\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}

柱函数

柱函数的基本性质

柱函数基本性质

  • 分离变量回顾
  • 函数的整体图景
  • 递推关系与渐近形式
  • 生成函数
柱函数的基本性质

分离变量

  • 处理含圆柱形边界面的物理问题

  • 柱坐标 (ρ,φ,z)(\rho, \varphi, z)：径向坐标 (ρ,z)(\rho, z)，角向坐标 φ\varphi

  • Laplace 方程分离径向 (ρ,z\rho, z)与角向 (φ\varphi)：第一分离常数 μ\mu

    1Rρddρ(ρdRdρ)−μρ2=−1Zd2Zdz2d2Φdφ2+μΦ=0\begin{align*} \frac{1}{R\rho} \frac{d}{d\rho} \bigg(\rho \frac{dR}{d\rho}\bigg) - \frac{\green{\mu}}{\rho^2} = - \frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{dz^2} \qquad \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + \mu \Phi = 0 \end{align*}

    • φ\varphi 方向使用周期性边界条件：μ=m2\mu = m^2，m=0,1,2,⋯m = 0, 1, 2, \cdots，Φ(φ)=e±imφ\Phi(\varphi) = e^{\pm im\varphi}
    • 在单独研究 Bessel 方程时，升级 m→νm \to \nu 可以取遍任意复数
柱函数的基本性质

分离变量

  • 分离两个径向 RR 与 zz (第二分离常数 λ\lambda)

    1ρddρ(ρdRdρ)−m2ρ2R= −λRd2Zdz2= +λZ\begin{align*} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho} \left({\rho \frac{dR}{d\rho}}\right) - \frac{m^2}{\rho^2} R = & \ - \green{\lambda} R \\ \frac{d^2 Z}{dz^2} = & \ + \green{\lambda} Z \end{align*}

    λ\lambda 一定程度上刻画 zz 方向的平移不变性：Z(z)=Az+BZ(z) = Az + B，其中 Z(z)=BZ(z) = B 的部分刻画了平移不变的成分。

柱函数的基本性质

分离变量

  • 倘若 λ≠0\lambda \ne 0：ρ\rho 方向可以重写为 mm-阶Bessel 方程

  • 记 x=λρx = \sqrt{\lambda}\rho，y(x)=R(ρ)y(x) = R(\rho)

    y′′+1xy′+(1−m2x2)y=0y'' + \frac{1}{x}y' + \bigg(1 - \frac{m^2}{x^2}\bigg) y = 0

    • 作为“径向坐标”，x>0x > 0

    • 柱坐标分离变量 不是 Bessel 方程的唯一来源，也可以来自一维线性势能的薛定谔方程等其他问题：此时 xx 不再具有“径向坐标”的物理意义，原则上 xx 可正可负

柱函数的基本性质

分离变量

分离变量

  • 柱坐标分离变量的分离常数是 λ,μ\lambda, \mu

  • 但是在 Bessel 方程中，非零的 λ\lambda 被吸收到了自变量 xx 的定义中，并没有显式出现

    但 λ\lambda 会受到 x≠0x \ne 0 处的物理边界条件约束

柱函数的基本性质

分离变量

  • 如果 λ=0\red{\lambda=0} 怎么办？

  • 当 λ=0\lambda = 0，

    ρddρ(ρdRdρ)=m2R⇒R~(t)=R(ρ)ρ=etddtddtR~(t)=m2R~(t)\rho\frac{d}{d\rho}\bigg(\rho \frac{dR}{d\rho}\bigg) = m^2 R \qquad \xRightarrow[\tilde R(t) = R(\rho)]{\rho = e^t} \qquad \frac{d}{dt}\frac{d}{dt}\tilde R(t) = m^2 \tilde R(t)

    线性独立解可以分情况讨论：

    {R~(t)=e±mtm>0R~(t)=const,tm=0⇒{R(ρ)=ρ±mm>0R(ρ)=const,ln⁡ρm=0\begin{cases} \tilde R(t) = e^{\pm m t} & m > 0\\ \tilde R(t) = \text{const}, t & m = 0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} R(\rho) = \rho^{\pm m} & m > 0\\ R(\rho) = \text{const}, \ln\rho & m = 0 \end{cases}

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 考虑升级 m→ν∈Cm \to \nu\in \mathbb{C}，Re⁡ν≥0\operatorname{Re}\nu \ge 0

    y′′+1xy′+(1−ν2x2)y=0y'' + \frac{1}{x}y' + \bigg(1 - \frac{\nu^2}{x^2}\bigg) y = 0

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 上述 ν\nu-阶 Bessel 方程属于 Sturm-Liouville 型方程，求解区间是 (0,∞)(0, \infty)

    k(x)=x,q(x)=ν2x,ρ(x)=xk(x) = x, \qquad q(x) = \frac{\nu^2}{x}, \qquad \rho(x) = x

  • 作为 Sturm-Liouville 问题，本征值被选定为 =1= 1

  • ν\nu 不是本征值：ν\nu 由角向 (φ\varphi) 边界条件决定，不管 ν\nu 是多少，都可以获得两个线性独立解 (Fuchs 定理)

    额外考虑自然边界条件 ∣y(0)∣<∞|y(0)| < \infty 可以排除一个解；哪一个？

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 定理 (Fuchs)：x=0x = 0 是 Bessel 函数的正则奇点，在该邻域有两个 正则解

    第一解：y(1)(x)=∑n=0+∞ynxn+s1\small{第一解}：\purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s_1}

    第二解：y(2)(x)=∑n=0+∞yn′xn+s2+βy(1)(x)ln⁡(x)⏟对数项\small{第二解}：y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \red{y'_n} x^{n + s_2} + \underbrace{\beta \purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} \ln(x)}_{对数项}

    其中 s1,s2∈Cs_1, s_2 \in \mathbb{C} 称为 正则解的指标 或者 indicial roots，满足 Re⁡s1≥Re⁡s2\operatorname{Re}s_1 \ge \operatorname{Re}s_2。
柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 指标 s1,s2s_1, s_2 是下述指标方程 (indicial equation) 的根

    s2=ν2⇒s1=+ν,s2=−ν,Re⁡ν≥0s^2 = \nu^2 \qquad \Rightarrow \qquad s_1 = +\nu, \quad s_2 = -\nu, \qquad \operatorname{Re}\nu \ge 0

  • s1−s2=2νs_1 - s_2 = 2\nu
  • 根据 2ν2\nu 的取值，有三种情况：
    • generic：2ν∉Z2\nu \not\in \mathbb{Z}，β=0\beta = 0，第二解不含对数项 ln⁡(x)\ln(x)
    • ok：2ν=1,3,5,⋯2\nu = 1, 3, 5, \cdots，第二解不含对数 ln⁡x\ln x
    • bad：2ν=0,2,4,6,⋯2\nu = 0, 2, 4, 6, \cdots，β=0\beta = 0，第二解 一定含对数项
柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 当 Re⁡ν>0\operatorname{Re}\nu > 0，有 Re⁡s1>0\operatorname{Re}s_1 > 0，从而

    y(1)(x)=∑n=0+∞ynxn+s1→ x→0 0y_{(1)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} y_n x^{n + s_1} \xrightarrow{~x \to 0~} 0

  • 当 Re⁡ν>0\operatorname{Re}\nu > 0，有 Re⁡s2<0\operatorname{Re}s_2 < 0

    y(2)(x)=∑n=0+∞yn′xn+s2+βy(1)(x)ln⁡(x)⏟对数项→x→0∞y_{(2)}(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \red{y'_n} x^{n + s_2} + \underbrace{\beta \purple{\boldsymbol{y_{(1)}(x)}} \ln(x)}_{对数项} \xrightarrow{x \to 0} \infty

