正交曲线坐标下的分离变量

\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}

纲要

  • 正交曲线坐标系
  • 正交曲线坐标系的微分算符
  • 3d 球坐标、柱坐标下的分离变量

正交曲线坐标系

坐标系

  • 什么是坐标系？

  • 考虑 二维空间 R2\mathbb{R}^2

  • 为了描述、标记 R2\mathbb{R}^2 中 (一些开集) 的点，使用 坐标系 (coordinate system)

    坐标系定义

    用两个实参数，实现尽可能一一对应地描述 R2\mathbb{R}^2 或其开集的点

笛卡尔坐标系

  • 常用坐标系：笛卡尔坐标系 (x,y)(x,y)
    • 一组坐标值 (x,y)(x,y) →\to 一个点
    • 一个点 →\to 一组坐标值 (x,y)(x,y)
    • 适用范围：全 R2\mathbb{R}^2
  • 直线坐标线与坐标网格

极坐标系

  • 常用坐标系：极坐标系 r,φr, \varphi

    x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\green{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    • 一组坐标值 (r,φ)(r, \varphi) →\to 一个点

    • 一个点 (绝大多数情况) →\to 一组坐标值 (r,φ)(r, \varphi)

      极坐标的坐标奇点

      原点对应 (r=0,∀φ)(r = 0, \forall \varphi)，一对多/非良定 (ill-defined)。
      原点是极坐标的 坐标奇点 (coordinate singularity)

极坐标系

  • 适用范围：(几乎) 全 R2\mathbb{R}^2

    适用范围说明

    如果不想考虑原点，则适用于 R2−{0}\mathbb{R}^2 - \{0\}

  • 坐标线与坐标网格：由曲线组成

极坐标系

极坐标的坐标线

坐标系

  • 几何空间：客观存在

    几何空间例子

    如 S1S^1，R2\mathbb{R}^2, S2S^2, R3\mathbb{R}^3

  • 几何空间中的点：客观存在

  • 对几何空间的点的坐标描述 (description)：非客观存在

    坐标描述的非客观性

    同一个点可以用 不同 的坐标描述，选新坐标 不改变 几何点、几何体的本质

坐标系

  • 坐标系 ⇒\Rightarrow 坐标线、坐标网格
  • 不同坐标可以有效覆盖几何体的 不同区域

坐标系: 奇点

  • 极坐标系 r,φr, \varphi
  • 原点 (0,0)(0, 0) 的极坐标 (r=0,φ)(r = 0, \varphi)：不唯一
  • (x,y)→(r,φ)(x,y) \to (r,\varphi) 的Jacobi 矩阵在原点 退化 (非满秩)，行列式为零

    det⁡∂(x,y)∂(r,φ)=det⁡(∂x∂r∂x∂φ∂y∂r∂y∂φ)=r→0\det \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi}\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{pmatrix} = r \to 0

    反过来，Jacobi 逆矩阵发散

    det⁡∂(r,φ)∂(x,y)=1r→+∞\det \frac{\partial (r, \varphi)}{\partial (x,y)} = \frac{1}{r} \to +\infty

坐标系: 奇点

  • 坐标奇点处，几何并没有奇性，是常点

    几何与坐标的区别

    错的不是几何，是坐标

坐标系

  • 考虑三维空间 R3\mathbb{R}^3
  • 可以用直角坐标系 r≔(x,y,z)\mathbf{r} \coloneqq (x, y, z) 标记 R3\mathbb{R}^3 中任何一个点
  • 坐标系选择 不唯一
    • 直角坐标
    • 球坐标系
    • 柱坐标系
    • 椭球坐标系

坐标系

球坐标 (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi)

坐标系

球坐标的坐标线

坐标系


柱坐标

坐标系

柱坐标

坐标系

柱坐标的坐标线 (φ\varphi-线、zz-线 与 ρ\rho-线)

正交曲线坐标系

  • 记新的坐标系的坐标为 q1,q2,q3q_1, q_2, q_3

    qq-坐标系

    qiq_i 是个抽象名字，指代第 ii 个坐标，简称为 qq-坐标系

  • 坐标线可能是曲线

正交曲线坐标系

  • qq-坐标与直角坐标之间的关系

    x=x(q1,q2,q3), y=y(q1,q2,q3), z=z(q1,q2,q3)x = \green{x(q_1, q_2, q_3)}, \ y = y(q_1, q_2, q_3), \ z = z(q_1, q_2, q_3)

    或者用 矢量记号

    r=r(q1,q2,q3),r=x(...)ex+y(...)ey+z(...)ez\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1, q_2, q_3), \quad \mathbf{r} = \green{x(...)} \mathbf{e}_x + y(...) \mathbf{e}_y + z(...) \mathbf{e}_z

正交曲线坐标系

  • 设 q1,q2,q3q_1, q_2, q_3 分别发生无穷小变化 dqidq_i，则相应的无穷小位移是

    ∂r∂q1dq1,∂r∂q2dq2,∂r∂q3dq3\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_1}dq_1, \qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_2}dq_2, \qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_3}dq_3

正交曲线坐标系

坐标线的切矢量

∂r/∂qi\partial \mathbf{r}/\partial q_i 相当于 qiq_i-坐标线的 切矢量

 ~

正交曲线坐标系

坐标基底与无穷小位移

  • 当 qiq_i 同时发生无穷小变化，

    dr=∑i=13∂r∂qidqid\mathbf{r} = \sum_{i = 1}^{3} \green{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}}dq_i

  • 三个偏导数 ∂r/∂qi\partial \mathbf{r}/\partial q_i 也称为 qq-坐标系的 坐标基底 (coordinate basis)

  • 可以把坐标基底 ∂r/∂qi\partial \mathbf{r}/\partial q_i 具体的 x,y,zx, y, z 分量写出来

    ∂r∂qi=∂x∂qiex+∂y∂qiey+∂z∂qiez\green{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}} = \frac{\partial x}{\partial q_i}\mathbf{e}_x + \frac{\partial y}{\partial q_i} \mathbf{e}_y + \frac{\partial z}{\partial q_i} \mathbf{e}_z

正交曲线坐标系

  • 定义：如果坐标系在其覆盖区域内处处满足如下条件，则称为 正交曲线坐标系

    ∂r∂qi⋅∂r∂qj=0,i≠j\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j} = 0, \qquad i \ne j

    正交性的几何意义

    几何上看，这要求过任意一点的三条坐标线的 切线 相互正交

正交曲线坐标系

正交曲线坐标系


非正交曲线坐标系

正交曲线坐标系

度规与度规矩阵

  • qq-坐标系的坐标基矢内积时常被称为 度规 (metric)、度规矩阵

    gij≔∂r∂qi⋅∂r∂qj⇒[gij]\green{g_{ij} \coloneqq \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}} \quad \Rightarrow \quad \green{[g_{ij}]}

