 1 + O(\theta^2), \quad \sin \theta(x, t) \simeq \theta + O(\theta^3) \simeq \green{\tan \theta(x, t)}$$

弦的自由横向振动

• 受力分析：考虑弦体内部 $[x, x + \Delta x]$ 段

弦的自由横向振动

• 分析弦段 局部伸长 情况：利用小振动假设

  $$\Delta s \approx \ \sqrt{\Delta x^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x+\frac{\Delta x}{2}} \Delta x \right)^2} \approx \ \left(1 + \Bigg|\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x + \frac{\Delta x}{2}}\Bigg|\right) \Delta x \approx \Delta x$$

  $\Rightarrow$ 弦基本不伸长，张力 大小 $T(x, t)$ 近似 与 $x, t$ 无关
• 纵向 (弦体方向) 方向受力平衡

  $$T(x + \Delta x)\cos\theta(x + \Delta x, t) = T(x)\cos\theta(x)$$

  $$\Rightarrow T(x + \Delta x, t) = T(x, t)$$

弦的自由横向振动

• 横向 受力分析：牛顿第二定律（注意弦基本不伸长，$T$ 大小处处相等）

  $$\begin{align*} T(x + \Delta x)\sin\theta(x + \Delta x, t) - T(x)\sin\theta(x) \approx \ \rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \Big|_{x + \frac{\Delta x}{2}} \\ T(x + \Delta x)\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x + \Delta x} - T(x)\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x} \approx \ \rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \Big|_{x + \frac{\Delta x}{2}} \\ \frac{1}{\Delta x}\left[T(x + \Delta x)\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x + \Delta x} - T(x)\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x}\right] \approx \ \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \Big|_{x + \frac{\Delta x}{2}} \end{align*}$$

• 取 $\Delta x \to 0$，横向方程

  $$\frac{\partial}{\partial x}\left( T \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$

弦的自由横向振动

• 移项得到 一维波动方程

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0\ , \qquad a^2 = \frac{T}{\rho}$$

  描述弦体 内部 运动，不描述弦两端点

弦的自由横向振动

• 特别的波动解
• 考虑

  $$u(x, t) = \sin(x - at)$$

弦的自由横向振动

• 在 $\Delta t = 1$ 的时间内，波形向右移动了 $a$
• 可以看到波形的向右移动速度

  $$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = a$$

• 因此 $a = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$ 的物理意义是 波速

弦的自由横向振动

• 类似地，$u(x, t) = \sin(x + at)$ 也是解，但是向 左 移动

• 任意下述形式的函数也是解，

  $$u(x, t) = u_+(x + at) + u_-(x - at)$$

  因式分解

  因为有 因式分解

  $$\frac{\partial^2}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial t} + a \frac{\partial}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial}{\partial t} - a \frac{\partial}{\partial x}\right)$$

弦的自由横向振动

• 有时在振动过程中，弦体 沿 横向 受外力作用。
• 比如
  • 弦体较粗，受重力影响显著
  • 弦体带电，放置在强电场中

弦受迫振动

• 有时在振动过程中，弦体 沿 横向 受外力作用。

  

• 力 密度 $f(x,t)$

弦受迫振动

• 弦段 $[x, x+\Delta x]$ 受横向 合力（小振动、恒张力、小角度）

  $$\begin{align*} T \sin \theta(x + \Delta x, t) - T \sin \theta(x, t) + f(x, t) \Delta x\\ \gray{(\sin\theta \sim \tan\theta)}\qquad\to \purple{T \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x + \Delta x} - T \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x} }+ \orange{f(x, t) \Delta x} \end{align*}$$

• 牛顿第二定律

  $$\rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \purple{\frac{\partial}{\partial x}\left(T \frac{\partial u}{\partial x}\right) \Delta x} + f(x, t)\Delta x \\ \gray{\times\frac{1}{\rho\Delta x}}\qquad\Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{f(x,t)}{\rho}$$

d'Alembert 算符

• 令 $a = c$ (真空光速)
• d'Alembert 算符

  $$\square = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

d'Alembert 算符

• 洛伦兹变换

  $$x' = \gamma(x - v t), \quad t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2} x), \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