    第一项发散，第二项 (如果存在) 也发散：总是被自然边界条件排除

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 如果 ν=0\nu = 0，则 J0(x→0)=1J_0(x \to 0) = 1，Nν(x→0)=∞N_\nu(x\to 0) = \infty
柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 研究具体解的行为
  • 两个线性独立的解：{Jν,Nν}\{J_\nu, N_\nu\}

    y(1)(x)=Jν(x)=∑k=0+∞(−1)kk!Γ(k+ν+1)(x2)2k+νy_{(1)}(x) = J_\nu(x) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k }{k! \Gamma(k + \nu + 1)} \bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{2k + \nu}

    y(2)(x)=Nν(x)=cos⁡(πν)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(πν)y_{(2)}(x) = N_\nu (x) = \frac{\cos (\pi \nu) J_\nu(x) - J_{- \nu}(x)}{\sin (\pi \nu)}

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • Bessel 方程的解的几种叫法
  • 第一类柱函数：Jν(x)J_\nu(x)
  • 第二类柱函数：Nν(x)N_\nu(x)
  • 第三类柱函数：JJ 与 NN 的复线性组合

    第一种 Hankel 函数：Hν(1)(x)≔Jν(x)+iNν(x),\small{\text{第一种 Hankel 函数：}} \green{H^{(1)}_\nu(x) \coloneqq J_\nu(x) + i N_\nu(x)},

    第二种 Hankel 函数：Hν(2)(x)≔Jν(x)−iNν(x)\small{\text{第二种 Hankel 函数：}} \green{H^{(2)}_\nu(x) \coloneqq J_\nu(x) - i N_\nu(x)}

柱函数的基本性质

Bessel 方程的解

  • 四种函数线性相关：只有 两个 是 线性独立

    说明

    类似 cos⁡x,sin⁡x,e+ix,e−ix\cos x, \sin x, e^{+ix}, e^{-i x} 的相对关系

柱函数的基本性质

整体函数图像

  • 考虑最简单的情况：ν,x∈R\nu, x \in \mathbb{R}
柱函数的基本性质

整体函数图像

柱函数的基本性质

原点渐近行为

  • 下面研究 Jν(x)J_\nu(x) 和 Nν(x)N_\nu(x) 的原点渐近行为

  • 先看 ν∈R\nu \in \mathbb{R} 时 JνJ_\nu 在原点 x=0x = 0 处的行为

    ν>0\nu > 0 ν=0\nu = 0 ν<0\nu < 0
    Jν(0)=0J_\nu(0) = 0 J0(0)=1J_0(0) = 1 J−m(0)=0J_{-m}(0) = 0
    J−m+ϵ(0)=(−1)m−1⋅∞J_{- m + \epsilon}(0) = (- 1)^{m - 1} \cdot \infty
    J−m−ϵ(0)=(−1)m⋅∞J_{- m - \epsilon}(0) = (- 1)^{m} \cdot \infty

    其中 ϵ∈(0,1)\epsilon \in (0,1)

柱函数的基本性质

原点渐近行为

  • ν>0\nu > 0 时，Jν(x)J_\nu(x) 随着 ν\nu 连续变化，全程保持 Jν(x→0)=0J_\nu(x\to 0) = \green{0}
  • ν=0\nu = 0 是一个临界点：J0(x→0)=1J_0(x \to 0) = \orange{1}
  • ν<0\nu < 0 时 Jν(x→0)J_\nu(x \to 0) 随着 ν\nu 分段连续变化
    • 无穷多个临界点：ν=−m=−1,−2,−3,⋯\nu = -m = -1, -2, -3, \cdots
    • 跨过临界点时 Jν(x→0)J_\nu(x \to 0) 发生 跃变：正无穷 ↔\leftrightarrow 负无穷
柱函数的基本性质

原点渐近行为

  • 定理：对于一般的 ν∈C\nu \in \mathbb{C} 值，Jν(x)J_\nu(x) 有如下几种原点渐近行为

    ν=0: lim⁡x→0J0(x)=1Re⁡ν>0: lim⁡x→0Jν(x)=lim⁡x→0J−1,−2,⋯(x)=0Re⁡ν < 0 and ν≠0,−1,−2,⋯: lim⁡x→0Jν(x)=∞\begin{align*} \nu = 0:& \ \lim_{x \to 0}J_0(x) = 1\\ \operatorname{Re}\nu > 0:& \ \lim_{x \to 0} J_{\nu}(x) = \lim_{x \to 0}J_{-1,-2,\cdots}(x) = 0\\ \operatorname{Re}\nu ~ \red{\boldsymbol{<}} ~ 0~ \text{and}~ \red{\nu \ne 0, -1, -2, \cdots}:& \ \lim_{x \to 0} J_{\nu}(x) = \infty \end{align*}

    注意

    • 除了 ν=0\nu = 0，不讨论 Re⁡ν=0\operatorname{Re}\nu = 0 时渐近行为，因为涉及 0iIm⁡ν0^{i \operatorname{Im}\nu} 的非良定性
    • lim⁡x→0\lim_{x \to 0} 与 lim⁡ν→0\lim_{\nu \to 0} 不交换，

      lim⁡ν→0lim⁡x→0Jν(x)=0,lim⁡x→0lim⁡ν→0Jν(x)=1\lim_{\nu \to 0}\lim_{x \to 0}J_\nu(x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0}\lim_{\nu \to 0} J_\nu (x) = 1

柱函数的基本性质

原点渐近行为

不同 ν\nu 的原点行为: 绿色代表极限为 00，红色代表极限为 ∞\infty，黄色代表极限为 11

柱函数的基本性质

原点渐近行为

说明

  • 按照定义推导。考虑 Re⁡ν≥0\operatorname{Re}\nu \ge 0。
  • Jν(x→0)J_\nu(x \to 0) 只有领头阶 k=0\orange{k = 0} 项的贡献，

    Jν(x→0)∼1Γ(1+ν)(x2)νJ_\nu(x \to 0) \sim \frac{1}{\Gamma(1 + \nu)} \bigg(\frac{x}{2}\bigg)^\nu

    根据 ν=0\orange{\nu = 0} 还是 Re⁡ν>0\orange{\operatorname{Re}\nu > 0}，分别趋近 1\red{1} 和 0\red{0}，

    (x2)0=1,(x2)Re⁡ν+iIm⁡ν=∣x∣Re⁡νe−(arg⁡x)Im⁡νei(...)→0\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^0 = 1, \qquad \bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{\operatorname{Re}\nu + i \operatorname{Im}\nu} = |x|^{\operatorname{Re}\nu} e^{-(\operatorname{arg}x) \operatorname{Im}\nu} e^{i(...)} \to 0

柱函数的基本性质

原点渐近行为

说明

  • Jν<0(x)J_{\nu < 0}(x) 的领头贡献还是 k=0k = 0，分两种情况
  • 当 ν=−m=1,2,3,⋯\nu = -m = 1,2,3, \cdots，此时分母 Γ(1+ν)=∞\Gamma(1 + \nu) = \infty，使得

    J−m(x→0)=0J_{-m}(x\to 0) = 0

  • 当 ν<0\nu < 0 但不是整数，

    Jν(x→0)∼1Γ(1+ν)(x2)ν→∞J_{\nu}(x \to 0) \sim \frac{1}{\Gamma(1 + \nu)}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{\nu} \to \infty

    其中 ν=−m±ϵ\nu = - m \pm \epsilon 时 Γ(1+ν)→ϵ→+0±(−1)m−1∞\Gamma(1 + \nu) \xrightarrow{\epsilon \to +0} \pm (-1)^{m - 1}\infty
柱函数的基本性质