  • 对于 正交 曲线坐标系，度规矩阵是 对角 的，

    [gij]=(∣∂r/∂q1∣2000∣∂r/∂q2∣2000∣∂r/∂q3∣2)[g_{ij}] = \begin{pmatrix} |\partial \mathbf{r}/\partial q_1|^2 & 0 & 0 \\ 0 & |\partial \mathbf{r}/\partial q_2|^2 & 0\\ 0&0& |\partial \mathbf{r}/\partial q_3|^2 \end{pmatrix}

  • 在讲义中，定义度规系数 hi2=∣∂r/∂qi∣2h_i^2 = |\partial \mathbf{r}/\partial q_i|^2

柱坐标系

  • 柱坐标系 (ρ,φ,z)(\rho, \varphi, z)

    x=ρcos⁡φ,y=ρsin⁡φ,z=zx = \rho \cos \varphi, \quad y = \rho \sin \varphi, \quad z = z

  • 柱坐标系的矢量表达式，

    r=ρcos⁡φex+ρsin⁡φey+zez\mathbf{r} = \rho \cos \varphi \mathbf{e}_x + \rho \sin \varphi \mathbf{e}_y + z \mathbf{e}_z

  • 偏导数 (坐标基底)

    ∂r∂ρ= cos⁡φex+sin⁡φey ∂r∂φ= −ρsin⁡φex+ρcos⁡φey∂r∂z= ez\begin{align*} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho} = & \ \cos \varphi \mathbf{e}_x + \sin \varphi \mathbf{e}_y & \ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = & \ - \rho\sin \varphi \mathbf{e}_x + \rho \cos \varphi \mathbf{e}_y & \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = & \ \mathbf{e}_z \end{align*}

柱坐标系

  • 验证可得正交性

    ∂r∂ρ⋅∂r∂φ = ∂r∂ρ⋅∂r∂z = ∂r∂φ⋅∂r∂z=0\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \ = \ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \ = \ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = 0

  • 对上述坐标基底进行归一化，定义 eρ,φ,z\mathbf{e}_{\rho, \varphi, z}

    ∣∂r∂ρ∣= 1⇒ eρ=cos⁡φex+sin⁡φey∣∂r∂φ∣= ρ⇒ eφ=−sin⁡φex+cos⁡φey∣∂r∂z∣= 1⇒ ez=ez\begin{align*} \bigg| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho} \bigg| = & \ 1 & \Rightarrow & \ \green{\mathbf{e}_\rho = \cos \varphi \mathbf{e}_x + \sin \varphi \mathbf{e}_y} \\ \bigg| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \bigg| = & \ \rho & \Rightarrow & \ \green{\mathbf{e}_\varphi = - \sin \varphi \mathbf{e}_x + \cos \varphi \mathbf{e}_y}\\ \bigg| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \bigg| = & \ 1 & \Rightarrow & \ \green{\mathbf{e}_z = \mathbf{e}_z} \end{align*}

球坐标系

  • 球坐标系 (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi)

    x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θx = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta

  • 用矢量标记

    r=rsin⁡θcos⁡φex+rsin⁡θsin⁡φey+rcos⁡θez\mathbf{r} = r \sin \theta \cos \varphi \mathbf{e}_x + r \sin \theta \sin \varphi \mathbf{e}_y + r \cos \theta \mathbf{e}_z

球坐标系

  • 偏导数 (坐标基底)

    ∂r∂r= sin⁡θcos⁡φex+sin⁡θsin⁡φey+cos⁡θez∂r∂θ= rcos⁡θcos⁡φex+rcos⁡θsin⁡φey−rsin⁡θez∂r∂φ= −rsin⁡θsin⁡φex+rsin⁡θcos⁡φey\begin{align*} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = & \ \sin \theta \cos \varphi \mathbf{e}_x + \sin \theta \sin \varphi \mathbf{e}_y + \cos \theta \mathbf{e}_z\\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = & \ \red{r}\cos \theta \cos \varphi \mathbf{e}_x + \red{r}\cos \theta \sin \varphi \mathbf{e}_y - \red{r}\sin \theta \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = & \ - r \red{\sin \theta}\sin \varphi \mathbf{e}_x + r \red{\sin \theta}\cos \varphi \mathbf{e}_y \end{align*}

球坐标系

验证球坐标系的正交性

∂r∂r⋅∂r∂θ=rsin⁡θcos⁡θcos⁡φcos⁡φ+rsin⁡θcos⁡θsin⁡φsin⁡φ−rsin⁡θcos⁡θ=0\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = r \sin \theta \cos \theta \cos \varphi \cos \varphi + r \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \sin \varphi - r \sin \theta \cos \theta = 0

∂r∂r⋅∂r∂φ=rsin⁡θcos⁡θcos⁡φ(−sin⁡φ)+rsin⁡θcos⁡θsin⁡φcos⁡φ=0\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = r \sin \theta \cos \theta \cos \varphi (- \sin \varphi) + r \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi = 0

∂r∂θ⋅∂r∂φ=rcos⁡θsin⁡θcos⁡φ(−sin⁡φ)+rcos⁡θsin⁡θsin⁡φcos⁡φ=0\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = r \cos \theta \sin \theta \cos \varphi (- \sin \varphi) + r \cos \theta \sin \theta \sin \varphi \cos \varphi = 0

球坐标系

  • 三个坐标基底矢量的长度

    ∣∂r∂r∣=1,∣∂r∂θ∣=r,∣∂r∂φ∣=rsin⁡θ\bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\bigg| = 1, \quad \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\bigg| = r, \quad \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\bigg| = \red{r\sin\theta}

  • 对坐标基底矢量进行归一化：定义 er,θ,φ\mathbf{e}_{r, \theta, \varphi}

    er= sin⁡θcos⁡φex+sin⁡θsin⁡φey+cos⁡θezeθ= cos⁡θcos⁡φex+cos⁡θsin⁡φey−sin⁡θezeφ= −sin⁡φex+cos⁡φey\begin{align*} \mathbf{e}_r = & \ \sin \theta \cos \varphi \mathbf{e}_x + \sin \theta \sin \varphi \mathbf{e}_y + \cos \theta \mathbf{e}_z\\ \mathbf{e}_\theta = & \ \cos \theta \cos \varphi \mathbf{e}_x + \cos \theta \sin \varphi \mathbf{e}_y - \sin \theta \mathbf{e}_z\\ \mathbf{e}_\varphi = & \ - \sin \varphi \mathbf{e}_x + \cos \varphi \mathbf{e}_y \end{align*}

正交曲线坐标系的微分算符

梯度

  • 下面研究曲线坐标系下常见微分算符的具体形式
  • 梯度 ∇\nabla、拉普拉斯算符 ∇2\nabla^2：作用在函数上
  • 散度 ∇⋅\nabla \cdot、旋度 ∇×\nabla \times：作用在矢量场上

    ∇2=∇⋅∇\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla

梯度

  • 任意曲线坐标系 (q1,q2,q3)(q_1, q_2, q_3)

  • 定义：正交归一基底 ei\mathbf{e}_i

    ei=1∣∂r/∂qi∣∂r∂qi,∣∂r∂qi∣2=∂r∂qi⋅∂r∂qi\mathbf{e}_i = \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}, \qquad \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\bigg|^2 = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}