• 达朗贝尔算符 不变，

  $$\frac{\partial^2}{\partial t'^2} - c^2\frac{\partial^2}{\partial x'^2} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

杆的纵向振动

• 波动方程不仅可以描述弦的小振动
• 也可以描述杆体的小振动

杆的纵向振动

• 考虑均匀细杆，质量体密度 $\rho$
• 静止杆长为 $\ell$
• 静止时杆上 任意一点 可以用坐标 $0 \le x \le \ell$ 标记
• 考虑沿杆体方向（纵向）施加扰动，使其在 纵向 发生 微小 振动

杆的纵向振动

杆的纵向振动

• 由于振动和局部拉伸，杆体内产生 张力强度 $P (x, t)$

杆的纵向振动

• 纵向牛顿第二定律

  $$\rho S \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = SP(x + \Delta x, t) - SP(x, t) \\ \xrightarrow{\Delta x \to 0} \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial P}{\partial x}$$

• 上述方程有两个 未知函数 $u, P$，无法完全求解。

杆的纵向振动

• 胡克 (Hooke) 定律：杆在小振动时的内部 张力强度 $\propto$ 局部 相对 伸长量

  $$\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} Y \approx P(x + \frac{\Delta x}{2}) \xrightarrow{\Delta x \to 0} \orange{Y \frac{\partial u}{\partial x} = P(x)}$$

  其中正值系数 $Y$ 称为 杨氏模量

  绝对 vs 相对

  小段 $\Delta x$ 的绝对伸长量为 $u(x + \Delta x) - u(x)$，相对伸长量为

  $$\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$$

杆的纵向振动

杆的纵向振动

杆的纵向振动

杆的纵向振动

杆的纵向振动

杆的纵向振动

• Hooke 定律与杆体方程联立 $\Rightarrow$ 一维波动方程

  $$\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial P}{\partial x}, \qquad Y \frac{\partial u}{\partial x} = P\\ ~\\ \Rightarrow \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - Y\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

  其中 波速参数

  $$a = \frac{Y}{\rho}$$

杆的纵向振动

• 倘若杆体在振动过程中受 纵向外力 作用，相对体积力密度 $F(x, t)$，则

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{F(x, t)}{\rho} \coloneqq f(x, t)$$

定解条件

• $n$-阶 线性 常 微分方程

  $$\frac{d^n u}{dt^n} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1}u}{dt^{n - 1}} + \ldots + a_0 u = 0$$

• $n$ 个初始条件才可 确定一个解（"定解"）

  $$u(0) = \ldots, \quad u^{(1)}(0) = \ldots , \qquad \ldots \quad u^{(n - 1)}(0) = \ldots$$

• 原因：方程本身有 无穷多解，构成一个 $n$-维 线性空间

定解条件

• 对于线性偏微分方程：全体解构成 无穷维 线性空间
• 需要更强的定解条件。

定解条件

• 波动方程描述弦体、杆体 内部 的运动
• 端点 的运动由别的信息控制：边界条件
• 第一类 (Dirichlet) 边界条件：

  $$\text{齐次}: u(x = 0, t) = 0, \qquad u(x = \ell, t) = 0\\ \text{非齐次}: u(x = 0, t) = \red{u_0(t)}, \qquad u(x = \ell, t) = \red{u_\ell(t)}$$

  • 齐次条件：相应边界/端点被 固定，不振动
  • 非齐次条件：相应端点按照 既定 的方式（$u_0, u_\ell$）运动
  • 端点 完全 不自由

定解条件

• 第一类 (Dirichlet) 边界条件：

  第一类边界条件

  把弦端点连接到（横向）振荡发生器，可以模拟 非齐次 第一类边界条件。

  通过把弦端点上紧、钉死，可以形成 齐次 第一类边界条件。

  