原点渐近行为与自然边界条件

  • 综上，对于 generic ν\nu：Jν(x)J_\nu(x) 和 J−ν(x)J_{-\nu}(x) 在原点处具有 截然不同 的行为

    Jν(x→0)→0,J−ν(x→0)→∞,Re⁡ν>0,  2ν∉ZJ_\nu(x \to 0) \to 0, \qquad J_{-\nu}(x \to 0) \to \infty, \qquad \operatorname{Re}\nu > 0, \ \ 2\nu \not\in \mathbb{Z}

  • generic ν\nu：JνJ_\nu 和 J−νJ_{-\nu} 的线性独立性

  • JνJ_{\nu} 满足自然边界条件，J−νJ_{-\nu} 破坏自然边界条件

    柱坐标系分离变量 m≠0m \ne 0 的时候必须 R(ρ→0)=0R(\rho \to 0) = 0

  • 当 ν=0\nu = 0，J0(x→0)=1J_0(x \to 0) = 1：同样满足自然边界条件

    柱坐标系分离变量 m=0m = 0 的时候要求 R(ρ→0)R(\rho \to 0) 有限

柱函数的基本性质

原点渐近行为

  • 定理：NνN_\nu 有如下原点渐近行为

    Nν(x→0)→∞,Re⁡ν≥0N_\nu(x \to 0) \to \infty, \qquad \operatorname{Re} \nu \ge 0

    说明

    • 对于 generic Re⁡ν>0\operatorname{Re}\nu > 0

      Nν(x)=cos⁡(πν)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(πν)N_\nu(x) = \frac{\cos (\pi \nu)J_\nu(x) - J_{-\nu}(x)}{\sin (\pi \nu)}

      包含 J−ν(x)J_{-\nu}(x)，因此 x→0x \to 0 总是趋于无穷大。
    • Nm=0,1,2,⋯(x)N_{m = 0, 1, 2, \cdots}(x) 由于有对数项 2πJm(x)ln⁡x\frac{2}{\pi}J_m(x)\red{\ln x}，x→0x \to 0 时趋于无穷大
柱函数的基本性质

原点渐近行为

NνN_\nu 与 JνJ_\nu 总是线性独立，J−νJ_{-\nu} 则是两边倒

柱函数的基本性质

原点渐近行为


NνN_\nu 与 JνJ_\nu 总是线性独立，J−νJ_{-\nu} 则是两边倒

柱函数的基本性质

原点渐近行为

  • 对任意 ν\nu，Bessel 方程的两个解，只有一个满足 x=0x = 0 处的自然边界条件，另一个在 x=0x = 0 处总是 无穷大

    这两个解可以取 {Jν,J−ν}\{J_\nu, J_{-\nu}\}，或者 {Jν,Nν}\{J_\nu, N_\nu\}，结论都一样

    x=0x = 0 端的自然边界条件对 ν\nu 没有约束力

柱函数的基本性质

无穷远附近行为

  • 定理 (不作证明)：对于 −π<arc⁡x<π-\pi < \operatorname{arc}x < \pi (即 x∉R<0\red{x \not \in \mathbb{R}_{<0}})

    Jν(x→∞)∼2πxcos⁡(x−πν2−π4)J_\nu(x \to \infty) \sim \purple{\sqrt{\frac{2}{\pi x}}} \cos(\orange{x - \frac{\pi \nu}{2} - \frac{\pi}{4}})

    Nν(x→∞)∼2πxsin⁡(x−πν2−π4)N_\nu(x \to \infty) \sim \purple{\sqrt{\frac{2}{\pi x}}} \sin(\orange{x - \frac{\pi \nu}{2} - \frac{\pi}{4}})

    Hν(1)(x→∞)∼2πxe+i(x−πν2−π4)H^{(1)}_\nu(x \to \infty) \sim \purple{\sqrt{\frac{2}{\pi x}}} e^{+i(\orange{x - \frac{\pi \nu}{2} - \frac{\pi}{4}})}

    Hν(2)(x→∞)∼2πxe−i(x−πν2−π4)H^{(2)}_\nu(x \to \infty) \sim \purple{\sqrt{\frac{2}{\pi x}}} e^{ - i(\orange{x - \frac{\pi \nu}{2} - \frac{\pi}{4}})}

柱函数的基本性质

无穷远附近行为

说明

  • 渐近行为中 cos⁡,sin⁡\cos, \sin 和指数函数的宗量相同，

    x−πν2−π4\orange{x - \frac{\pi\nu}{2} - \frac{\pi}{4}}

    四个函数的关系类似 cos⁡x,sin⁡x,e+ix,e−ix\cos x, \sin x, e^{+ix}, e^{-i x} 的相对关系
  • 都有共同衰减因子

    2πx\purple{\sqrt{\frac{2}{\pi x}}}

柱函数的基本性质

零点

  • 定理：Jν(x)J_\nu(x) 的零点均为单零点

  • 定理：Jν(x)J_\nu(x) 和 Jν′(x)J'_\nu(x) 在正实轴上有无穷多零点

    • Jν(x)J_\nu(x) 的零点数量可以从 Jν(x→∞)J_\nu(x \to \infty) 的 cos⁡\cos 型渐近行为看出
    • 由于连续函数 Jν(x)J_\nu(x) 在正实轴有无穷多零点，根据罗尔中值定理，相邻零点之间必然有斜率为零的点

    罗尔中值定理：若 ff 是在 [a,b][a, b] 上连续，(a,b)(a,b) 可导的函数，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则在 (a,b)(a, b) 上至少有一个点 cc，使得 f′(c)=0f'(c) = 0

柱函数的基本性质

零点

  • Jν(x0)=0J_\nu(x_0) = 0 的两种观点
    • 给定 ν\nu 求 x0x_0：齐次第一类边界条件对 x0=λρ0x_0 = \sqrt{\lambda}\rho_0 的约束
      ⇒\Rightarrow 总是有无穷多个 x0x_0-解
    • 给定 x0x_0 求 ν\nu：齐次第一类边界条件对 ν\nu 的约束
      ⇒\Rightarrow 总是有无穷多个 ν\nu-解
柱函数的基本性质

零点

  • 类似地，Jν′(x0)=0J'_\nu(x_0) = 0 也有两种观点
    • 给定 ν\nu 求 x0x_0：齐次第二类边界条件对 x0=λρ0x_0 = \sqrt{\lambda}\rho_0 的约束
      ⇒\Rightarrow 也有无穷多个 x0x_0-解
    • 给定 x0x_0 求 ν\nu：齐次第二类边界条件对 ν\nu 的约束
      ⇒\Rightarrow 也有无穷多个 ν\nu-解
柱函数的基本性质

零点

  • 定理：Jν(x)J_\nu(x) 在 负实轴 上的零点由正实轴上的零点确定，形成对称分布

    这是因为 Jν(eπix)=eπiνJν(x)J_\nu(e^{\pi i }x) = e^{\pi i \nu} J_\nu(x)，∀x>0\forall x > 0，从而若 x0x_0 是 Jν(x0)=0J_\nu(x_0) = 0 的解，则

    J(−x0)=eπiνJ(x0)=0J(-x_0) = e^{\pi i \nu}J(x_0) = 0

    反之依然

柱函数的基本性质

实性 (过于复杂不用考)

  • 当 ν∈R\nu \in \mathbb{R}，x>0x > 0：Jν(x)J_\nu(x) 保证是实数，但是 Jν(−x)=eiπνJν(x)J_{\nu}(-x) = e^{ i \pi \nu}J_\nu(x)，从而

    Im⁡Jν(−x)=sin⁡(πν)Jν(x)\operatorname{Im}J_{\nu}(-x) = \sin(\pi \nu) J_\nu(x)

    • 当 ν∈Z\nu \in \mathbb{Z}，Jν(−x)=(−1)νJν(x)J_{\nu}(-x) = (-1)^\nu J_\nu(x) 也是实数
    • 当 ν∉Z\nu \notin \mathbb{Z}，只有 Jν(x)=0=J−ν(x)J_{\nu}(x) = 0 = J_{-\nu}(x) 才是实数
柱函数的基本性质