    度规系数与基底矢量

    • 模方 ∣∂r/∂qi∣2=hi2|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|^2 = h_i^2 即为 度规系数

    • 笛卡尔坐标系的坐标基底矢量是 ex,ey,ez\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z，不应与一般 qq-坐标系的 ei\mathbf{e}_i 混淆

梯度

  • 三维矢量空间的基底：任意矢量都可以用 正交归一基底 ei\mathbf{e}_i 展开

    v=∑i=13viei\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{3}v_i \mathbf{e}_i

    (利用正交归一确定系数)⇒vi=ei⋅v\gray{(利用正交归一确定系数)}\quad \Rightarrow v_i = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{v}

    展开系数的唯一性

    一旦选定 ei\mathbf{e}_i，矢量 v\mathbf{v} 的展开系数 viv_i 是 定死 的

梯度

  • 任意函数 uu 的 梯度 ∇u\nabla u 是一个矢量 (场)

    ∇u=∂u∂xex+∂u∂yey+∂u∂zez\green{\nabla u} = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{e}_x + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{e}_z

    梯度算符的作用

    函数 uu 的梯度可以看成是 微分算符 ∇=ex∂x+ey∂y+ez∂z\nabla = \mathbf{e}_x \partial_x + \mathbf{e}_y \partial_y + \mathbf{e}_z \partial_z 从左侧 向右 作用在 uu 上

    ∇u=(ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z)u\nabla u = \bigg( \mathbf{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{e}_y\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{e}_z \frac{\partial}{\partial z} \bigg)u

梯度

  • 在 qq-坐标系用 qiq_i-坐标正交归一基底 重新 做展开

    ∇u=∑i=13(ei⋅∇u)ei\nabla u = \sum_{i = 1}^{3} (\purple{\mathbf{e}_i \cdot \nabla u}) \mathbf{e}_i

  • 计算系数 ei⋅∇u\purple{\mathbf{e}_i \cdot \nabla u}：代入 ei\mathbf{e}_i 与 ∂r/∂qi\partial \mathbf{r}/\partial q_i 的关系

    ei⋅∇u=1∣∂r/∂qi∣[∂r∂qi⋅∇u]\green{\mathbf{e}_i} \cdot \nabla u = \green{\frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|}} \left[{\green{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}} \cdot \nabla u}\right]

  • ∂r∂qi⋅∇u\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \nabla u 具体是什么？

梯度

  • ∂r∂qi⋅∇u\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \nabla u 具体是什么？ 用直角坐标系详细书写

    ∂r∂qi=∂x∂qiex+∂y∂qiey+∂z∂qiez\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} = \frac{\partial x}{\partial q_i}\mathbf{e}_x + \frac{\partial y}{\partial q_i} \mathbf{e}_y + \frac{\partial z}{\partial q_i} \mathbf{e}_z

    ∇u=∂u∂r=∂u∂xex+∂u∂yey+∂u∂zez\nabla u = \frac{\partial u}{\partial \mathbf{r}} = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{e}_x + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{e}_z

梯度

  • 做点乘

    ∂r∂qi⋅∇u=∂x∂qi∂u∂x+∂y∂qi∂u∂y+∂z∂qi∂u∂z\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \nabla u = \frac{\partial x}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial z}

  • 右边：其实是 (复合函数偏导)

    =∂u∂qi= \frac{\partial u}{\partial q_i}

梯度

  • ei⋅∇u\mathbf{e}_i \cdot \nabla u 可以写成

    ei⋅∇u=1∣∂r/∂qi∣∂r∂qi⋅∇u=1∣∂r/∂qi∣∂u∂qi\purple{\mathbf{e}_i \cdot \nabla u} = \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \red{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \nabla u} = \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \red{\frac{\partial u}{\partial q_i}}

  • ∇u\nabla u 可以写成

    ∇u=∑i=13(ei⋅∇u)ei=∑i=13(1∣∂r/∂qi∣∂u∂qi)ei \nabla u = \sum_{i = 1}^{3} \purple{(\mathbf{e}_i \cdot \nabla u)} \mathbf{e}_i = \sum_{i = 1}^{3} \left({\purple{\frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \frac{\partial u}{\partial q_i}}}\right) \green{\mathbf{e}_i}

    公式应用

    后面将会用这个公式书写不同坐标系下的 ∇u\nabla u

梯度

梯度的进一步改写

  • 还可以进一步改写 ∇\nabla，代入 ei\mathbf{e}_i 的定义 ei=∣∂r∂qi∣−1∂r∂qi\green{\mathbf{e}_i = |\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}|^{-1} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}}

∇u=∑i=13(1∣∂r/∂qi∣∂u∂qi)ei=∑i=131∣∂r/∂qi∣2∂u∂qi∂r∂qi\nabla u = \sum_{i = 1}^{3} \left({\purple{\frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \frac{\partial u}{\partial q_i}}}\right) \green{\mathbf{e}_i} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{\green{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|}^2} \frac{\partial u}{\partial q_i} \green{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}}

梯度

全微分与坐标变换

  • 考虑 dr=(dx,dy,dz)d \mathbf{r} = (dx, dy, dz)，得到 全微分

    du=∇u⋅dr=∂u∂xdx+∂u∂ydy+∂u∂zdzdu = \nabla u \cdot d\mathbf{r} = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz

  • 在曲线坐标系下，

    ∇u=∑i=131∣∂r/∂qi∣2∂u∂qi∂r∂qi,dr=∑j=13∂r∂qjdqj,\nabla u = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|^2} \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i},\qquad d\mathbf{r} = \sum_{j = 1}^{3} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}dq_j,

梯度

  • 乘起来

    ∇u⋅dr=∑i,j=131∣∂r/∂qi∣2∂u∂qi∂r∂qi⋅∂r∂qjdqj=∑i=13∂u∂qidqi=du\nabla u \cdot d\mathbf{r} = \sum_{i, j = 1}^{3} \frac{1}{\red{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|^2}} \frac{\partial u}{\partial q_i} \red{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}} dq_j = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial u}{\partial q_i}dq_i = du

梯度

全微分的普遍性

  • 即不管什么正交曲线坐标系，都必然有

du=∑i=13∂u∂qidqi du = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial u}{\partial q_i}dq_i

事实上，上式对任意坐标系都成立，不仅仅是正交曲线坐标系。

梯度

  • 柱坐标系 (ρ,φ,z)(\rho, \varphi, z)

    eρ⋅∇u= 1∣∂r/∂ρ∣∂u∂ρ,∣∂r∂ρ∣= 1eφ⋅∇u= 1∣∂r/∂φ∣∂u∂φ,∣∂r∂φ∣= ρez⋅∇u= 1∣∂r/∂z∣∂u∂z,∣∂r∂z∣= 1\begin{align*} \mathbf{e}_\rho \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial \rho|} \frac{\partial u}{\partial \rho}, \qquad & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho} \bigg| = & \ 1\\ \mathbf{e}_\varphi \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial \varphi|} \frac{\partial u}{\partial \varphi}, \qquad & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\bigg| = & \ \red{\rho}\\ \mathbf{e}_z \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial z|} \frac{\partial u}{\partial z}, \qquad & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\bigg| = & \ 1 \end{align*}