定解条件

• 第二类 (Neumann) 边界条件：给定端点处 $\partial u/\partial x$ 的值
• 考虑 $x = \ell$ 端点附近 的小杆段

定解条件

• 牛顿第二定律

  $$\red{\rho S \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}} = F(t) - \orange{P(\ell - \Delta x, t) S} \\ \orange{\text{胡克定律}}\Rightarrow \red{\rho S \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}} = F(t) - \orange{Y \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x = \ell - \Delta x} S}$$

• 让 $\Delta x \to 0$，左边变成 零，得到 第二类 非齐次 边界条件，

  $$\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x = \ell} = \frac{1}{YS} F(t)$$

  第二类边界条件

  边界所施加的力直接控制边界的局部形变量。

定解条件

• 类似地，可以在 $x = 0$ 端施加（向左）力 $F(t)$，

  $$\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x = 0} = \orange{-} \frac{1}{YS}F(t)$$

• 倘若一端 (如 $x = \ell$ 端) 受外力为 零，则有第二类 齐次 边界条件，

  $$\frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{x = \ell} = 0$$

  完全自由

  第二类齐次边界条件描述端点不受力，完全自由 的情况。

定解条件

• 把第一类和第二类边界条件结合起来，形成第三类边界条件

• 比如，轻杆的 $x = \ell$ 端点连接一根弹性系数为 $k$ 的弹簧，静止不振动时弹簧平衡，

  $$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{YS} \purple{( - F(t))} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{YS} \purple{k u \bigg|_{x = \ell}} = 0$$

  弹簧力

  相当于推导第二类边界条件时设 $F = - k u$。

定解条件

定解条件

• 波动方程是一类最简单的 运动方程 (equation of motion, EOM)

• 运动方程 与 边界条件 共同确定一个 经典物理系统 (classical system)

  物理系统

  运动方程描述系统的内部运动，边界条件控制系统边界的运动。

  与经典相对的是量子

定解条件

• 确定一个物理系统后，要确定系统的一个演化历史，还需要定下 初始条件
• 波动方程关于时间求导是二阶的，因此需要两个初始条件

  $$u(x, t = 0) = \varphi(x), \qquad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t = 0} = \psi(x)$$

  控制初始（$t = 0$）时形态和速度

定解条件

• 完整的定解问题（例）

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f, \qquad 0 < x < \ell, \quad t > 0 \\ u(x = 0, t) = u_0(t), \quad u(x = \ell, t) = u_\ell(t), \quad t > 0 \\ u(x, t = 0) = \varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t = 0} = \psi(x), \quad 0 \le x \le \ell$$

  初始 vs 边界

  有时，初始条件 在 $x = 0, x = \ell$ 的值与 边界条件 有 矛盾，产生边界处的 不连续性。通常忽略这种小问题，下一章会有例子。

热传导与扩散

• 考虑一坨热介质，质量密度为 $\rho$，比热容 $c$

• 热介质可能与 外界热源（空调房、岩浆池）有接触

• 自身也可能在以某种方式产热（生物化学反应、核反应、超能力）：体热源

• 热量在热介质的内部与界面流动：热流密度/能流密度 $\vec q$

  能流密度

  单位时间内通过单位界面面积的能量

• 关心：温度 $u$ 的空间时间分布 $u(\vec r,t)$

热传导与扩散

热传导与扩散

• 考虑一个介质的 任意子区域 $V$。设 体热源强度 为 $F(\vec r, t)$

  体热源强度

  就是 单位时间 内 单位体积 所产生/分泌的能量 (若为负值，则代表吸收)

• 该子区域会与热介质其余部位进行热交换。

• 在体热源、热交换共同作用下，区域 $V$ 在 $\Delta t$ 时间内发生 温度变化 $\Delta u(\vec r, t)$

热传导与扩散

• 局域 能量守恒 要求（$d\vec S = \vec n dS$ 沿表面法向向 外）

  $$\int_V F \Delta t dV - \oint_{\partial V} \Delta t \vec q\cdot d\vec{S} = \int_V \rho c \purple{\Delta u} dV \\ \frac{1}{\Delta t}: \quad \int_V F dV - \orange{\oint_{\partial V} \vec q\cdot d\vec{S}} = \int_V \rho c \purple{\frac{\partial u}{\partial t}} dV \\ \text{高斯公式}\quad \int_V F dV - \orange{\int_V \nabla \cdot \vec q dV} = \int_V \rho c \frac{\partial u}{\partial t} dV$$