实性 (过于复杂不用考)

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 定理：在四个柱函数 Jν,Nν,Hν(1),Hν(2)J_\nu, N_\nu, H^{(1)}_\nu, H^{(2)}_\nu 中任取一个 记作 ZνZ_\nu，均满足 柱函数递推公式

    ddx[xνZν(x)]=xνZν−1,ddx[x−νZν(x)]=−↓x−νZν+1\frac{d}{dx}[\purple{x^\nu Z_\nu(x)}] = \red{x^\nu Z_{\nu - 1}} , \qquad \frac{d}{dx}[\red{x^{-\nu} Z_\nu(x)}] = \purple{\stackrel{\downarrow}{-} x^{-\nu} Z_{\nu + 1}}

    证明
    利用 Jν(x)J_\nu(x) 级数表达式暴力证明，由此也可以证明 Nν(x)N_\nu(x) 也满足相同递推

    • 等号两边的 xx 幂次相同
    • ν\nu 较低/较高的 JJ 都可以是 ν\nu 较高/较低的 JJ 的导数
柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 推论: 递推关系的积分表述

    xνZν(x)=∫xx′νZν−1(x)dx′,x−νZν(x)=−∫xx′−νZν+1(x)dx′x^\nu Z_\nu(x) = \int^x x'^\nu Z_{\nu - 1}(x) dx', \qquad x^{-\nu} Z_\nu(x) = - \int^x x'^{-\nu} Z_{\nu + 1}(x) dx'

  • 推论: 分别选 ν=1\nu = 1，ν=0\nu = 0

    ddx(xJ1(x))=xJ0(x),ddxJ0(x)=−J1(x)\frac{d}{dx}\Big(xJ_1(x)\Big) = xJ_0(x), \qquad\frac{d}{dx}J_0(x) = - J_1(x)

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 推论：JνJ_\nu 与 Jν+1J_{\nu + 1} 的正零点相间分布

    证明

    • 第一递推说明 xν+1Jν(x)\red{x^{\nu + 1}J_\nu(x)} 是 xν+1Jν+1(x)\purple{x^{\nu + 1} J_{\nu + 1}(x)} 的导数，

      ddx[xν+1Jν+1(x)]=xν+1Jν(x) \frac{d}{dx}[\purple{x^{\nu + 1} J_{\nu + 1}(x)}] = \red{x^{\nu + 1}J_\nu(x)}

      于是 xν+1Jν+1(x)\purple{x^{\nu + 1} J_{\nu + 1}(x)} 的两个正零点之间必然有 xν+1Jν(x)\red{x^{\nu + 1} J_{\nu}(x)} 的一个正零点，也就是 Jν(x)J_\nu(x) 的一个正零点。
柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

说明

  • 反过来，第二递推说明 −x−νJν+1(x)\purple{-x^{-\nu} J_{\nu + 1}(x)} 是 x−νJν(x)\red{x^{-\nu} J_{\nu}(x)} 的导数，

    ddx[x−νJν(x)]=−x−νJν+1(x) \frac{d}{dx}[\red{x^{-\nu} J_\nu(x)}] = \purple{- x^{-\nu} J_{\nu + 1}(x)}

    于是 xνJν(x)\red{x^{\nu} J_{\nu}(x)} 的两个正零点之间必然有 −xνJν+1(x)\purple{- x^{\nu} J_{\nu + 1}(x)} 的一个正零点，也就是 Jν+1(x)J_{\nu + 1}(x) 的一个正零点。
柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 推论：考虑 ν>−1\nu > -1，Jν(x)J_\nu(x) 的 最小 正零点比 Jν+1J_{\nu + 1} 的 最小正零点更靠左

    证明

    • 核心原因：原点是 xν+1Jν+1(x)\purple{x^{\nu + 1}J_{\nu + 1}(x)} 的零点
    • 设 x1x_1 为 Jν+1(x)J_{\nu + 1}(x) 的 最小正零点
    • 对于 ν>−1\nu > -1，有 xν+1Jν+1(x)→x→00\purple{x^{\nu + 1}J_{\nu + 1}(x)} \xrightarrow{x \to 0} 0，即原点是其零点
    • xν+1Jν(x)\red{x^{\nu + 1}J_\nu(x)} 作为 xν+1Jν+1(x)\purple{x^{\nu + 1}J_{\nu + 1}(x)} 的导数，在原点和 x1x_1 之间至少有一个正零点，从而 Jν(x)J_\nu(x) 的最小正零点小于 x1x_1，更加靠左
柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

ν≤−1\nu \le -1

  • 当 ν=−1\nu = -1，xν+1=x0x^{\nu + 1} = \orange{x^0}，Jν+1(x)=J0(x)J_{\nu + 1}(x) = J_0(x)，从而

    xν+1Jν+1(x)=x0J0(x→0)=1≠0\purple{x^{\nu + 1}J_{\nu + 1}(x)} = \orange{x^0} J_0(x \to 0) = 1 \ne 0

  • 缺乏原点作为零点：J0(x)J_0(x) 的最小正零点左侧 不保证 有 J−1(x)J_{-1}(x) 的正零点
  • 事实上 J−1(x)=−J1(x)J_{-1}(x) = - J_1(x)，其最小正零点比 J0(x)J_0(x) 的更靠右
  • 随着 ν→−1\nu \to -1，Jν(x)J_\nu(x) 的最小正零点向左移动，在 ν=−1\nu = -1 时变成原点，最小正零点由第二正零点接管
柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 推论：柱函数等价递推公式

    Zν−1+Zν+1=2νxZν,Zν−1−Zν+1=2Zν′Z_{\nu - 1} + Z_{\nu + 1} = \frac{2\nu}{x} Z_\nu, \qquad Z_{\nu - 1} - Z_{\nu + 1} = 2Z_\nu'

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 递推关系

    ddx[xνZν(x)]=xνZν−1,ddx[x−νZν(x)]=−x−νZν+1\frac{d}{dx}[{x^\nu Z_\nu(x)}] = {x^\nu Z_{\nu - 1}} , \qquad \frac{d}{dx}[{x^{-\nu} Z_\nu(x)}] = {- x^{-\nu} Z_{\nu + 1}}

  • 两个递推关系分别展开，除掉公因式 xνx^\nu、x−νx^{-\nu}

    νx−1Zν+Zν′=Zν−1,−↓νx−1Zν+Zν′=−Zν+1\purple{\nu x^{ - 1}Z_\nu} + \red{Z_{\nu}'} = Z_{\nu - 1}, \qquad \stackrel{\downarrow}{-} \purple{\nu x^{ - 1}Z_\nu} + \red{Z_{\nu}'} = - Z_{\nu + 1}

  • 作 差 消去 Zν′Z_\nu'，或者作 和，分别得到

    2νxZν=Zν−1+Zν+1,2Zν′=Zν−1−Zν+1\red{\frac{2\nu}{x} Z_\nu = Z_{\nu - 1} + Z_{\nu + 1}} , \qquad \green{2Z_\nu' = Z_{\nu - 1} - Z_{\nu + 1}}

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 定义：满足柱函数递推公式的函数称为 柱函数

  • 柱函数是 Bessel 方程的全体解的子集

    注意

    Bessel 方程的解不一定是柱函数：Z~ν≔νJν(x)\tilde Z_\nu \coloneqq \nu J_\nu(x) 是 Bessel 方程的解，但 不是 柱函数

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 定理：柱函数递推关系可以导出 Bessel 方程

    • 递推关系展开得到

      νx−1Zν+Zν′=Zν−1,−νx−1Zν+Zν′=−Zν+1(A)\nu x^{ - 1}Z_\nu + Z_{\nu}' = Z_{\nu - 1}, \quad - \nu x^{ - 1}Z_\nu + Z_{\nu}' = - \red{Z_{\nu + 1}} \tag{A}