  • 梯度

    ∇u=∑i=13(1∣∂r/∂qi∣∂u∂qi)ei=∂u∂ρeρ+1ρ∂u∂φeφ+∂u∂zez\nabla u = \sum_{i = 1}^{3} \left(\frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \frac{\partial u}{\partial q_i}\right) \green{\mathbf{e}_i} = \frac{\partial u}{\partial \rho} \mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\red{\rho}}\frac{\partial u}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{e}_z

梯度

  • 球坐标系 (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi)

    er⋅∇u= 1∣∂r/∂r∣∂u∂r,∣∂r∂r∣= 1eθ⋅∇u= 1∣∂r/∂θ∣∂u∂θ,∣∂r∂θ∣= reφ⋅∇u= 1∣∂r/∂φ∣∂u∂φ,∣∂r∂φ∣= rsin⁡θ\begin{align*} \mathbf{e}_r \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial r|} \frac{\partial u}{\partial r}, & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\bigg| = & \ 1\\ \mathbf{e}_\theta \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial \theta|} \frac{\partial u}{\partial \theta}, & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\bigg| = & \ \red{r} \\ \mathbf{e}_\varphi \cdot \nabla u = & \ \frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial \varphi|} \frac{\partial u}{\partial \varphi}, & \bigg|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\bigg| = & \ \red{r\sin\theta} \end{align*}

  • 梯度

    ∇u=∑i=13(1∣∂r/∂qi∣∂u∂qi)ei=∂u∂rer+1r∂u∂θeθ+1rsin⁡θ∂u∂φeφ\nabla u = \sum_{i = 1}^{3} \left(\frac{1}{|\partial \mathbf{r}/\partial q_i|} \frac{\partial u}{\partial q_i}\right) \green{\mathbf{e}_i} = \frac{\partial u}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{\red{r}}\frac{\partial u}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{\red{r\sin\theta}}\frac{\partial u}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi

梯度

  • 直角坐标系下梯度

    ∇u=ex∂u∂x+ey∂u∂y+ez∂u∂z\nabla u = \mathbf{e}_x \frac{\partial u}{\partial x} + \mathbf{e}_y \frac{\partial u}{\partial y} + \mathbf{e}_z \frac{\partial u}{\partial z}

  • 柱坐标系下的梯度

    ∇u=∂u∂ρeρ+1ρ∂u∂φeφ+∂u∂zez\nabla u = \frac{\partial u}{\partial \rho} \mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \varphi}\mathbf{e}_\varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{e}_z

  • 球坐标系下的梯度

    ∇u=∂u∂rer+1r∂u∂θeθ+1rsin⁡θ∂u∂φeφ\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi

梯度

  • 给定一个 uu：上面三个 ∇u\nabla u 处处相等

梯度算符

  • ∇\nabla 的使命：把函数 uu 变成一个矢量场 ∇u\nabla u
  • 通过求导的方式，把数学对象变成其它数学对象的东西，称为 微分算符 (differential operator)
  • 其它常见微分算符

    ddx,∂∂x,d,∇⋅,∇×,∂x,∂y,…\frac{d}{dx}, \quad \frac{\partial}{\partial x}, \quad d, \quad \nabla \cdot, \quad \nabla \times, \quad \partial_x, \quad \partial_y, \quad\dots

    du=dudxdxd u = \frac{du}{dx}dx

  • 梯度算符 ∇\nabla 是一个比较简单的微分算符

梯度算符

  • 直角坐标系下梯度算符

    ∇=ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z\nabla = \mathbf{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{e}_z \frac{\partial}{\partial z}

  • 柱坐标系下的梯度算符

    ∇=eρ∂∂ρ+eφ1ρ∂∂φ+ez∂∂z\nabla = \mathbf{e}_\rho\frac{\partial }{\partial \rho} + \mathbf{e}_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi} + \mathbf{e}_z\frac{\partial }{\partial z}

  • 球坐标系下的梯度算符

    ∇=er∂∂r+eθ1r∂∂θ+eφ1rsin⁡θ∂∂φ\nabla = \mathbf{e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}

梯度算符

  • 同一个梯度算符 ∇\nabla，用不同坐标系书写
  • 这些微分算符从左侧向右作用到函数上

    ∇u= (ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z)u= (eρ∂∂ρ+eφ1ρ∂∂φ+ez∂∂z)u= (er∂∂r+eθ1r∂∂θ+eφ1rsin⁡θ∂∂φ)u\begin{align*} \nabla u = & \ \left({\mathbf{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{e}_z \frac{\partial}{\partial z}}\right)u \\ = & \ \left({\mathbf{e}_\rho\frac{\partial }{\partial \rho} + \mathbf{e}_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi} + \mathbf{e}_z\frac{\partial }{\partial z} }\right)u \\ = & \ \left(\mathbf{e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)u \end{align*}

拉普拉斯算符

  • 定义：拉普拉斯算符 ∇2\nabla^2 为

    ∇2u≔∇⋅(∇u)=∂x∂xu+∂y∂yu+∂z∂zu\nabla^2 u \coloneqq \nabla \cdot (\nabla u) = \partial_x \partial_x u + \partial_y \partial_y u + \partial_z \partial_z u

    拉普拉斯算符的作用顺序

    uu 先被 ∇\nabla 作用，然后再被 ∇⋅\nabla \cdot 作用

拉普拉斯算符

  • 柱坐标系

    ∇2u= (eρ∂∂ρ+eφ1ρ∂∂φ+ez∂∂z)⋅(eρ∂u∂ρ+eφ1ρ∂u∂φ+ez∂u∂z)\begin{align*} \nabla^2 \purple{u} = & \ \left({\mathbf{e}_\rho\frac{\partial }{\partial \rho} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi} + \mathbf{e}_z\frac{\partial }{\partial z} }\right)\cdot \left({ \mathbf{e}_\rho\frac{\partial \purple{u}}{\partial \rho} + \mathbf{e}_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial \purple{u}}{\partial \varphi} + \mathbf{e}_z\frac{\partial \purple{u}}{\partial z} }\right) \end{align*}

  • 不能直接做矢量乘法来计算，求导算符 向右 作用，应考虑 ei\mathbf{e}_i 的导数

    ∂∂φeφ=−eρ,∂∂φeρ=eφ\red{\frac{\partial}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi} = - \mathbf{e}_\rho, \qquad \purple{\frac{\partial}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\rho} = \mathbf{e}_\varphi

拉普拉斯算符

eφ,eρe_\varphi, e_\rho 随 φ\varphi 改变

拉普拉斯算符

拉普拉斯算符

  • 拉普拉斯算符

    ∇2u=1ρ∂∂ρ(ρ∂u∂ρ)+1ρ2∂2u∂φ2+∂2u∂z2\nabla^2 u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left({\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}