• 每一项都是 $V$ 的积分

热传导与扩散

• 此方程对 任意小 的 $V$ 都成立：移除积分，得到 $u, \vec q$ 的方程

  $$F - \nabla \cdot \vec q = \rho c \frac{\partial u}{\partial t}$$

• 傅里叶定律：能流密度 与 温度梯度 成正比（$k > 0$ 是常数），

  $$\vec q = - k \nabla u, \qquad \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)$$

• 利用傅里叶定律以及常数 $k$，

  $$F + k \orange{\nabla \cdot \nabla u} = \rho c \frac{\partial u}{\partial t} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{k}{\rho c} \orange{\nabla^2 u} = \frac{F}{\rho c}$$

热传导与扩散

• 热传导方程

  $$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \nabla^2 u = f, \qquad a^2 = \frac{k}{\rho c}$$

• 倘若没有体热源，则 $f = 0$

  $$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \nabla^2 u = 0$$

热传导与扩散

• 例子：一维 均匀细杆的热传导模型。设细杆侧面绝热，横截面很小，假设横截面方向的温度近似均匀分布，温度只沿杆长方向变化。

热传导与扩散

• 有时，热介质在长时间演化后会进入 宏观稳定状态

• 此时，介质各点温度不再变化，从而获得 稳定场方程

  $$\frac{\partial u}{\partial t} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \nabla^2 u = - \frac{f}{a^2}$$

  宏观稳定

  宏观稳定 不代表 微观完全静止。

  即便温度不再变化，依然潜藏 暗流涌动：能量持续地从 高温区 流向 低温区。

热传导与扩散

• 相同的分析也可以应用到 物质扩散 现象。

  热传导	物质扩散
  温度 $u$	物质浓度 $u$
  热导体区域 $\Omega$	物质容器所限区域 $\Omega$
  体热源强度 $F$	体物质源强度 $F$
  能量守恒定律	物质守恒定律
  傅里叶 $\vec q = - k \nabla u$	Fick $\vec q = - D \nabla u$

热传导与扩散

• 扩散方程

  $$\frac{\partial u}{\partial t} - D \nabla^2 u = F$$

热传导与扩散定解

• 第一类边界条件（$\varphi = 0$ 时为齐次边界条件）

  $$u|_{\partial \Omega} = \varphi(\vec r, t), \qquad \vec r \in \partial \Omega$$

  其中 $\varphi$ 是 已知的、给定的 函数

热传导与扩散定解

• 第二类边界条件：

  $$\green{-k \vec n \cdot \nabla u\Big|_{\partial \Omega} = -k \frac{\partial u}{\partial \vec n}\Big|_{\partial \Omega}} = Q(\vec r, t)$$

热传导与扩散定解

• 第二类边界条件：

  $$-k \vec n \cdot \nabla u\Big|_{\partial \Omega} = -k \frac{\partial u}{\partial \vec n}\Big|_{\partial \Omega} = Q(\vec r, t)$$

热传导与扩散定解

• 第三类边界条件：边界流出能流与边界温度成正比，如牛顿冷却定律

  $$- k \frac{\partial u}{\partial \vec n} = Q = b \left(u(\vec r, t)\Big|_{\partial \Omega} - \underbrace{u_0(\vec r, t)}_\text{外界温度}\right)$$

  其中 $b$ 称为 热交换系数

热传导与扩散定解

• 初始条件：由于热传导方程对时间的导数最高是 1 阶，因此只需要一个初始条件

  $$u(\vec r, t = 0) = u_0(\vec r)$$

• 对于稳定场问题，就不需要初始条件了，因为系统已经不再随时间演化。