    • 第一式令 ν→ν+1\nu \to \nu + 1，

      ν+1xZν+1+Zν+1′=Zν(B)\frac{\nu + 1}{x} \red{Z_{\nu + 1}} + \red{Z'_{\nu + 1}} = \purple{Z_\nu} \tag{B}

    • 第二式求导

      νx2Zν−νxZν′+Zν′′=−Zν+1′(C)\frac{\nu}{x^2}\purple{Z_\nu} - \frac{\nu}{x}\purple{Z'_\nu} + \purple{Z''_\nu} =- \red{Z'_{\nu + 1}} \tag{C}

柱函数的基本性质

ν\nu-间递推关系

  • 用 A, C 式将 Zν+1Z_{\nu + 1}，Zν+1′Z'_{\nu + 1} 表达成 Zν,Zν′,Zν′′\purple{Z_\nu, Z'_\nu, Z''_\nu}，代入 B 式，

    ν+1x(νxZν−Zν′)−(νx2Zν−νxZν′+Zν′′)=Zν\frac{\nu + 1}{x} (\frac{\nu}{x} \purple{Z_\nu} - \purple{Z'_\nu}) - (\frac{\nu}{x^2} \purple{Z_\nu} - \frac{\nu}{x} \purple{Z'_\nu} + \purple{Z''_\nu}) = \purple{Z_\nu}

  • 化简得到 Bessel 方程，

    Zν′′+1xZν′+(1−ν2x2)Zν=0\purple{Z''_\nu} + \frac{1}{x} \purple{Z'_\nu} + (1 - \frac{\nu^2}{x^2}) \purple{Z_\nu} = 0

整数阶柱函数

整数阶柱函数

  • 基本性质
  • 本征值问题
  • 广义傅里叶级数
整数阶柱函数

基本性质

  • 常见于柱坐标系的分离变量问题

  • 整数阶 Bessel 函数的级数表达式：ν=m∈N\nu = m \in \mathbb{N}

    Jm(x)=∑k=0+∞(−1)kk!(k+m)!(x2)2k+mJ_m(x) = \sum_{k = 0 }^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k + m)!} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k + m}

    说明

    • Γ(k+ν+1)=(k+m)!\Gamma(k + \nu + 1) = (k + m)!
整数阶柱函数

基本性质

  • 关于 mm 的对称性 J−m(x)=(−1)mJm(x)J_{-m}(x) = (-1)^m J_m(x)

    对于一般的 ν\nu，此性质不能推广

  • 关于 xx 的对称性 Jm(−x)=(−1)mJm(x)J_m(-x) = (-1)^m J_m(x)

    说明

    • Jm(z)J_m(z) 是单值的，因此 −x-x 不需要用 eπixe^{\pi i}x 来强调 (要强调也不是不行)
    • 对于一般的 ν\nu 有自然推广 (−1)m→eπiν(-1)^m \to e^{\pi i \nu}
整数阶柱函数

生成函数

  • 生成函数 (generating function)/母函数

    exp⁡[z2(t−1t)]=∑m=−∞+∞Jm(z)tm,t∈C−{0}\exp \left[{\frac{z}{2}(t - \frac{1}{t})}\right] = \sum_{m = -\infty}^{+\infty}J_m(z)t^m , \qquad t \in \mathbb{C}-\{0\}

    说明

    • 不做证明。注意求和取遍所有整数 mm。

    • 给出母函数在 tt 的环状邻域 0<∣t∣<∞0 < |t| < \infty 中的 Laurent 展开

    • 坐标级数有无穷多个 t−mt^{-m} 项说明什么？

整数阶柱函数

生成函数

  • 母函数可以用来研究 Jm(z)J_m(z) 的特殊求和恒等式：研究一些特殊值
  • 当 z=0z = 0，t=1t = 1，t=it = i 时，可以得到什么样有趣的恒等式？
整数阶柱函数

生成函数

  • 当 z=0z = 0 时，

    ∑m=−∞+∞Jm(0)tm=J0(0)t0=e0=1\sum_{m = -\infty}^{+\infty} J_m(0)t^m = J_0(0)t^0 = e^0 = 1

  • 当 t=1t = 1 时，

    ∑m=−∞+∞Jm(z)=J0(z)+2∑k=1+∞J2k(z)=e0=1\sum_{m = - \infty}^{+\infty} J_m(z) = J_0(z) + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} J_{2k}(z) = e^{0} = 1

整数阶柱函数

生成函数

  • 对生成函数的操作可以转化为对 JmJ_m 的操作：zz 导，tt 导，积分，乘积

  • 指数的导数还是指数：对 zz 求导

    ddzez2(t−1t)=12(t−1t)ez2(t−1t)= ∑m∈ZJm′(z)tm12(t−1t)∑m∈ZJm(z)tm= ∑m∈ZJm′(z)tm⇒12(Jm−1(z)−Jm+1(z))= Jm′(z)\begin{align*} \frac{d}{dz} e^{\frac{z}{2}(t - \frac{1}{t})} = \frac{1}{2} \biggl(t - \frac{1}{t}\biggr) \orange{e^{\frac{z}{2}(t - \frac{1}{t})}} = & \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} J'_m(z)t^m \\ \frac{1}{2} \biggl(t - \frac{1}{t}\biggr) \orange{\sum_{m \in \mathbb{Z}}J_m(z)t^m } = & \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} J'_m(z)t^m \\ \Rightarrow \frac{1}{2}(J_{m - 1}(z) - J_{m + 1}(z)) = & \ J'_m(z) \end{align*}

    柱函数递推公式之一

整数阶柱函数

生成函数

  • 指数积分还是指数：对 zz 求积分，得 Jm(z)J_m(z) 的 原函数 Jm(z)\mathcal{J}_m(z)

    C(t)+2t−1/tez2(t−1t)= ∑m∈Z∫Jm(z)dz tmC(t)−2t ∑m∈ZJm(z)tm∑n=0+∞t2n= ∑m∈ZJm(z)tmM=2n+m+1: C(t)−2∑M∈Z∑n≥0JM−2n−1(z)tM= ∑M∈ZJM(z)tM\begin{align*} C(t) + \purple{\frac{2}{t - 1/t}}\orange{e^{\frac{z}{2}(t - \frac{1}{t})}} = & \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \green{\int J_m(z) dz} \ t^m\\ C(t) - \purple{2 t} \ \orange{\sum_{m \in \mathbb{Z}}J_m(z)t^m} \purple{\sum_{n = 0}^{+\infty}t^{2n}} = & \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \green{\mathcal{J}_m(z)} t^m \\ \gray{M = 2n + m + 1:} \ C(t) \orange{- 2\sum_{M \in \mathbb{Z}} \sum_{n \ge 0} J_{M - 2n - 1}(z)}t^M = & \ \sum_{M \in \mathbb{Z}} \orange{\mathcal{J}_M(z)} t^M \end{align*}

    • 为什么 CC 依赖 tt？
整数阶柱函数

生成函数

  • 推论：整数阶 Bessel 函数 Jm(x)J_m(x) 的原函数

    JM(z)=∫zJm(x)dx=−2∑n≥0JM−2n−1(z)+const\orange{\mathcal{J}_M(z)} = \int^z J_m(x)dx = \orange{-2 \sum_{n \ge 0}J_{M - 2n - 1}(z)} + \text{const}

整数阶柱函数

生成函数

  • 指数乘法还是指数

    ex2(t−1t)ey2(t−1t)=∑m∈Z∑n∈ZJm(x)Jn(y)tm+n= ex+y2(t−1t)=∑M∈ZJM(x+y)tM\begin{align*} & e^{\frac{x}{2}(t - \frac{1}{t})}e^{\frac{y}{2}(t - \frac{1}{t})} = \sum_{m \in \mathbb{Z}}\sum_{n \in \mathbb{Z}}J_m(x)J_n(y) t^{m + n} \\ = & \ e^{\frac{x + y}{2}(t - \frac{1}{t})} = \sum_{M \in \mathbb{Z}} J_M(x + y) t^M \end{align*}