    柱坐标系拉普拉斯算符推导

    直接验证。展开

     ∂2u∂ρ2+1ρ2∂2u∂φ2+∂2u∂z2+eφ⋅1ρ∂φeρ∂u∂ρ+eφ⋅1ρ∂φeφ1ρ∂u∂φ=∂2u∂ρ2+1ρ2∂2u∂φ2+∂2u∂z2+1ρ∂u∂ρ+0=1ρ∂∂ρ(ρ∂u∂ρ)+1ρ2∂2u∂φ2+∂2u∂z2\begin{align*} & \ \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \mathbf{e}_\varphi \cdot \frac{1}{\rho} \purple{\partial_\varphi \mathbf{e}_\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + \mathbf{e}_\varphi \cdot \frac{1}{\rho} \red{\partial_\varphi \mathbf{e}_\varphi} \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \varphi}\\ & = \frac{\partial^2 u}{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \rho} + 0 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho} \left({\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{align*}

分离变量

拉普拉斯算符

  • 球坐标系

    ∇2u= (er∂∂r+eθ1r∂∂θ+eφ1rsin⁡θ∂∂φ) ⋅(er∂u∂r+eθ1r∂u∂θ+eφ1rsin⁡θ∂u∂φ)\begin{align*} \nabla^2 u = & \ \bigg( \mathbf{e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi} \bigg)\\ & \ \qquad\qquad \cdot \bigg( \mathbf{e}_r\frac{\partial u}{\partial r} + \mathbf{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} + \mathbf{e}_\varphi \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u}{\partial \varphi} \bigg) \end{align*}

  • 正交归一基矢与位置有关
  • 拉普拉斯算符

    ∇2u=1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂u∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2u∂φ2\begin{align*} \nabla^2 u =\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\bigg(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\bigg) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\bigg(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\bigg) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} \end{align*}

# # 曲线坐标系分离变量

- 总体思路 - 球坐标下的分离变量 - 柱坐标下的分离变量
分离变量

正交曲线坐标系下的分离变量

分离变量

总体思路

  • 三类方程的分离变量：波动、扩散和稳定场
  • 把时间分出去都会得到空间部分的 Helmholtz 方程，

    ∇2v(r)+k2v(r)=0\nabla^2 v(\mathbf{r}) + k^2 v(\mathbf{r}) = 0

    当 k2=0k^2 = 0，方程也称为 Laplace 方程

分离变量

总体思路

  • 三维空间二阶偏微分方程的分离变量
  • 球坐标 (r,θ,φ)(r, \theta, \varphi)
    • 分离 rr 与 (θ,φ)(\theta, \varphi) →\to 分离 θ\theta 和 φ\varphi
    • 径向方程：Bessel 方程或者 Euler 方程
    • θ\theta 向方程：Legendre 方程或 associated Legendre 方程
  • 柱坐标 (z,ρ,φ)(z, \rho, \varphi)
    • 分离 φ\varphi 与 (z,ρ)(z, \rho) →\to 分离 zz 和 ρ\rho
    • 径向方程：Bessel 方程或者 Euler 方程
分离变量

波动方程

  • 齐次波动方程

    (∂2∂t2−a2∇2)u=0 .\left({\frac{\partial^2}{\partial t^2} - a^2 \nabla^2 }\right)u = 0 \ .

  • 假设 u(r,t)=v(r)T(t)u(\mathbf{r}, t) = v(\mathbf{r})T(t)，则分离变量得到

    ∇2v+k2v=0,d2dt2T(t)+k2a2T(t)=0\nabla^2 v + k^2 v = 0, \qquad \frac{d^2}{dt^2}T(t) + k^2 a^2 T(t) = 0

    分离常数的物理意义

    其中 k2k^2 是 分离常数：具有 动量 的物理含义

分离变量

波动方程

  • 空间部分方程 ∇2v+k2v=0\nabla^2v + k^2v=0 称为 Helmholtz 方程

  • 通常 k2≥0k^2 \ge 0

    负分离常数的非物理性

    倘若 k2<0k^2 < 0，则

    T(t)=e±i∣k∣atT(t) = e^{\pm i |k|a t}

    导致 T(t)T(t) 的 指数衰减或者膨胀行为，而非震荡行为，一般认为不符合波动的特性，非物理

分离变量

输运、扩散、热传导方程

  • 热传导、输运方程

    ∂u∂t−a2∇2u=0\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \nabla^2 u = 0

  • 假设 u(r,t)=v(r)T(t)u(\mathbf{r}, t) = v(\mathbf{r})T(t)，则分离变量得到

    ∇2v+k2v=0,ddtT(t)+k2a2T(t)=0\nabla^2 v + k^2 v = 0, \qquad \frac{d}{dt}T(t) + k^2 a^2 T(t) = 0

  • 空间部分：Helmholtz 方程，k2≥0k^2 \ge 0

    负分离常数的非物理性

    k2<0k^2 < 0 会导致 T(t)T(t) 的 指数膨胀行为，一般认为 非物理

分离变量

稳定场

  • 稳定场方程就是 Laplace 方程，也是 Helmholtz 方程的特例
分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 球坐标下方程完整形式

    1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂u∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2u∂φ2+k2u=0\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left({r^2 \frac{\partial u}{\partial r}}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta}}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \purple{k^2 u} = 0

  • 分离变量流程：

    (1) 先分离径向坐标 rr 与 角向坐标 (θ,φ)(\theta, \varphi)

    (2) 再分离 θ\theta 和 φ\varphi

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 方程同乘 r2r^2

  • 代入 u(r)=R(r)Y(θ,φ)u(\mathbf{r}) = R(r)Y(\theta, \varphi)，把 k2\purple{k^2} 项归入 径向 部分

    ddr(r2dRdr)+k2r2R=λR\frac{d}{dr} \left({r^2 \frac{dR}{dr}}\right) + \purple{k^2 r^2 R} = \green{\lambda} R

    1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Y∂θ)+1sin⁡2θ∂2Y∂φ2=−λY\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} = - \green{\lambda} Y

    第一个分离常数

    λ\lambda 是第一个分离常数

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 径向方程除以 r2r^2

    1r2ddr(r2dRdr)+(k2−λr2)R=0\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left({r^2 \frac{dR}{dr}}\right) + \left({k^2 - \frac{\lambda}{r^2} }\right)R = 0

  • 重写为

    1k2ddr(k2r2dRdr)+(k2r2−λ)R=0\frac{1}{\red{k^2}}\frac{d}{dr}\bigg(\red{k^2} r^2 \frac{dR}{dr} \bigg) + \left({k^2 r^2 - \lambda}\right)R = 0

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 吸收 k2k^2，重归一化 x=krx = kr，R~(x)≔R(r=x/k)\tilde R(x) \coloneqq R(r = x/k)

    ddx(x2dR~dx)+(x2−λ)R~=0\frac{d}{dx} \left({x^2 \frac{d \tilde R}{dx}}\right) + \left({x^2 - \lambda}\right)\tilde R = 0

    此方程称为 球 Bessel 方程；标准形式为

    x2y′′+2xy′+(x2−λ)y=0 x^2 y'' + 2x y' + (x^2 - \lambda)y = 0

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 重定义 y(x)≔xR~(x)y(x) \coloneqq \sqrt{x}\tilde R(x)，变成 yy 的方程，

    1xddx(xdydx)+(1−λ+14x2)y=0\frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left({x\frac{dy}{dx}}\right) + \left({1 - \frac{\lambda + \frac{1}{4}}{x^2}}\right)y = 0

半奇数阶 Bessel 方程

重新记 λ=ℓ(ℓ+1)\lambda = \ell (\ell + 1)，

λ+14=(ℓ+12)2,1xddx(xdydx)+(1−(ℓ+12)2x2)y=0 \lambda + \frac{1}{4} = (\purple{\ell + \frac{1}{2}})^2, \qquad \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left({x\frac{dy}{dx}}\right) + \left({1 - \frac{(\purple{\ell + \frac{1}{2}})^2}{x^2}}\right)y = 0

也称为 半奇数 (ℓ+12)(\purple{\ell + \frac{1}{2}})-阶 Bessel 方程

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 角向方程

    1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Y∂θ)+1sin⁡2θ∂2Y∂φ2=−λY\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} = - \green{\lambda} Y

  • 角向进一步分离：Y(θ,φ)=H(θ)Φ(φ)Y(\theta, \varphi) = \green{H(\theta) \Phi(\varphi)}，λ\lambda 归 HH 管，

    1sin⁡θddθ(sin⁡θdHdθ)+(λ−μsin⁡2θ)H=0,d2Φdφ2+μΦ=0\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta} \left({\sin\theta \frac{dH}{d\theta}}\right) + \left({\lambda - \frac{\mu}{\sin^2 \theta}}\right) H = 0, \qquad \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + \mu \Phi = 0

    第二个分离常数

    μ∈R\mu \in \mathbb{R} 是第二个分离常数

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

球坐标 Helmholtz 方程分离：角向方程推导

  • 代入 Y=HΦY = H \Phi，两边除以 HΦH\Phi

    1H1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂H∂θ)+1Φ1sin⁡2θ∂2Φ∂φ2=−λ\frac{1}{H}\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial H}{\partial \theta}}\right) + \frac{1}{\Phi} \red{\frac{1}{\sin^2 \theta}} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = - \green{\lambda}

  • 乘以 sin⁡2θ\sin^2\theta，

    1Hsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂H∂θ)+1Φ∂2Φ∂φ2=−λsin⁡2θ\frac{1}{H}\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial H}{\partial \theta}}\right) + \frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = - \green{\lambda} \sin^2\theta

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 移项，定义第二个 分离常数 μ\mu，

    1Hsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂H∂θ)+λsin⁡2θ=−1Φ∂2Φ∂φ2=+μ\frac{1}{H} \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial H}{\partial \theta}}\right) + \green{\lambda} \sin^2\theta = - \frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = \green{+ \mu}

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

分离后的角向方程

  • HH 的方程，除以 sin⁡2θ\sin^2\theta

    1H1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂H∂θ)+λ=+μsin⁡2θ\frac{1}{H} \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin \theta \frac{\partial H}{\partial \theta}}\right) + \green{\lambda} = + \frac{\mu}{\sin^2\theta}

  • Φ\Phi 的方程

    1Φ∂2Φ∂φ2=−μ\frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = - \mu

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 两个分离常数 λ,μ\lambda, \mu
  • 边界条件用于确定 λ,μ\lambda, \mu 的可能值
分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • Φ\Phi 满足二阶线性常系数常微分方程，

    Φ(φ)=A+eiμφ+A−e−iμφ\Phi(\varphi) = A_+ e^{i \sqrt{\mu} \varphi} + A_- e^{-i \sqrt{\mu} \varphi}

    μ=0\mu = 0 的情形

    μ=0\mu = 0 时 Φ\Phi 是常函数

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 几何性：(r,θ,φ)(r, \theta, \varphi) 与 (r,θ,φ+2π)(r, \theta, \varphi + 2\pi) 是同一个点
  • 单值性：uu 应该有明确 (well-defined) 的值，Φ\Phi 也应该有明确的值
  • 周期性边界条件确定 μ\mu

     Φ(φ+2π)=Φ(φ)⇒ Φ(φ)=A+eimφ+A−e−imφ,μ=m2∈N\begin{align*} & \ \Phi(\varphi + 2\pi) = \Phi(\varphi) \\ \Rightarrow & \ \Phi(\varphi) = A_+ e^{ im \varphi} + A_- e^{- i m \varphi}, \qquad \green{\mu = m^2} \in \mathbb{N} \end{align*}

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • θ\theta 方向方程：变量替换 x=cos⁡θx = \cos \theta，P(x)≔H(θ)P(x) \coloneqq H(\theta)，结合 μ=m2\mu = m^2

    1sin⁡θddθ(sin⁡θdHdθ)+(λ−μsin⁡2θ)H=0⇒ddx[(1−x2)dPdx]+(λ−m21−x2)P=0\begin{align*} \frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta} \left({\sin\theta \frac{dH}{d\theta}}\right) + \left({\lambda - \frac{\mu}{\sin^2 \theta}}\right) H = 0\\ \Rightarrow \qquad \frac{d}{dx}\bigg[(1 - x^2) \frac{dP}{dx}\bigg] + \bigg(\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}\bigg)P = 0 \end{align*}

  • 特殊点 θ=0,π ↔ x=1,−1\theta = \red{0}, \green{\pi} \ \leftrightarrow \ x = \red{1}, \green{-1}
分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • θ\theta 方向函数 Y(θ)Y(\theta) 应添加一些 自然边界条件

    即人类根据朴素的物理直觉认为理所应当的一些边界条件

  • 选定 θ=0,π\theta= 0, \pi (以及固定的 rr)

    • 球面 Sr2S^2_r 的 北极和南极，任何 φ\varphi 值都对应 同一个点

      θ=0,π\theta = 0, \pi 的地方，即整条 zz 轴 都是球坐标 奇点

    • 单值性：同一点应该有确定的 uu 值

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • 然而，当 m≠0m \ne 0

    Y(θ=0 or π,φ)=H(θ=0 or π)e±imφY(\theta = 0 ~ \text{or} ~ \pi, \varphi) = H(\theta = 0 ~ \text{or} ~ \pi)e^{\pm i m \varphi}