  • 加法公式：比较两侧 tt 的同幂次项得到 Bessel 函数的加法公式

    JM(x+y)=∑k∈ZJk(x)JM−k(y)J_M(x + y) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} J_k(x) J_{M - k}(y)

整数阶柱函数

生成函数

  • 围道积分从生成函数提取单个 Jm(z)J_m(z)：

    Jm(z)=∮0dt2πi1t1tmez2(t−1t)J_m(z) = \oint_0 \frac{dt}{2\pi i}\frac{1}{t} \frac{1}{t^m} e^{\frac{z}{2}(t - \frac{1}{t})}

  • 圆围道积分重新参数化：t=eiφt = e^{i\varphi}，dt=deiφ=ieiφdφdt = de^{i \varphi} = i e^{i \varphi} d\varphi

    Jm(z)=∫02πdφ2πeizsin⁡φe−imφ=2π周期∫−ππdφ2πeizsin⁡φe−imφJ_m(z) = \int_{0}^{2\pi} \frac{d\varphi}{2\pi} e^{ i z \sin \varphi} e^{- i m \varphi} \stackrel{2\pi \text{周期}}{=} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d\varphi}{2\pi} e^{ i z \sin \varphi} e^{- i m \varphi}

    之前在介绍二维无界空间 ∇2\nabla^2-格林函数时用到

    J0(x)=∫02πdφ2πeixcos⁡φJ_0(x) = \int_0^{2\pi} \frac{d\varphi}{2\pi} e^{ix \cos \varphi}

整数阶柱函数

生成函数

  • 推论：对于 z∈R\red{\boldsymbol{z \in \mathbb{R}}}，利用三角不等式

    ∣Jm(z)∣≤∫02πdφ2π∣eizsin⁡φ∣∣e−imφ∣=∫02πdφ2π=1=1|J_m(z)| \le \int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{2\pi} |e^{iz \sin \varphi}| |e^{-i m \varphi}| = \int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{2\pi} = 1 = 1

整数阶柱函数

生成函数

  • Jm(x)J_m(x) 乘以函数 f(x)f(x) 积分

    ∫f(x)Jm(x)dx=∫dx∫−ππdφ2πeixsin⁡φe−imφf(x)\int f(x) \purple{J_m(x)}dx = \int dx \purple{\int_{-\pi}^\pi\frac{d\varphi}{2\pi} e^{ix \sin \varphi} e^{-im\varphi}} f(x)

  • 尝试交换积分顺序，先做 xx 再做 φ\varphi

    ∫f(x)Jm(x)dx=∫−π+πdφ2πe−imφf~(φ),f~(φ)≔∫dxf(x)eixsin⁡φ\int f(x) J_m(x) dx = \int_{-\pi}^{+\pi}\frac{d\varphi}{2\pi} e^{-i m \varphi} \green{\tilde f(\varphi)} , \qquad \green{\tilde f(\varphi) \coloneqq \int dx f(x)e^{i x \sin \varphi}}

    万一 f~(φ)\tilde f(\varphi) 比较简单，则剩下的 φ\varphi 积分就可以用各种方法计算

整数阶柱函数

生成函数

  • 例子：考虑 a,b>0a, b > 0，f(x)=e−axf(x) = e^{-a x}

    ∫0+∞e−axJ0(bx)dx=∫0+∞e−ax∫−ππdφ2πeibxsin⁡φdx\int_0^{+\infty} e^{-a x}J_0(\purple{b x}) dx = \int_0^{+\infty} e^{-a x} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d\varphi}{2\pi} e^{i \purple{b x} \sin \varphi} d x

  • 交换积分顺序：先做 xx 再做 φ\varphi

    ∫−ππdφ2π∫0+∞e−axeibxsin⁡φdx=∫−ππ1a−ibsin⁡φdφ2π \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d\varphi}{2\pi} \orange{\int_0^{+\infty} e^{-a x} e^{i b x \sin \varphi} d x} &= \int_{-\pi}^{\pi} \orange{\frac{1}{a - ib \sin \varphi}}\frac{d \varphi}{2\pi} \end{align*}

  • 这个积分可以通过留数方法计算，结果为：

    ∫−ππ1a−ibsin⁡θdθ2π=1a2+b2\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{a - ib \sin \theta}\frac{d \theta}{2\pi} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}

整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • 柱状区域内部拉普拉斯方程定解问题

    ∇2u=0,α∂u∂ρ+βu∣ρ=a=0\nabla^2 u = 0, \qquad \alpha \frac{\partial u}{\partial \rho} + \beta u\bigg|_{\rho = a} = 0

    外边界采取齐次第一二三类边界条件: 没有边界没有非平凡的 φ\varphi 依赖

    0≤ρ≤a0 \le \rho \le a，α,β≥0\alpha, \beta \ge 0，不同时为零

整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • Laplace 方程 (稳定场) 分离变量得到径向方程与边界条件

    R′′(ρ)+1ρR′+(λ−m2ρ2)R=0,m=0,1,2,⋯R(ρ=0)={有限,m=00,m≥1,αR′+βR∣ρ=a=0R''(\rho) + \frac{1}{\rho} R' + \biggl(\lambda - \frac{m^2}{\rho^2}\biggr) R = 0, \qquad m = 0, 1, 2, \cdots\\ R(\rho = 0) = \begin{cases} \small{\text{有限}}, & m = 0 \\ 0, & m \ge 1 \end{cases}, \qquad \alpha R' + \beta R \bigg|_{\rho = a} = 0

    • 这个 不是 Bessel 方程，因为有 λ\lambda 项
    • 给定 mm：(0,a](0, a] 上的 Sturm-Liouville 本征问题，本征值 λ\lambda，预期 λ≥0\lambda \ge 0

      k(ρ)=ρ,q(ρ)=m2ρ,权函数 w(ρ)=ρk(\rho) = \rho, \quad q(\rho) = \frac{m^2}{\rho}, \quad \green{\small{\text{权函数}} ~ w(\rho) = \rho}

整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • 对于 λ>0\lambda > 0，改用 x=λρ\green{x = \sqrt{\lambda}\rho}，得到整数阶 Bessel 方程

    y′′+1xy′+(1−m2x2)y=0y'' + \frac{1}{x} y' + \biggl(1 - \frac{m^2}{x^2}\biggr) y = 0

    解为 R(ρ)=Jm(λρ)R(\rho) = J_m(\sqrt{\lambda}\rho)，R(ρ)=Nm(λρ)R(\rho) = N_m(\sqrt{\lambda}\rho)

    Nm(λρ)N_m(\sqrt{\lambda}\rho) 不满足自然边界条件，舍弃

  • 对于 λ=0\lambda = 0，解欧拉方程：R(ρ)=ρm,ρ−m,ρ0,ln⁡ρR(\rho) = \green{\rho^m}, \rho^{-m}, \green{\rho^0}, \ln \rho

    柱体内部：ρ−m\rho^{-m} 和 ln⁡ρ\ln \rho 都不满足自然边界条件，舍弃

整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • 外边界的齐次第一二三类边界条件决定本征值的可能值以及存活的本征函数

    αR′+βR∣ρ=a=0\alpha R' + \beta R \bigg|_{\rho = a} = 0

  • 对于 λ>0\lambda > 0

    αλJm′(λa)+βJm(λa)=0\alpha \sqrt{\lambda} J'_m(\sqrt{\lambda}a) + \beta J_m(\sqrt{\lambda}a) = 0