    YY 却会跟 随 φ\varphi 变化：这 不合理，北极和南极 没有确定 的 YY 值
  • 破局之道：

    • 当 m≠0m \ne 0 时，强迫 H(θ=0 or π)=0H(\theta = 0 \text{ or }\pi) = 0

    • 当 m=0m = 0 时，只要求 H(θ=0 or π)H(\theta = 0 \text{ or }\pi) 有限

      轴对称情形

      轴对称会迫使 m=0m = 0，因为 uu 与 φ\varphi 无关。一般问题的解中可能会有轴对称的成分

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

  • θ\theta 方向方程与边界条件：

     ddx[(1−x2)dPdx]+(λ−m21−x2)P=0 P(±1)={0m≠0有限m=0\begin{align*} & \ \frac{d}{dx}\bigg[(1 - x^2) \frac{dP}{dx}\bigg] + \bigg(\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}\bigg)P = 0\\ & \ P(\pm 1) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & m \ne 0\\ \text{有限} & m = 0 \end{array} \right. \end{align*}

    Legendre 方程与 associated Legendre 方程

    当 m=0m = 0，称为 勒让德 (Legendre) 方程

    当 m≠0m \ne 0，称为 连带勒让德 (associated Legendre) 方程

  • 第十章、第十一章介绍勒让德和连带勒让德函数：λ,P(x)\lambda, P(x) 将同时确定

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量


勒让德 (Adrien-Marie Legendre) (左) 与 傅里叶 (右)，作者 Julien-Léopold Boilly
Adrien-Marie Legendre 的唯一肖像

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量


Louis Legendre，法国政治家
百年乌龙：有长达 200 年 时间被当成是 Adrien-Marie Legendre 的肖像

分离变量

球坐标下 Helmholtz 方程分离变量

Legendre 方程标准形式

Legendre 方程标准形式

(1−x2)d2Pdx2−2xdPdx+λP=0(1 - x^2)\frac{d^2 P}{dx^2} - 2x \frac{dP}{dx} + \lambda P = 0

连带 (伴随) Legendre 方程标准形式

(1−x2)d2Pdx2−2xdPdx+(λ−m21−x2)P=0(1 - x^2)\frac{d^2 P}{dx^2} - 2x \frac{dP}{dx} + \left({\lambda - \frac{m^2}{1 - x^2}}\right) P = 0

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • Laplace 方程是 Helmholtz 方程的特例：k2=0k^2 = 0
  • Laplace 方程完整形式

    1ρ∂∂ρ(ρ∂u∂ρ)+1ρ2∂2u∂φ2+∂2u∂z2=0\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \left({\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

  • 分离 (z,ρ)(z, \rho) 与 φ\varphi：u=R(ρ)Φ(φ)Z(z)u = R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)

    1Rρddρ(ρdRdρ)−μρ2= −1Zd2Zdz2d2Φdφ2+μΦ= 0\begin{align*} \frac{1}{R\rho} \frac{d}{d\rho} \bigg(\rho \frac{dR}{d\rho}\bigg) - \frac{\green{\mu}}{\rho^2} = & \ - \frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{dz^2} \\ \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + \green{\mu} \Phi =& \ 0 \end{align*}

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 考虑圆柱内部的分离变量问题

    圆柱内部区域

    ρ≤a\rho \le a，zmin≤z≤zmaxz_\text{min} \le z \le z_\text{max}

  • 分离 z,ρz, \rho

    1ρddρ(ρdRdρ)−μρ2R= −λR,d2Zdz2= +λZ\begin{align*} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho} \left({\rho \frac{dR}{d\rho}}\right) - \frac{\mu}{\rho^2} R = & \ - \green{\lambda} R , \qquad \frac{d^2 Z}{dz^2} = & \ + \green{\lambda} Z \end{align*}

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

λ\lambda 的物理意义

λ\lambda 控制 zz-dependence。
当 λ=0\lambda =0 说明 zz-轴平移不变性，问题退化为二维问题
当 λ≠0\lambda \ne 0，问题是非平凡的 三维 问题

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 边界条件控制 λ,μ\lambda, \mu 的可能取值
  • 周期性 边界条件

     Φ(φ+2π)=Φ(φ)⇒ Φ(φ)=eimφ,μ=m2∈N\begin{align*} & \ \Phi(\varphi + 2\pi) = \Phi(\varphi) \\ \Rightarrow & \ \Phi(\varphi) = e^{im\varphi}, \qquad \green{\mu = m^2} \in \mathbb{N} \end{align*}

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 柱状区域的 外边界 ρ=a\rho = a：第三类 齐次边界条件

    αdR(ρ)dρ+βR(ρ)∣ρ=a=0,α,β≥0, αβ>0\alpha \frac{dR(\rho)}{d\rho} + \beta R(\rho) \Bigg|_{\rho = a}= 0, \qquad \alpha, \beta \ge 0, ~ \alpha \beta > 0

    第三类边界条件的来源

    此条件可能来自 uu 的第三类齐次边界条件

    α∂u∂ρ+βu∣ρ=a=0 \alpha \frac{\partial u}{\partial \rho} + \beta u \Bigg|_{\rho = a} = 0

    当 α=0\alpha = 0，退化为 第一类 齐次边界条件，当 β=0\beta = 0，退化为 第二类 齐次边界条件

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • ρ\rho 方向函数 R(ρ)R(\rho) 还涉及 自然边界条件

    自然边界条件

    即人类根据朴素的物理直觉认为理所应当的一些边界条件

分离变量

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  • 选定 ρ=0\rho = 0 (以及任意固定的 zz)

    • 中轴线：任何 φ\varphi 值都对应 同一个点

      柱坐标的坐标奇性

      柱坐标的 坐标奇性

    • 然而，当 m≠0m \ne 0

      u(ρ=0,φ,z)=R(ρ=0)e±imφZ(z)u(\rho = 0, \varphi, z) = R(\rho = 0)\red{e^{\pm i m \varphi}}Z(z)

      却会跟 随 φ\varphi 变化：这 不合理，ρ=0\rho = 0 没有确定 的 uu 值

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柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 自然边界条件：
    • m≠0m \ne 0 时，强迫 R(ρ=0)=0R(\rho = 0) = 0；
    • m=0m = 0 时，只要求 R(ρ=0)R(\rho = 0) 有限
分离变量

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  • ρ\rho 方向方程和边界条件

     1ρddρ(ρdRdρ)+(λ−m2ρ2)R=0 R(ρ=0)={0m≠0有限m=0 αdR(ρ)dρ+βR(ρ)∣ρ=a=0\begin{align*} & \ \frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho} \left({\rho \frac{dR}{d\rho}}\right) + \left({\lambda - \frac{m^2}{\rho^2}}\right) R = 0 \\ & \ R(\rho = 0) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & m \ne 0\\ \text{有限} & m = 0 \end{array} \right.\\ & \ \alpha \frac{dR(\rho)}{d\rho} + \beta R(\rho) \Bigg|_{\rho = a}= 0 \end{align*}

  • R(ρ)R(\rho) 的外边界条件和中轴线自然边界条件共同控制 λ\lambda 的取值
分离变量

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  • RR 方程属于 Sturm-Liouville 问题

    Sturm-Liouville 问题标准形式

    Sturm-Liouville 问题标准形式

    ddx(k(x)dydx)−q(x)y(x)+λw(x)y(x)=0\frac{d}{dx} \left({\red{k(x)} \frac{dy}{dx}}\right) - \green{q(x)} y(x) + \lambda \purple{w(x)} y(x) = 0