    说明

    有无穷多个解 λm1<λm2<⋯\lambda_{m1} < \lambda_{m2} < \cdots，因为 JmJ_m 与 Jm′J'_m 的震荡衰减形态

整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • 对于 λ=0\lambda = 0，边界条件写成

    0=αR′+βR∣ρ=a={αmam−1+βam,R(ρ)=ρm,m≥1β,R(ρ)=1,m=00 = \alpha R' + \beta R\bigg|_{\rho = a} = \begin{cases} \alpha m a^{m-1} + \beta a^m, & R(\rho) = \rho^m & , m \ge 1 \\ \beta, & R(\rho) = 1, & m = 0 \end{cases}

    只可能是 β=0\beta = 0 (第二类齐次边界) 同时 m=0m = 0 有解
整数阶柱函数

Sturm-Liouville 本征值问题

  • R(ρ)R(\rho) 函数作为 Sturm-Liouville 本征问题的本征函数，满足正交性

    ∫0aRmi(ρ)Rmj(ρ)ρ⏟w(ρ)dρ=∫0aJm(λmiρ)Jm(λmjρ)ρdρ=0,i≠j\int_0^a R_{mi}(\rho) R_{mj}(\rho) \green{\underbrace{\rho}_{w(\rho)}} d\rho = \int_0^a J_m(\sqrt{\lambda_{mi}}\rho) J_m(\sqrt{\lambda_{mj}}\rho) \rho d\rho = 0, \quad i \ne j

  • 完备性：任意满足边界条件的函数 f(ρ)f(\rho) 都可以展开成本征函数的线性组合

    f(ρ)=∑i=1+∞fmiJm(λmiρ)f(\rho) = \sum_{i = 1}^{+\infty} f_{mi} J_m(\sqrt{\lambda_{mi}}\rho)

    mm 是固定的

整数阶柱函数

应用：柱状热传导问题求解

假设 zz 方向平移不变，求随时间变化的温度分布情况 u(ρ,φ,t)u(\rho, \varphi, t)

整数阶柱函数

应用：柱状热传导问题求解

  • zz-平移不变性：u(ρ,φ,t)u(\rho, \varphi, t)

    本质是二维空间 + 1 维时间问题；但 tt 等效地可以看成是第三个空间维度

  • 定解问题 (齐次第一类边界条件，初始条件有非平凡的 ρ,φ\rho, \varphi 依赖)

     ∂u∂t−a2∇2u=0u(ρ=ρ0,φ,t)=0,u(ρ,φ,t=0)=f(ρ,φ)\begin{align*} & \ \frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \nabla^2 u = 0 \quad u(\rho = \rho_0, \varphi, t) = 0, \quad u(\rho, \varphi, t = 0) = f(\rho, \varphi) \end{align*}

整数阶柱函数

应用：柱状热传导问题求解

  • 分离变量 u(ρ,φ,t)=R(ρ)Φ(φ)T(t)u(\rho, \varphi, t) = R(\rho)\Phi(\varphi)T(t),

    T′(t)+λa2T(t)= 0,Φ′′(φ)+m2Φ(φ)=0R′′+1ρR′+(λ−m2ρ2)R= 0\begin{align*} T'(t) + \lambda a^2 T(t) = & \ 0, \qquad \Phi''(\varphi) + m^2 \Phi(\varphi) = 0 \\ R'' + \frac{1}{\rho}R' + \biggl(\lambda - \frac{m^2}{\rho^2}\biggr)R = & \ 0 \end{align*}

    • 两次分离变量，两个分离常数：λ,m2\lambda, m^2：时空分离产生 Helmholtz 方程

      ∇2v(ρ,φ)+λv(ρ,φ)=0\nabla^2 v(\rho, \varphi) + \lambda v(\rho, \varphi) = 0

    • λ\lambda 刻画的 不是 zz 方向的平移不变性 (的偏离) ，而是时间方向
    • 第 7 章讨论过二维 ∇2u=0\nabla^2 u = 0 的极坐标系分离变量，对应这里 λ=0\lambda = 0
整数阶柱函数

应用：柱状热传导问题求解

  • 单值性：Φ(φ)=e±imφ\Phi(\varphi) = e^{\pm im \varphi}, m=0,1,2,⋯m = 0, 1, 2, \cdots

  • RR 方程是欧拉方程 (λ=0\lambda = 0) 或者 Bessel 方程 (λ>0)(\lambda > 0)，解为

    Rmi(ρ)=Jm(λmiρ)R_{mi}(\rho) = J_m(\sqrt{\lambda_{mi}}\rho)

    • ρ=0\rho = 0 处的自然边界条件选出 JmJ_m 而不是 NmN_m
    • ρ=ρ0\rho = \rho_0 处的齐次第一类边界条件排除 λ=0\lambda = 0 的解 ρ±m,1,ln⁡ρ\rho^{\pm m}, 1, \ln \rho

    其中 λmi\lambda_{mi} 通过 ρ=ρ0\rho = \rho_0 的齐次第一类边界条件确定

  • Tmi(t)=e−λmia2tT_{mi}(t) = e^{- \lambda_{mi} a^2 t}

整数阶柱函数

应用：柱状热传导问题求解

  • 一般解

    u(ρ,φ,t)=∑m∈N∑i(Amicos⁡mφ+Bmisin⁡mφ)e−λmia2tu(\rho, \varphi, t) = \sum_{m \in \mathbb{N}}\sum_i (A_{mi} \cos m\varphi+ B_{mi} \sin m\varphi) e^{- \lambda_{mi}a^2 t}

    说明

    • m=0m = 0 时只有 B0iB_{0i} 一个有效的待定系数，A0iA_{0i} 没用，因为 sin⁡0φ=0\sin 0 \varphi = 0
  • A,BA, B 待定系数：用初始条件 u(ρ,φ,t=0)=f(ρ,φ)u(\rho, \varphi, t = 0) = f(\rho, \varphi) 确定
虚宗量柱函数

虚宗量柱函数

  • 虚宗量 Bessel 函数
  • 虚宗量 Hankel 函数
  • 应用
虚宗量柱函数

虚宗量 Bessel 函数

  • Bessel 方程

    y′′+1xy′+(1−ν2x2)y=0y'' + \frac{1}{x} y' + \biggl(1 - \frac{\nu^2}{x^2}\biggr)y = 0

  • 方程的宗量 xx 和 ν\nu 可以均为复数
  • 比较常用：x∈Rx \in \mathbb{R}，x∈iRx \in i \mathbb{R}
虚宗量柱函数

虚宗量 Bessel 函数

  • 做 Wick rotation τ≔ix\tau \coloneqq ix，

    Iν(x)≔e−iνπ/2Jν(eπi/2x),eπi/2x∈iRI_\nu(x) \coloneqq e^{- i \nu \pi/2}J_\nu(e^{\pi i/2}x), \qquad e^{\pi i/2} x \in i \mathbb{R}

虚宗量柱函数

虚宗量 Bessel 方程

  • Iν(x)I_\nu(x) 满足

    y′′+1xy+(i2−ν2x2)y=0y'' + \frac{1}{x} y + \left({i^2 - \frac{\nu^2}{x^2}}\right)y = 0

    y′′+1xy+(−1−ν2x2)y=0y'' + \frac{1}{x} y + \left({- 1 - \frac{\nu^2}{x^2}}\right)y = 0

    说明

    被求导的不是 JνJ_\nu 的完整宗量：Iν(x)∼Jν(ix)I_\nu(x) \sim J_\nu(ix)

虚宗量柱函数

虚宗量 Bessel 函数

  • Iν(x)I_\nu(x) 的级数表达式

    Iν(x)=∑k=0+∞1k!Γ(k+ν+1)(x2)2k+νI_\nu(x) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{k!\Gamma(k + \nu + 1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{2k + \nu}

    说明

    Iν(x)I_\nu(x) 的别称：变型 Bessel 函数，第一类虚宗量 Bessel 函数，第一类变型 Bessel 函数

虚宗量柱函数

虚宗量 Bessel 函数

  • 定理：对于实数 ν\nu，xx，Iν(x)I_\nu(x) 单调增函数
  • 定理：I0(x→0)=1I_0(x \to 0) = 1，Im(x→0)=0I_m(x \to 0) = 0，m=1,2,3,…m = 1, 2,3, \dots
  • 定理：I−m(x)=Im(x)I_{-m}(x) = I_m(x)，m=0,1,2,…m = 0, 1,2, \dots
  • 定理：Im(−x)=(−1)mI(x)I_m(- x) = (-1)^m I(x)，m=0,1,2,…m = 0,1,2, \dots
  • 定理：递推公式

    ddx[xνIν(x)]=xνIν−1(x),ddx[x−νIν(x)]=x−νIν+1(x)\frac{d}{dx}[x^\nu I_\nu(x)] = x^\nu I_{\nu - 1}(x), \quad \frac{d}{dx}[x^{-\nu} I_\nu(x)] = x^{-\nu}I_{\nu + 1}(x)

虚宗量柱函数

虚宗量 Hankel 函数

  • 定义：ν\nu 阶虚宗量 Hankel 函数

    Kν(x)=π2sin⁡πν(I−ν(x)−Iν(x))K_\nu(x) = \frac{\pi}{2 \sin \pi \nu} (I_{-\nu}(x) - I_\nu(x))

    说明

    别称：第二类虚宗量 Bessel 函数，第二类变型 Bessel 函数

  • 对称性：K−ν(x)=Kν(x)K_{-\nu}(x) = K_\nu(x)

    说明

    以后假设 Re⁡ν≥0\operatorname{Re}\nu \ge 0

虚宗量柱函数

极限

  • 0 极限：

    lim⁡x→0Iν(x)=0,lim⁡x→0Kν(x)=∞,ν∉ Nlim⁡x→0I0(x)=1,lim⁡x→0Iν(x)=0,ν∈ N>0lim⁡x→0Kν(x)=∞,ν∈ N\begin{align*} \lim_{x \to 0} I_\nu(x) = 0, \quad \lim_{x \to 0} K_\nu(x) = \infty, \quad \nu \not\in & \ \mathbb{N}\\ \lim_{x \to 0}I_0(x) = 1, \quad \lim_{x \to 0} I_\nu(x) = 0, \quad \nu \in & \ \mathbb{N}_{> 0}\\ \lim_{x \to 0}K_\nu(x) = \infty, \quad \nu \in & \ \mathbb{N} \end{align*}

    说明

    柱内解抛弃 KνK_\nu，保留 IνI_\nu

虚宗量柱函数

渐近行为

  • ∞\infty 渐近：

    Iν(x)→x→∞ ex2πx, −π2<arg⁡x<π2Kν(x)→x→∞ π2xe−x, −π<arg⁡x<π\begin{align*} I_\nu(x) \xrightarrow{x \to \infty} & \ \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}, & \ - \frac{\pi}{2} <\operatorname{arg}x < \frac{\pi}{2} \\ K_\nu(x) \xrightarrow{{x \to \infty}} & \ \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{ - x}, & \ - \pi < \operatorname{arg}x < \pi \end{align*}

    说明

    柱内解抛弃 IνI_\nu，保留 KνK_\nu

虚宗量柱函数

虚宗量 Hankel 函数

  • ∞\infty 渐近：

    Iν(x)→x→∞ ex2πx, −π2<arg⁡x<π2Kν(x)→x→∞ π2xe−x, −π<arg⁡x<π\begin{align*} I_\nu(x) \xrightarrow{x \to \infty} & \ \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}, & \ - \frac{\pi}{2} <\operatorname{arg}x < \frac{\pi}{2} \\ K_\nu(x) \xrightarrow{{x \to \infty}} & \ \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{ - x}, & \ - \pi < \operatorname{arg}x < \pi \end{align*}

    说明

    柱内解抛弃 IνI_\nu，保留 KνK_\nu

柱函数应用

导热圆柱体

  • 边界条件与 φ\varphi 无关：u(r)=u(ρ,z)u(\mathbf{r}) = u(\rho, z)

     ∇2u=1ρ∂∂ρ(ρ∂u∂ρ)+∂2u∂z2=0 ∂u∂ρ∣ρ=a=1kq(z) u(ρ,z=0)=u(ρ,z=h)=u0\begin{align*} & \ \nabla^2 u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \bigg(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}\bigg) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0\\ & \ \frac{\partial u}{\partial \rho}\bigg|_{\rho = a} = \frac{1}{k}q(z)\\ & \ u(\rho, z = 0) = u(\rho, z = h) = u_0 \end{align*}

柱函数应用

导热圆柱体

  • 边界条件齐次化：u(ρ,z)=u0+v(ρ,z)u(\rho, z) = u_0 + v(\rho, z)

     ∇2v=1ρ∂∂ρ(ρ∂v∂ρ)+∂2v∂z2=0 ∂v∂ρ∣ρ=a=1kq(z) v(ρ,z=0)=v(ρ,z=h)=0\begin{align*} & \ \nabla^2 v = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \bigg(\rho \frac{\partial v}{\partial \rho}\bigg) + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0\\ & \ \frac{\partial v}{\partial \rho}\bigg|_{\rho = a} = \frac{1}{k}q(z)\\ & \ v(\rho, z = 0) = v(\rho, z = h) = 0 \end{align*}

  • 分离变量：u(ρ,z)=R(ρ)Z(z)u(\rho, z) = R(\rho)Z(z)

    R′′+1ρR′−λR=0,Z′′+λZ=0Z(0)=Z(h)=0\begin{align*} R'' + \frac{1}{\rho}R' - \lambda R = 0, \quad Z'' + \lambda Z = 0\\ Z(0) = Z(h) = 0 \end{align*}

柱函数应用

导热圆柱体

  • ZZ 方向本征值与本征函数

    λ=(nπh)2,Zn(z)=sin⁡(nπhz),n∈N>0\lambda = \left({\frac{n\pi}{h}}\right)^2, \qquad Z_n(z) = \sin \left({\frac{n \pi}{h}z}\right), \qquad n \in \mathbb{N}_{> 0}

柱函数应用

导热圆柱体

  • RR 方向方程: x≔λρx \coloneqq \sqrt{\lambda}\rho, R(ρ)=R~(x)R(\rho) = \tilde R(x)

    R~′′(x)+1xR~′(x)+i2R~(x)=0\tilde R''(x) + \frac{1}{x}\tilde R'(x) + i^2 \tilde R(x) = 0

    说明

    相当于虚宗量 Bessel 方程，ν=0\nu = 0

  • RR 方向解

    R(ρ)={I0(nπρ),K0(nπρ)}R(\rho) = \{I_0 \left({\frac{n \pi}{\rho}}\right), K_0 \left({\frac{n\pi}{\rho}}\right)\}

    说明

    其中 K0K_0 被自然边界条件 R(ρ=0)<∞R(\rho = 0) < \infty 排除

柱函数应用

导热圆柱体

  • vv 一般解

    v(ρ,z)=∑n=1+∞AnI0(nπρ/h)sin⁡nπhzv(\rho, z) = \sum_{n = 1}^{+\infty} A_n I_0(n\pi\rho/h) \sin \frac{n\pi}{h}z

  • 边界条件约束

    An=1k2I1(nπa/h)nπ∫0hq(z)sin⁡nπhzdzA_n = \frac{1}{k} \frac{2I_1(n\pi a/h)}{n \pi} \int_0^hq(z) \sin \frac{n\pi}{h}z dz

  • 最终解：u=u0+vu = u_0 + v
半奇数阶柱函数
球贝塞尔函数

bbb

球贝塞尔函数