    1ρddρ(ρdRdρ)+(λ−m2ρ2)R=0⇒ddρ(ρdRdρ)−m2ρR+λρR=0 \frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho} \left({\rho \frac{dR}{d\rho}}\right) + \left({\lambda - \frac{m^2}{\rho^2}}\right) R = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{d\rho} \left({\red{\rho} \frac{dR}{d\rho}}\right) - \green{\frac{m^2}{\rho}} R + \lambda \purple{\rho} R = 0

分离变量

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  • 对比读取系数函数

    ρ≥0,m2ρ≥0,ρ≥0\red{\rho \ge 0}, \quad \green{\frac{m^2}{\rho} \ge 0}, \quad \purple{\rho \ge 0}

分离变量

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  • Sturm-Liouville 定理：本征值 λ≥0\lambda \ge 0

    λ\lambda 的分类处理

    λ=0\lambda = 0 与 λ>0\lambda > 0 应 分开处理

分离变量

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  • 倘若 λ>0\lambda > 0，重定义 x≔λρx \coloneqq \sqrt{\lambda}\rho，y(x)≔R(ρ)y(x) \coloneqq R(\rho)，得到 Bessel 方程 标准形式

     1xddx(xdydx)+(1−m2x2)y=0or x2d2ydx2+xdydx+(x2−m2)y=0\begin{align*} & \ \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \left({x\frac{dy}{dx}}\right) + \left({1 - \frac{m^2}{x^2}}\right) y = 0 \\ \text{or} \quad & \ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + \left({x^2 - m^2}\right)y = 0 \end{align*}

    此方程为 mm-阶 Bessel 方程

    回忆：球坐标系下分离变量的径向方程也是一种 Bessel 方程

  • 第十二章介绍 Bessel 函数

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 倘若 λ=0\lambda = 0，则方程简化，

    zz-平移不变的成分

    对应 zz-平移不变的成分

    1ρddρ(ρdRdρ)+(−m2ρ2)R⇒ρddρ(ρddρR)=m2R\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho} \left({\rho \frac{dR}{d\rho}}\right) + \left({ - \frac{m^2}{\rho^2}}\right) R \quad\Rightarrow\quad \purple{\rho \frac{d}{d\rho}} \left({\purple{\rho \frac{d}{d\rho}} R}\right) = m^2 R

    此为 Euler 方程 (见第 7 章)

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 变量替换 ρ(t)=et\rho(t) = e^t，R(t)≔R(ρ(t))\green{R(t) \coloneqq R(\rho(t))}，使得

    ρddρ=ddt,d2R(t)dt2=m2R(t)\purple{\rho \frac{d}{d\rho}} = \frac{d}{dt}, \qquad \frac{d^2 R(t)}{dt^2} = m^2 R(t)

  • 对 mm 的取值分类讨论
分离变量

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  • 当 m≠0m \ne 0，R(ρ)=ρmR(\rho) = \rho^m

    m≠0m \ne 0 的情况分析

    • 当 m<0m < 0，ρ−m\rho^{-m} 在 zz 轴上 发散，不符合自然边界条件 R(0)=0R(0) = 0，舍去

    • 当 m>0m > 0，ρm\rho^m 在 zz 轴上 为零，符合自然边界条件 R(0)=0R(0) = 0。

    • 另外检查 ρ=a\rho = a 的第三类边界条件

      αdR(ρ)dρ+βR(ρ)∣ρ=a=mαam−1+βam>0\alpha \frac{dR(\rho)}{d\rho} + \beta R(\rho) \Bigg|_{\rho = a} = m \alpha a^{m - 1} + \beta a^m \red{> 0}

      不满足，舍去

    • m≠0m \ne 0 全军覆没

分离变量

柱坐标下 Laplace 方程分离变量

  • 当 m=0m = 0，R(ρ)=1,ln⁡ρR(\rho) = 1, \ln \rho

m=0m = 0 的情况分析

  • R(ρ)=ln⁡ρR(\rho) = \ln \rho 在 ρ=0\rho = 0 处 发散，不符合自然边界条件 R(0)R(0) 有限 ，舍去

  • R(ρ)=1R(\rho) = 1 在 ρ=0\rho = 0 处 有限，符合自然边界条件 R(0)R(0) 有限

  • 另外检查 ρ=a\rho = a 的第三类边界条件

    αR′(ρ)+βR(ρ)∣ρ=a=β\alpha R'(\rho) + \beta R(\rho) \big|_{\rho = a} = \beta

    如果实际上是第二类边界条件 (β=0)(\beta = 0)，可以保留 R(ρ)=1R(\rho) = 1，否则 舍去

  • 当且仅当 ρ=a\rho = a 处取第二类边界条件，m=0m = 0 是合法的解，R(ρ)=1R(\rho) = 1

  • 当且仅当 ρ=a\rho = a 取第二类边界条件，λ=0\lambda = 0 是可取的，此时 m=0m = 0。否则 λ=0\lambda = 0 不可取。
分离变量

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  • λ,m\lambda, m 的分类总结

    λ=0λ>0m=0第二类外边界m-阶 Besselm≠0×m-阶 Bessel\begin{matrix} & \lambda = 0 & \lambda > 0\\ m = 0& 第二类外边界 & m\text{-阶 Bessel} \\ m \ne 0& \times & m\text{-阶 Bessel} \end{matrix}

分离变量

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  • zz 方向方程很简单

    d2Zdz2=λZ⇒Z=e±λz\frac{d^2 Z}{dz^2} = \lambda Z \quad \Rightarrow \quad Z = e^{\pm \sqrt{\lambda}z}

    Sturm-Liouville 定理

    Sturm-Liouville λ≥0\lambda \ge 0

  • 自然边界条件：ZZ 在 zz 的各边界处 (包括无穷远) 都是有限的

    • z∈[zmin,zmax]z \in [z_\text{min}, z_\text{max}]: 解是 e±λxe^{\pm \sqrt{\lambda}x} 的线性组合
    • z∈[zmin,+∞)z \in [z_\text{min}, +\infty)：解只能取 e−λxe^{- \sqrt{\lambda}x}
    • z∈(−∞,zmax]z \in (-\infty, z_\text{max}]：解只能取 e+λxe^{+ \sqrt{\lambda}x}

--- ### 梯度 - 点乘的结果：**复合函数求导** (链式法则) $$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \green{\nabla u} = \frac{\partial u}{\partial q_i} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \green{\frac{\partial u}{\partial \mathbf{r}}} $$ <div class='proof comment'> **链式法则与现代微分几何** * $\partial u/\partial \mathbf{r}$ 这个符号使得链式法则更加明显 * 现代微分几何：$q_i \to x^\mu$, $\partial \mathbf{r}/\partial q_i \to \partial/\partial x^\mu$ $$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} \cdot \nabla u \quad\to\quad \left({\frac{\partial}{\partial x^\mu}}\right)^\nu \nabla_\nu u = \frac{\partial u}{\partial x^\mu} $$ </div>